2025-2026学年天津英华实验学校下学期期末统练高一数学试卷-含答案

/英华实验学校2025-2026学年度第二学期期末统练高一年级数学学科试卷总分：150分；考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.请把Ⅰ、Ⅱ卷的答案填涂或填写在相应的答题卡上.答题时请按题号位置，在规定区域作答.考试结束后，请将试卷及答题卡依次交回.祝各位同学考试顺利！第Ⅰ卷：选择题一.选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.）1.已知复数（是虚数单位），则对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法法则化简，再结合共轭复数的定义及复数的几何意义即可求出.【详解】，则，则对应的点在第二象限.故选：B2.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确.【详解】A选项：如图：在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误；B选项：如图：在正方体中，，此时，B选项错误；D选项：如图：在正方体中：，此时，D选项错误；C选项：如图：过作平面，使得，，∵，∴，则，又∵，∴，∴，C选项正确.故选：C.3.已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得.【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得，所以该圆锥的高，所以该圆锥的体积．故选：B．4.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（）A.相互独立 B.互斥 C.互为对立 D.相等【答案】A【解析】【分析】根据是否相等判断独立性，由互斥、对立及相等事件的定义判断B、C、D.【详解】由题意，，且，即，而事件可以同时发生，故它们不互斥，更不相等；由于“第一枚出现偶数点”，“第二枚出现点数超过3”，则不是对立事件；综上，A正确，B、C、D错误.故选：A5.在中，内角、、所对的边为、、，若，，．则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得的值.【详解】由余弦定理可得，可得.由正弦定理可得.故选：A.6.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的模的运算，向量的垂直算出和，再计算向量的夹角余弦值.【详解】由，得——①再由，得，即——②联立①②解得，.所以.故选：D7.某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（）nmileA. B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得AD，再在中，利用余弦定理求解.【详解】在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以.故选：D.8.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01；B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32.【答案】C【解析】【详解】，A错误；，则，B错误；首先将数据从小到大排序：，共8个数据，则，因为不是整数，所以第70百分位数是第6个数，是23，C正确；根据方差的性质，若数据乘以一个常数，则新数据的标准差为原标准差的倍，这里，原标准差为8，则新数据的标准差为，D错误.9.如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：①的最小值为；②四面体的体积为；③有且仅有一条直线与垂直；④存在点，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.③④ C.①②④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以为顶点，为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，建立空间直角坐标系，先将，再根据列式求解即可判断.【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间的距离，而，所以的最小值为，故①正确；对于②，，而，所以四面体的体积为，故②正确；对于③，由题意可知，当与重合，与重合时，，因为，，，平面，所以平面，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，故③错误；对于④，当为等边三角形时，，而,，所以，所以只需要与的夹角能等于即可，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图，设，则由题意可得，，，则可得，，则，整理可得，该方程看成关于的二次函数，，所以存在使得为等边三角形，故④正确.第Ⅱ卷：非选择题二.填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）10.已知，则=____.【答案】5【解析】【分析】空间向量的坐标表示求的坐标，再应用空间向量模长的坐标求法求.【详解】由题设，，∴.故答案为：11.已知事件与事件相互独立，如果，，________．【答案】##【解析】【详解】由，得，因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立，所以.12.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______．【答案】##【解析】【分析】将直线平移至，则线面角被转化为（或其补角），进而在等腰中求即可.【详解】如图，过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，，易知为的中点，设正方形的边长为2，则，所以，则，因为，所以异面直线与所成的角即为（或其补角），在等腰中，，所以异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：13.已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】设，由长方体体积可得，即而求出四面体的外接球的半径，结合球的体积公式以及基本不等式，即可求得答案.【详解】设，由于，故；结合长方体性质可知四面体的外接球即为长方体的外接球，则外接球半径为，则外接球的表面积为，当且仅当时取等号，即的最小值为，故答案为：14.设向量满足，，，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】设，作，则，求得，得到点的轨迹，即可得到答案.【详解】如图所示，设，作，则，因为向量满足，，可得，即，又因为，可得，所以点在以为圆心，以为半径的圆上，所以当三点共线时，取得最大值，最大值为.15.如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则________，若，则________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用平面向量基本定理求解出及，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算即可得解.【详解】连接DF，因为分别为的中点，所以是△ABC的中位线，所以，则，所以，所以；因为，所以，故.故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于注意到点是的重心，从而利用中位数定理得到，进而利用平面向量的相关运算即可得解.三、解答题（本大题共5小题，共75分）16.已知向量满足，．（1）求；（2）若与同向，求的坐标；（3）若，求与的夹角的余弦值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用平面向量模长公式计算求解；（2）先求出与同向的单位向量，再由同向向量与单位向量方向一致结合求出的坐标；（3）利用模长公式求出，进而求出，再利用向量夹角余弦公式计算求解．【小问1详解】已知，则．【小问2详解】与同向的单位向量为，已知，．【小问3详解】，解得，，．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.（1）证明：平面；（2）若F是BC上靠近B的四等分点；（i）求EF和平面夹角的正弦值；（ⅱ）求点P到平面的距离.【答案】（1）证明：底面，且底面，，为正方形，，又，且平面，平面.平面，.由为线段的中点，可知，，且平面，平面．（2）（i）EF和平面夹角的正弦值为;（ⅱ）点P到平面的距离为.【解析】【分析】（1）由线面垂直及正方形的性质得、，再由线面垂直的判定定理、性质定理证明结论；（2）（i）取的中点，连接，根据线面角的定义确定和平面夹角的平面角，最后结合已知求其正弦值；（ⅱ）利用等体积法，设点到平面的距离为，求出和，从而计算出，再求出，根据，可算出.【小问1详解】略【小问2详解】（i）取的中点，连接．为中点，是的中位线，故，且．又底面，底面，因此是在底面内的投影，即为直线与平面所成的角．由题意可知是的四等分点，，故．又是中点，，故．在中，．在中，．因此．（ⅱ）利用等体积法，设点到平面的距离为．由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为．在等腰中，，，，故．因此．由(1)知平面，故，即为直角三角形．又，，故．由得：．18.某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求、的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）；（3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.【答案】（1）（2）平均数为，中位数为（3）【解析】【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b；（2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解；（3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可.【小问1详解】因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，解得；【小问2详解】由（1）知，平均数为；前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内，且，即中位数为69.4；【小问3详解】第四、五两组志愿者分别有20人、5人，故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人选出2人，所有情况有，共10种，其中选出的2人来自同一组的有，共6种，所以选出的2人来自同一组的概率为.19.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）过作于点，则.以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，∵为的中点．∴，则，.设平面的法向量为，则,即，令，则，∴．∴，又平面．∴∥平面.（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，从而可证明线面平行；（2）利用两个平面夹角的向量公式即可求解；（3）令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.【小问1详解】略【小问2详解】由（1）知.设平面的法向量为，则,即，令，则..所以平面与平面夹角的正弦值为【小问3详解】令，.设，∴，∴，.由（1）知，平面的法向量为.∵直线与平面所成角的正弦值为，∴，化简得，∵，∴，故．20.记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量，．（1）设单位向量，若与共线，且，求A；（2）当且为斜三角形时：（i）若，求B；（ii）求的最小值．【答案】（1）或；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合三角恒等变换与三角函数的性