小学一年级数学上册：集合思想启蒙-借助直观解决简单的重叠问题教案

小学一年级数学上册：集合思想启蒙——借助直观解决简单的重叠问题教案

一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本指导，深刻践行“三会”核心素养目标。在小学一年级启蒙阶段，数学学习的重点在于帮助学生建立对数学的亲切感、好奇心以及初步的模型意识和应用意识。本课所涉及的“简单的重叠问题”，其数学本质是集合论中最基础的“交并”思想（韦恩图）的直观感知与运用，属于“综合与实践”领域的范畴。

  理论层面，本设计主要依托以下三点：一是皮亚杰的认知发展理论，一年级学生正处于“前运算阶段”向“具体运算阶段”过渡时期，其思维依赖于具体的、可操作的事物和直观的形象。因此，教学必须摒弃抽象说教，代之以丰富的实物、身体动作和图形表征。二是建构主义学习理论，强调知识是在学生主动参与、亲身实践的过程中，通过已有经验与新情境的相互作用而建构起来的。本课将通过创设富有童趣的、真实可感的问题情境，引导学生在“做数学”和“玩数学”中自主发现、探索和解决问题。三是“深度学习”理念，旨在引导学生超越对事实和程序的浅层记忆，达成对数学概念本质的理解（如何清晰、不重复地计数）和思想方法（数形结合、建模）的初步感悟，并能迁移应用于新的、稍复杂的情境。

二、教学背景分析

（一）教材分析

  本课内容在青岛版一年级上册教材体系中，通常编排于“20以内数的认识”与“20以内进位加法”之后，处于学期末段的“智慧广场”板块。“智慧广场”是青岛版教材的特色栏目，旨在对前期所学知识与方法进行综合、灵活的应用，并渗透重要的数学思想方法。在此之前，学生已经熟练掌握了20以内数的数数、认读、大小比较以及进位加法，具备了解决简单求和问题的计算能力。但以往的计数问题，对象多是彼此独立、界限分明的。本课首次引入“重叠”现象，即一个元素同时属于两个不同的类别，这打破了学生原有的线性、单一分类的计数模式，构成了新的认知冲突，是发展学生思维深刻性和灵活性的关键节点。教材通常采用排队、参加兴趣小组等贴近学生生活的情境，引导学生通过画图、操作等方式找到“重复”的部分，并理解“为什么不能简单相加”。学好本课，不仅能为二年级学习更复杂的包含与排除问题奠定坚实的直观经验和思维基础，更是对学生逻辑思维能力和解决问题策略的一次重要启蒙。

（二）学情分析

  授课对象为小学一年级上学期学生。他们的优势在于：对数学活动充满兴趣，好奇心强，乐于参与操作和游戏；已经具备初步的数感和20以内的计算能力；在日常生活中，对“重复”、“既…又…”等现象有模糊的感性认识。他们的挑战在于：逻辑思维能力刚起步，难以直接理解抽象的“包含与排除”原理；注意力持续时间有限，需要教学活动富有变化和吸引力；语言表达尚在发展，可能无法精准描述自己的思考过程；在解决问题时，容易受思维定势影响，看到题目中的数字就习惯性直接相加。

  基于此，教学的关键是将抽象的“重叠问题”转化为学生看得见、摸得着、能操作的具体活动，引导他们在亲身经历中感受矛盾、发现问题、寻找策略、验证结论。

（三）教学资源与环境准备

  1.多媒体课件：用于创设情境、动态演示集合圈的形成与重叠过程、呈现练习题。

  2.实物教具：两个不同颜色的大呼啦圈或跳绳围成的圈（代表集合圈）；写有学生角色名字的卡片或头饰（如：“小明”、“小红”等）；若干几何形体片（如红色的三角形、正方形，蓝色的圆形等）。

