2025-2026学年河南周口市第三高级中学高一下学期7月期末考试数学试卷-含答案

/2025-2026学年下学期高一年级期末考试数学试题一、单选题（每题5分）1.已知为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据投影向量定义计算即可.【详解】因为为单位向量，则，则向量在向量上的投影向量为.故选：B.2.已知向量，不共线，且则实数（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的定义计算即可.【详解】因为向量，不共线，且，那么存在实数，使得，则有，解得.3.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（）A.若，，则. B.若，，则.C.若，，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断．【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误；对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误；对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误；对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得，由得，而，得，故D项正确．4.已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出长方体,由长方体性质可知与所成的角即为异面直线与所成角,即为.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得.【详解】画出长方体如下图所示:在长方体中，，则与所成的角即为异面直线与所成角,即为或其补角，因为平面，平面，所以，即，因为,，所以，故选:B【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题.5.某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（）A.0.704 B.0.644 C.0.564 D.0.336【答案】C【解析】【分析】先根据互斥事件和对立事件的概率公式，求得元件A与B至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】由题意，电子元件A与B至少有一个正常工作的概率为：所以该控制模块能正常工作的概率为.故选：C.6.已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（）A.甲的中位数高于乙的中位数B.若甲、乙两组数据的平均数分别为，则C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定【答案】C【解析】【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解.【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于，所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确；对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学，其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确；对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差，由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确；对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性，所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确.故选：C.7.某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分数为112，已知其中4名同学的成绩分别为96，109，120，126，则这5名同学成绩的第75百分位数是（）A.112 B.119 C.120 D.121【答案】C【解析】【分析】先利用平均数得到另外一个学生的成绩为109，然后根据百分位数的求法可得.【详解】依题意设另外一名同学的成绩为x，则，解得,将这5名同学的成绩按从小到大的顺序排列为96，109，109，120，126，则成绩的第75百分位数为即排序后的第4个数据，所以这5名同学成绩的第75百分位数是120，故选：C8.不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】列出事件包含的所有情况，再利用对立事件的概率公式计算求解.【详解】每次取球，取到每个球的概率均为，若取出的个球的最小编号为2，则所有球的编号均为或，且至少有个编号为，取出的个球的编号均为或的概率为；取出的个球编号全部为的概率为；故取出的个球的最小编号为2的概率为.故选：C二、多选题（每题6分）9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A. B.与可以作为所在平面的一组基底C. D.【答案】BD【解析】【详解】对于A，因为，则，故A错误；对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为，，对于与，因为，所以与不共线，则与可以作为所在平面的一组基底，故B正确；对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以，故C错误；对于D，因为，，根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为，所以，故D正确.10.若，，，则（）A.事件与不互斥 B.事件与对立C.事件与互相独立 D.【答案】ACD【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，以及积事件的概念，判断选项A，B正误；根据事件相互独立的概念，判断选项C的正误，根据和事件概率的求法，判断选项D的正误；【详解】已知，即事件同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，所以A正确；已知事件与不互斥，则事件与不对立，所以B错误；已知，则，因为，所以，所以事件与互相独立，所以C正确；可知，所以D正确；故选：ACD.11.如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A.，，三点共线B.平面C.直线与平面所成的角为D.到平面的距离为【答案】ABC【解析】【分析】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离．【详解】由于为正方体的体对角线，在平面内，据此可得平面平面于，又交平面于点，故点在上，故项正确；很明显平面，平面，故，同理，，于点，故平面，故项正确；设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则，点到平面的距离为，故，，故项正确；设到平面的距离为，，，解得，故D项错误；故选：ABC．三、填空题（每题5分）12.在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______.【答案】－2＋i【解析】【分析】由题设可得点B对应坐标，据此可得B对应复数.【详解】由题设可得对应坐标为，则，从而对应复数为.13.行知中学毛老师对高三年级数学“智力大冲浪”很有兴趣，现做了5套试卷，其分数分别为125､､121､､127（单位：分）.若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为__________.（用数字作答）.【答案】2【解析】【分析】根据题意结合中位数、平均数和标准差的定义求的值，进而可求标准差.【详解】因为125､､121､､127的中位数为124，可知中必有一个为124，不妨设，又因为平均数为：，解得：，符合题意，可得该样本的标准差为：.故答案为：2.14.已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________.【答案】【解析】【分析】根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再利用球的体积公式，即可求解.【详解】设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即，侧面积，当，即，时等号成立，此时侧面积最大，设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长，所以，得到，所以球的体积.四、解答题15.已知复数.（1）若复数是实数，求实数的值.（2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可；（2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可.【小问1详解】因为复数是实数，所以，即，解得或；所以实数的值为或；【小问2详解】因为复数表示的点在第四象限，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知．（1）求；（2）若的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解；（2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解.【小问1详解】因为，所以即．因为，所以，所以，因为，所以．【小问2详解】由（1）可知，则．因为的面积为，所以，解得由余弦定理得，则．故的周长为．17.如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点.（1）求证：SA//平面PCD（2）求圆锥SO的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结OP，由中位线定理得到OP//SA，由线面平行判定定理得证；（2）分别计算侧面积和底面积，求和得表面积．【详解】解∶（1）连结OP，∵O,P分别为AB,SB的中点，∴OP//SA，又∵SA⊄平面PCD,OP⊂平面PCD,//平面；（2）记底面圆的半径为r，侧面展开图扇形的半径为R，且R=2，则，得r=1，又侧面展开图为半圆，∴S底=,S侧=,S表=18.周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率．【答案】（1），众数为85，平均成绩为77.5（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及众数、平均数定义求解即可.（2）结合分层抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图得，，解得．由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为85，估计初赛成绩的平均数为：．所以，众数为85，平均成绩为77.5．【小问2详解】由（1）知，成绩在，的频率之比为，则在中随机抽取了人，记为，，在中随机抽取了人，记为，，，从5人中随机抽取2人的样本空间为：，共10个样本点，设事件“有1名或2名学生的成绩在内”，则，有7个样本点，因此，所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．19.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）证明:平面PBE⊥平面PAB；（2）求点D到平面PBE的距离；（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】(1)利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面.(2)在三棱锥中，利用等体积法求点到面的距离.(3)先作出所求二面角并证明，再用解三角形知识求解.【详解】(1)证明：连接BD，由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，可知是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB//CD，所以因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.又平面PAB，平面PAB，AB∩PA=A，所以BE⊥平面PAB，又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB.又PA=2，AB=1，所以.因为正三角形BCD中，BC=1，E是CD的中点，所以.因为BE⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB，所以因为，PA⊥底面ABCD，设点D到平面PBE的距离为d，所以，而所以，即点D到平面PBE的距离为.(3)延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线.取AD中点H，连BH，过B作，垂足为I，连HI.由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，可知是正三角形