上海市普陀区曹杨第二中学2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市普陀区曹杨第二中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.二面角的取值范围是(

)A.(0,π) B.[0,π) C.(0,π] D.[0,π]2.下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，正确的是(

)A.若l⊂β且α⊥β，则l⊥α B.若l⊥β，且α//β，则l⊥α

C.若l⊥β且α⊥β，则l//α D.α∩β=m且l//m，则l//α3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是CC1的中点.若点P满足：平面D1MP与平面ABCD交于直线A.A

B.B

C.A1

D.4.已知a、b为平面向量，且|a|=1.设α：|a⋅b|≤1，β：存在平面向量c，使得|c−b|≤1A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件二、填空题：本题共12小题，共54分。5.用符号语言表示“点A在直线l上，l在平面α上”

．6.已知平面α、β、γ两两相交，则它们的交线的条数为

．7.已知tana=−2，则tan2a=______．8.设x∈R，向量a=(3,x+1)，b=(1,x).若a//b，则x=

9.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为

．10.从长方体的八个顶点中选取四个不同的顶点.若四点共面，则不同选法的种数为

．11.在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD，则直线AC与平面ABD所成的角的大小为

．12.在四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为边BC、AD的中点.若EF=3，则直线AB与CD所成的角的大小为

．13.已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为1的正方体，P为该正方体表面上的一个动点.若AP⊥B14.设m∈R，z∈C.若z与z+2i(i为虚数单位)是关于x的方程x2+mx+2=0的两根，则m=

．15.设ω>0，f(x)=2sin(ωx+π3).若函数y=f(x)，x∈[−1,1]的值域为[m,n]，且n−m=3，则ω=

16.在空间中，点A、B、C在平面α上的投影分别为A′、B′、C′.若△ABC是等腰直角三角形，且△A′B′C′是等边三角形，则平面ABC与平面α所成的锐二面角的余弦值为

．三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知向量e1=(2,1)，e2=(2,4)．

(1)设向量a=(4,−1)，用向量e1与e2的线性组合表示a；

(2)设k∈R，向量b18.(本小题14分)

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cosC=2b+c2a．

(1)求A；

(2)设AB边的垂直平分线交BC边于点D.若CD=3，AD=2，求cosB19.(本小题14分)

设z是虚数.已知w=z+1z∈R，且−1<w<2．

(1)求|z|的值及Rez的取值范围；

(2)设i为虚数单位.若z220.(本小题18分)

如图，四边形ABCD和ABEF都是边长为1的正方形，且二面角C−AB−E的大小为π3．

(1)证明；直线AE和BC是异面直线；

(2)求直线AE与BC所成的角的大小；

(3)求点B到平面ACE的距离．21.(本小题18分)

若定义在R上的函数y=h(x)满足：对任意x∈R，h(x+2π)=h(x)+h(2π)均成立，则称函数y=h(x)具有性质P．

(1)设f(x)=sin2x+x，g(x)=cosx，分别判断函数y=f(x)与y=g(x)是否具有性质P，说明理由；

(2)设ω∈(0,1)，f(x)=sin(ωx).证明：函数y=f(x)不具有性质P；

(3)设函数y=f(x)具有性质P，且其在区间[0,2π]上的取值范围是[f(0),f(2π)].设g(x)=sinf(x).若函数y=g(x)在区间(0,2π)上有且仅有一个零点，且2π是函数y=g(x)的一个周期，证明：f(2π)=2π．