  3.学具准备：每位学生一套学习单（包含情境图、空白区域用于画图或贴纸）、彩色笔、小贴纸或小磁扣。

  4.环境布置：教室前方预留足够空间，便于进行角色扮演和集合圈游戏。

三、教学目标

（一）知识与技能

  1.结合具体情境，认识生活中的“重叠”现象，理解“既…又…”的含义。

  2.初步学会用画图（如圆圈、连线、简单韦恩图）或摆一摆的方法，来直观表示事物之间的关系，并能借助直观图解决简单的“求总数”重叠问题。

  3.能用自己的语言解释为什么有时候两个数不能直接相加，以及解决问题的关键步骤。

（二）过程与方法

  1.经历从现实问题中抽象出数学问题的过程，通过动手操作、合作探究、交流辨析，体验解决问题的策略多样性，重点发展借助几何直观分析问题的能力。

  2.在解决问题的过程中，初步体会“数形结合”的思想和建立简单数学模型（图示模型）的过程。

（三）情感、态度与价值观

  1.感受数学与日常生活的紧密联系，体会用数学方法解决身边问题的乐趣。

  2.在探究活动中培养乐于思考、敢于质疑、合作交流的学习习惯。

  3.通过克服“直接相加”的思维定势，体验思维成长的快乐，增强学习数学的自信心。

四、教学重难点

（一）教学重点

  理解重叠问题的结构特征，掌握用画图或操作的方法来清晰表示数量关系，并正确解答。

（二）教学难点

  理解“重叠部分”的含义及其在计算总数时的特殊处理方式（只算一次），突破“见数就加”的思维定势。

（三）突破策略

  采用“情境冲突—具身体验—多元表征—对比归纳”的路径。首先用生活实例引发认知冲突，激发探究欲；然后通过角色扮演、集合圈游戏等身体参与活动，让“重叠”变得可视、可触；进而引导学生用画图、摆学具等多种方式将操作过程“记录”下来，实现从动作思维到形象思维的过渡；最后通过不同方法的对比，抽象出问题的本质，归纳出解决策略。

五、教学过程实施

第一环节：创设情境，激趣生疑（预计用时：8分钟）

  师：（课件出示一张精美的班级课外活动照片，或播放一小段学生参加不同兴趣小组活动的短视频）同学们，我们的校园生活真丰富啊！瞧，有的同学在画画，有的在唱歌，大家都在发展自己的兴趣爱好。今天，智慧广场里就有一个关于兴趣小组的小故事，想请我们一（X）班的小数学家们帮忙解决。

  （课件动态呈现主题情境图，并配以讲故事的语气）森林小学一年级的小动物们也要报名兴趣小组了。合唱队说：“我们队需要6只小动物。”舞蹈队说：“我们队需要5只小动物。”这时，小黄莺和小孔雀举起翅膀说：“我们俩既想唱歌又想跳舞，可以吗？”长颈鹿老师笑着说：“当然可以，多才多艺的小家伙！”可是，负责报名的小猴子挠头了：如果把报合唱队的6只和报舞蹈队的5只加起来，6加5等于11，可是……（课件圈出小黄莺和小孔雀）它数来数去，总共好像只有9只小动物。这是怎么回事呢？数字怎么会“变少”了？

  师：同学们，你们发现小猴子的问题了吗？6加5明明等于11，可它为什么只数出了9只？这“消失”的2只小动物去哪了？谁能猜猜看？

  （学生自由发言，可能会说“有的小动物算了两次”、“有小动物两个队都参加了”等。教师捕捉学生回答中的关键词，如“重复”、“算了两次”、“既…又…”，并板书：重复。）

  师：“重复”？“算了两次”？“既参加了合唱队，又参加了舞蹈队”？听起来很有意思。到底是不是这样呢？光靠猜可不行，我们得想个办法弄清楚。你们有什么好办法，能让大家一眼就看明白每只小动物到底参加了哪个队，有没有“重复”的呢？

  （引导学生提出“排队”、“站圈”、“画出来”等方法。教师顺势引出：“摆一摆”和“画一画”真是数学家的好方法！今天我们就用它来研究这个有趣的问题。）

  【设计意图】从学生熟悉的校园生活切入，用富有童趣的森林学校故事营造探究氛围。通过设置“6+5=11”与“实际只有9”的认知冲突，强烈激发学生的好奇心和求知欲。引导学生初步猜想，并鼓励他们提出验证猜想的方法，将解决问题的主动权交给学生，为后续的探究活动做好心理和策略上的铺垫。

第二环节：操作探究，建构模型（预计用时：22分钟）

活动一：身体“站一站”，初感重叠

  师：为了弄清楚，我们请几位同学上来当一回“小动物”，演一演这个报名的情况。谁愿意来？（选取9名学生，分发写有“合唱队”和“舞蹈队”或相应动物角色的头饰/卡片，其中明确指定2名学生为“既参加合唱队又参加舞蹈队”的角色。）

  师：（在地面放置两个不同颜色的呼啦圈，一红一蓝）看，红色的圈代表合唱队的家，蓝色的圈代表舞蹈队的家。现在，请“只参加合唱队”的小动物站进红圈里，“只参加舞蹈队”的小动物站进蓝圈里。（学生按要求站定。）

  师：（指着既报合唱又报舞蹈的2名学生）那这两位“既想唱歌又想跳舞”的小艺术家，他们该站在哪里呢？是站在红圈里，还是站在蓝圈里？

  （学生会产生争议。教师引导：他们只有一个身体，能不能同时站在两个圈里？怎样才能表示他们两边都参加了呢？）

  预设：学生可能会提出“一只脚站一个圈”、“站在两个圈中间”等想法。教师肯定学生的创意，并引导：“站在两个圈中间”这个主意很棒！为了让两个家都能拥有他们，我们把两个圈挪一挪，让它们有一部分交叉在一起，就像好朋友手拉手。（教师移动两个呼啦圈，使其部分重叠。）现在，这个重叠的区域，既属于红圈，也属于蓝圈。请这两位同学站到这个“公共区域”来。

  师：现在，请大家看这个站法。合唱队有几只小动物？（引导学生数：红圈内的所有学生，包括重叠区的2人。）舞蹈队有几只小动物？（数蓝圈内所有学生，也包括重叠区的2人。）那么，我们班参加兴趣小组的总人数是多少？是6加5等于11吗？我们一起数一数现场所有参加游戏的同学。（学生齐数，共9人。）

  师：为什么不是11人？谁发现了秘密？

  生：因为小黄莺和小孔雀（指重叠区的两人）被数了两次！在合唱队数了一次，在舞蹈队又数了一次。

  师：太棒了！你的眼睛真亮。也就是说，当我们把两队人数相加时，这两位“既…又…”的同学被重复计算了。所以，总人数会比6+5的和要少。少了几个呢？

  生：少了2个。

  师：对，这“2”就是重复的、多算的那一部分。所以，要想知道实际的总人数，我们该怎么办？

  （引导学生说出：把重复的2人从总和中减去。初步感知：总人数=合唱队人数+舞蹈队人数-重复人数。）

  【设计意图】“身体站圈”是具身认知的典型活动。它将以知冲突从屏幕搬到学生眼前和身边，让抽象的“重叠”、“既…又…”变得真实可感。通过“该站哪”的矛盾，自然引出“集合圈重叠”这一关键步骤。学生在站位、观察、数数的过程中，亲身经历了“重复计数”和“调整计算”的全过程，为理解重叠问题的结构积累了宝贵而深刻的动作经验与视觉表象。

活动二：学具“摆一摆”，固化表象

  师：台上的同学演得很清楚，台下的同学看得也很认真。现在，请拿出你们的学习单和准备好的小贴纸（或小磁扣、小图片）。我们用学具把刚才看到的情况“摆”出来。学习单上已经画好了合唱队和舞蹈队的标志。想一想，哪些小贴纸应该摆在一起？那两个“既…又…”的小贴纸应该摆在哪里？动手试一试。

  （学生独立操作。教师巡视，关注学生摆放的位置。特别留意是否有学生将重复的2个学具摆放在两个集合区域的中间或重叠处。选取有代表性的摆法进行展示。）

  展示1：将重复的2个学具摆在了两个分开的集合中间的空隙。

  展示2：将重复的2个学具摆在了两个集合部分重叠的区域。

  师：请大家对比这两种摆法。哪一种能更清楚地让我们看到，这2个同学“既属于合唱队，又属于舞蹈队”？

  （引导学生讨论，明确第二种“摆放在重叠区域”的方法，能直观地表示“同时属于两个集合”，是最清晰的方法。教师课件动态演示两个圆圈从分开到重叠的过程，并标出重叠部分。）