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A∈l，l⊂α

6.【答案】1或3

7.【答案】438.【答案】129.【答案】210.【答案】12

11.【答案】π612.【答案】π313.【答案】314.【答案】2或−2

15.【答案】π216.【答案】317.【答案】解：(1)因为e1=(2,1)，e2=(2,4)，

设a=xe1+ye2，则xe1+ye2=(2x+2y,x+4y)，

已知a=(4,−1)，可得2x+2y=4x+4y=−1，

得x=3，y=−1，

因此a=3e1−e218.【答案】解：(1)在△ABC中，由cosC=2b+c2a，

可得a2+b2−c22ab=2b+c2a，

整理可得a2=b2+c2+bc，

则cosA=b2+c2−a22bc=−12，

故A=120°；

(2)因为D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD=2，

因为CD=3，所以BC=BD+CD=5，即a=BC=5，

在△ADB中，AD=BD=2，所以∠BAD=B，∠ADB=π−2B，∠ADC=2B，

在△ADC中，AC=b，AD=2，CD=3，∠ADC=2B，

因为AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cos19.【答案】解：(1)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，

则w=z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bi(a+bi)(a−bi)=(a+aa2+b2)+(b−ba2+b2)i，

因为w=z+1z∈R，且−1<w<2，

所以b−ba2+b2=0，−1<a+aa20.【答案】解：(1)证明：如图：

因为BC⊂平面ABCD，A∈平面ABCD，且A∉直线BC，E∉平面ABCD，

所以直线AE和BC是异面直线；

(2)因为AB⊥BE，AB⊥BC，所以∠CBE即为二面角C−AB−E的平面角，等于60°，

又BE=BC=1，所以△BCE为等边三角形，所以CE=1，

又BE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC=B，所以AB⊥平面BCE，

因为AB/​/CD，所以CD⊥平面BCE，

CE⊂平面BCE，所以CD⊥CE，

又CD=1，所以DE=12+12=2，

又因为BC/​/AD，所以∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角，即为θ，

在△AED中，AE=2，AD=1，DE=2，

所以cosθ=12ADAE=122=24，所以θ=arccos24；

(3)因为AB⊥平面BCE，AB⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面BCE，

取BC中点M，连接EM，则EM⊥BC，

又平面ABCD∩平面BCE=BC，EM⊂平面BCE，所以EM⊥平面ABCD，

因为△BCE是边长为1的等边三角形，所以21.【答案】解：(1)函数f(x)具有性质P，函数g(x)不具有性质P.理由如下：

对函数f(x)：因为f(x)=sin2x+x，

所以f(x+2π)=sin2(x+2π)+(x+2π)=sin2x+x+2π=f(x)+2π，

且f(2π)=sin2(2π)+2π=2π，所以f(x+2π)=f(x)+f(2π)，

所以函数f(x)具有性质P；

对函数g(x)：因为g(x)=cosx，所以g(x+2π)=cos(x+2π)=cosx，g(2π)=cos(2π)=1，

所以g(x+2π)=cosx≠cosx+1=g(x)+g(2π)，所以函数g(x)不具有性质P；

(2)用反证法证明．

假设函数f(x)=sin(ωx)，ω∈(0,1)具有性质P，

则对任意x∈R，有sinω(x+2π)=sinωx+sin2ωπ，

所以sinω(x+2π)−sinωx=sin2ωπ，

2cosω(x+π)sinωπ=2sinωπcosωoπ，

因为ω∈(0,1)，所以ωπ∈(0,π)，所以sinωπ≠0，

所以cosω(x+π)=cosωπ对x∈R恒成立，

因为cosoπ为常数，cosω(x+π)的值随x的变化而变化，所以cosω(x+π)=cosωπ对x∈R不能恒成立，

所以假设错误，即函数f(x)=sin(ωx)，ω∈(0,1)不具有性质P；

(3)证明：因为函数f(x)具有性质P，所以f(x+2π)=f(x)+f(2π)，

令x=0，f(2π)=f(0)+f(2π)⇒f(0)=0，

因为2π是函数y=g(x)的一个周期，

所以g(2π)=g(0)，即sinf(2π)=sinf(0)=0，所以f(2π)=kπ，k∈Z，

因为函数f(x)在[0,2π]上的值域为[f(0),f(2π)]，所以f(2π)>0，所以k>0，

当k>