  【设计意图】从“身体动作”到“操作学具”，是思维内化的第一步。摆放学具要求学生将观察到的空间关系进行转译和再现。通过对不同摆法的辨析，引导学生追求更精确、更直观的表征方式，初步建立“用图形重叠区域表示公共元素”的表象，为下一环节的“画图”做好铺垫。

活动三：图形“画一画”，抽象模型

  师：摆小贴纸的方法很好，但如果每次解决问题都要带一堆小贴纸，太不方便了。数学家们想出了一个更简单的方法——画图。怎么画呢？我们可以用两个圆圈来代表合唱队和舞蹈队。

  （教师板书画图示范，边画边讲，语言节奏慢而清晰。）

  第一步：画两个部分重叠的圆圈。左圈下标“合唱队（6人）”，右圈下标“舞蹈队（5人）”。

  第二步：处理“重叠部分”。提问：“既参加合唱又参加舞蹈的2人，应该画在哪里？”（画在重叠区域）在重叠区域里写上“2人”。

  第三步：填写“只参加”的部分。提问：“合唱队一共有6人，其中包含了这2人，那么‘只参加合唱队’的有几人？”（6-2=4人）将“4人”写在左圈不重叠的部分。同理，计算出“只参加舞蹈队”的有3人（5-2=3），写在右圈不重叠的部分。

  第四步：计算总人数。提问：“现在，从图上怎么能一眼看出总人数？”（引导学生将三部分的数加起来：4+2+3=9；或者用两队总和减重复：6+5-2=9。）将算式板书。

  师：这个神奇的图，就像两个好朋友拥抱在一起，重叠的部分就是他们共同拥有的。它能让复杂的关系变得一目了然。请同学们也在学习单上试着画一画这个图，并写出算式。

  （学生尝试画图，教师个别指导。强调圆圈不必画得很圆，能表达意思即可，重点是清晰地分出三部分。）

  师：（展示学生作品后）回顾一下，我们是怎么解决这个“人数之谜”的？先干什么？再干什么？

  （引导学生梳理步骤：1.读懂信息，找出“重复”的部分；2.画图表示关系（或用学具摆）；3.根据图列出算式计算；4.回答问题。）

  【设计意图】这是从具体操作到抽象建模的关键飞跃。教师的示范画图，将操作过程符号化、规范化，引导学生建立解决重叠问题的“图示模型”（韦恩图的雏形）。通过分步讲解和填空式的提问，引导学生理解图中每一部分的含义及数量关系。让学生模仿画图，是将外部模型内化为个人认知结构的过程。最后的步骤梳理，旨在引导学生反思解决问题的过程，形成初步的策略意识。

第三环节：变式应用，深化理解（预计用时：15分钟）

  师：掌握了画图这个法宝，我们就能挑战更多有趣的问题了。智慧广场里还有几个关卡等着我们，敢不敢接受挑战？

应用一：基础巩固——排队问题

  （课件出示）小朋友排队做操，从前数小明排第6，从后数小明排第4。这一队一共有几个小朋友？

  师：这个问题里有“重复”吗？“重复”的是谁？你能试着画图表示吗？

  （引导学生发现，“小明”本人被数了两次。可以用一条线代表队伍，标出小明的位置。前面有5人（6-1），后面有3人（4-1）。画图可以是：画出小明，左边画5个点代表前面的人，右边画3个点代表后面的人。总人数：5+1+3=9，或6+4-1=9。）

  （对比与兴趣小组问题的异同：都是“重复数了同一个人”，但情境和图形表示方式不同，渗透数形结合的多样性。）

应用二：拓展延伸——分类计数

  （课件出示，配合实物图片）文具店里有一些笔。其中有8支是红色的，有5支是带橡皮头的。我们知道，有3支笔“既是红色的，又带橡皮头”。店里一共有多少支笔？

  师：这次没有直接告诉“只参加”的部分，告诉了我们“重叠部分”是3。你能直接画图解决吗？请独立完成。

  （学生画图：两个重叠圈，重叠部分写3。红色笔共8支，包含“红色带橡皮”的3支，所以“只红色”的是8-3=5。同理，“只带橡皮”的是5-3=2。总数为5+3+2=10，或8+5-3=10。）

  （此题为上一题的逆向，检验学生是否真正理解图中各部分的关系，能否灵活计算。）

应用三：生活链接——家庭调查

  师：请把数学带回家。调查你的爸爸和妈妈：爸爸喜欢的水果有几种？妈妈喜欢的水果有几种？有没有爸爸妈妈都喜欢吃的水果（重复的）？算一算，你们家喜欢的水果（不重复）一共有多少种？明天我们来分享。

  （将数学学习延伸到课外，与家庭生活结合，让学生体会数学的真实应用价值。）

  【设计意图】本环节通过三个层次分明的练习，旨在促进学生对模型的理解、巩固和迁移。基础题变换情境但本质相同，旨在巩固方法；拓展题改变已知条件，旨在深化对数量关系的理解，培养逆向思维和计算灵活性；实践题则将学习引向生活，培养应用意识和实践能力。整个练习过程注重让学生先独立尝试、画图，再交流反馈，教师重在点拨引导和比较异同，帮助学生举一反三。

第四环节：回顾反思，总结提升（预计用时：5分钟）

  师：同学们，今天的数学探险之旅就要结束了。我们一起来回忆一下，这节课我们研究了什么问题？你有哪些收获和感想？

  引导学生从知识、方法、体验三个维度进行总结：

  1.知识上：认识了“重叠”现象，明白了当有“既…又…”的情况时，直接相加会把重复的部分多算一次，所以总数等于两部分相加再减去重复的那一次。

  2.方法上：学会了用“摆一摆”、“画一画”（特别是画重叠的圈）的方法来帮助理解题意、分析问题、找到答案。画图是我们今天学到的最厉害的法宝。

  3.体验上：感受到了数学就在我们身边（排队、兴趣班、买东西），数学能帮助我们解决生活中的小困惑；通过动手动脑自己解决问题，非常开心和有成就感。

  师：最后，老师送给大家一首解题小儿歌，帮助我们记住今天的内容：

  “重叠问题真有趣，见了数字别忙加。

  ‘既…又…’是关键词，重复部分要找出。

  画个圈圈摆一摆，关系清楚好办法。

  两部分，先相加，减去重复就对啦！”

  （在儿歌声中结束新课。）

  【设计意图】系统的回顾与反思是促进学生元认知发展的重要环节。引导学生从多角度进行总结，帮助他们将零散的体验和知识结构化、条理化。朗朗上口的儿歌将核心方法高度凝练、形象化，便于低年级学生记忆和传唱，为今后的学习留下一个生动的“记忆锚点”。

六、教学评价设计

  本课的教学评价贯穿于教学全过程，坚持“以评促学”，采用多元化、表现性的评价方式。

（一）过程性评价

  1.观察评价：教师在教学各环节，通过巡视、倾听、提问，观察学生的参与度、操作规范性、合作交流情况、思维活跃度以及语言表达的逻辑性。特别关注学生在遇到认知冲突时的第一反应，以及在探究活动中是否能提出有创意的想法。

  2.对话评价：在师生、生生互动中，通过追问（如“你为什么把他放在这里？”“你的图是怎么想的？”）、肯定（“你发现了‘重复’这个关键！”）、引导性反馈（“看看他的摆法，和你的有什么不同？哪个更清楚？”）等方式，即时评估和促进学生的理解。

  3.作品分析：对学生的学具摆放成果、画图作品进行点评。重点评价其表征的清晰性、准确性（如重叠部分是否明确标出）、完整性（是否包含所有已知信息）。将具有典型性、创造性的作品进行展示，树立榜样。

（二）终结性评价

  1.课堂练习反馈：通过“变式应用”环节学生的独立完成情况，直接检测其对重叠问题模型的理解和应用水平。教师通过巡视和集体订正，获取全班整体的掌握情况信息。

  2.实践作业评价：对“家庭调查”作业的完成情况和第二天分享的内容进行评价。关注学生能否将课堂所学方法迁移到真实情境中，数据是否真实，表达是否清晰。此项评价侧重于学生的应用能力和态度。

（三）评价标准要点

  理解层面：能识别问题中的重叠信息；能解释为什么不能直接相加。

  技能层面：能使用画图（或操作）正确表征数量关系；能基于图示列出正确算式并解答。

  思维与态度层面：乐于动手尝试和探索；能认真倾听并理解同伴的想法；能用数学语言进行简单的表达。

七、教学特色与创新之处

  1.深度践行“具