湖南省衡阳市高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法教学设计 新人教A版必修1

PAGE1PAGE2湖南省衡阳市高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法教学设计新人教A版必修1课题湖南省衡阳市高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法教学设计新人教A版必修1课程基本信息1.课程名称：高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年11月15日星期三第2节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.数学抽象：通过函数的概念和表示法的学习，培养学生对数学对象及其关系的抽象思维能力。

2.逻辑推理：引导学生运用归纳、类比等推理方法，理解函数表示的不同形式，并能够进行逻辑推理。

3.数学建模：通过实际问题的函数建模，让学生体会数学模型在解决实际问题中的价值。

4.数学运算：提升学生在函数表示中运用代数运算的能力，为后续学习打下坚实基础。教学难点与重点1.教学重点，①

①函数概念的理解与掌握：学生需要理解函数的定义，包括定义域、值域、对应关系等基本要素。

②函数表示方法的熟练运用：学生需掌握函数的三种基本表示方法：解析式、表格、图象，并能根据实际情境选择合适的表示法。

2.教学难点，①

①函数抽象思维的培养：学生需从具体问题中抽象出函数概念，这对学生的数学抽象能力是一个挑战。

②不同函数表示法之间的转换与应用：学生可能难以理解不同表示法之间的关系，以及如何在具体问题中灵活转换和应用。

③复杂函数的图象分析：对于一些复杂的函数，学生可能难以通过图象直观地理解其性质和变化规律。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、白板或电子白板、计算器。

-课程平台：学校内部数学教学平台或网络教学资源库。

-信息化资源：数学教学软件、在线教育平台提供的函数相关教学视频、练习题库。

-教学手段：实物教具（如几何图形模型）、课堂板书、互动式教学软件。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，要求学生预习函数的基本概念和三种表示方法。

设计预习问题：围绕“函数及其表示法”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。如：“如何从实际问题中抽象出函数关系？”、“函数的图象如何反映函数的性质？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。例如，通过平台查看学生的预习笔记和提交的问题，了解预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解函数的基本概念和表示方法。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。例如，学生可能会提出关于函数图象如何绘制的问题。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。教师可以收集这些成果，以便在课堂上进行针对性的讲解和讨论。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“函数及其表示法”课题，激发学生的学习兴趣。例如，可以用生活中的例子引入函数的概念。

讲解知识点：详细讲解函数的基本概念、三种表示方法及其应用，结合实例帮助学生理解。如，通过函数图象的绘制过程，讲解函数的增减性和奇偶性。

组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握函数的表示方法。例如，让学生分组讨论如何将实际问题转化为函数关系。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。如，学生可能对函数的连续性有疑问，教师可以现场演示或提供相关资料。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验函数知识的应用。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解函数的基本概念和表示方法。

实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握函数的表示方法。

合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解函数的基本概念和表示方法，掌握函数的性质和应用。

通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：根据“函数及其表示法”课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。例如，要求学生绘制给定函数的图象，并分析其性质。

提供拓展资源：提供与“函数及其表示法”相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。例如，推荐相关的数学竞赛题目或在线教育平台。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。例如，针对学生的错误，提供具体的解答和改进建议。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。例如，学生可以尝试解决一些更复杂的函数问题。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。例如，学生可以记录自己在学习过程中的困难和收获，并思考如何改进学习方法。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的函数知识点和技能。

通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理1.函数的概念

-函数的定义：每个定义域中的元素，按照一定的对应关系，都有唯一的值域元素与之对应。

-定义域：函数中所有可能的输入值构成的集合。

-值域：函数中所有可能的输出值构成的集合。

-对应关系：定义域中的元素与值域中的元素之间的映射关系。

2.函数的表示方法

-解析式表示法：用数学表达式直接表示函数，如y=f(x)。

-表格表示法：用表格列出函数的定义域和对应的值域。

-图象表示法：用函数图象直观地表示函数的性质和变化规律。

3.函数的性质

-单调性：函数在定义域内，随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。

-奇偶性：函数满足f(-x)=f(x)为偶函数，f(-x)=-f(x)为奇函数。

-周期性：函数在定义域内，存在一个非零常数T，使得f(x+T)=f(x)。

-有界性：函数的值域存在上界和下界。

4.函数的运算

-函数的加法：两个函数相加，得到的新函数的对应法则为f(x)+g(x)。

-函数的减法：两个函数相减，得到的新函数的对应法则为f(x)-g(x)。

-函数的乘法：两个函数相乘，得到的新函数的对应法则为f(x)*g(x)。

-函数的除法：两个函数相除，得到的新函数的对应法则为f(x)/g(x)，其中g(x)≠0。

5.函数的复合

-复合函数的定义：一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到的函数称为复合函数。

-复合函数的运算：根据内外函数的对应法则，进行相应的运算。

6.函数的图象

-函数图象的绘制：根据函数的解析式、表格或定义域，绘制函数的图象。

-函数图象的性质：根据函数图象，分析函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质。

7.应用实例

-实际问题中的函数建模：根据实际问题，建立函数模型，求解实际问题。

-函数在物理、经济、工程等领域的应用：函数在各个领域都有广泛的应用，如物理中的运动学、经济学中的供需关系、工程中的优化设计等。

8.练习与巩固

-练习函数的概念、表示方法、性质等基本知识。

-练习函数的运算、复合、图象等应用技能。

-练习实际问题中的函数建模和求解。重点题型整理1.函数解析式求解

题型：已知函数的定义域和对应法则，求函数的解析式。

例题：已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=2f(x)，求f(x)的解析式。

答案：设f(x)=ax+b，则f(x+1)=ax+a+b。根据题意，有2ax+2a+2b=2ax+2b，解得a=0。因此，f(x)=b。由于f(x)的定义域为R，b可以取任意实数，所以f(x)的解析式为f(x)=b。

2.函数图象绘制

题型：根据函数的解析式，绘制函数的图象。

例题：绘制函数f(x)=x^2-4x+3的图象。

答案：首先，找出函数的顶点坐标。函数f(x)=x^2-4x+3可以写成f(x)=(x-2)^2-1，所以顶点坐标为(2,-1)。然后，确定函数的对称轴x=2。接着，找出函数的零点，即解方程x^2-4x+3=0，得到x=1和x=3。最后，在坐标系中连接这些点，绘制出函数的图象。

3.函数性质分析

题型：分析函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。

例题：分析函数f(x)=2x+1的单调性、奇偶性和周期性。

答案：函数f(x)=2x+1的导数为f'(x)=2，由于导数恒大于0，所以函数在定义域R上是单调递增的。函数f(x)=2x+1不满足f(-x)=f(x)，因此它不是偶函数。同样，也不满足f(-x)=-f(x)，所以它也不是奇函数。由于函数没有周期性，所以它没有周期。

4.复合函数求解

题型：求复合函数的解析式或值。

例题：已知f(x)=x^2和g(x)=2x+3，求f(g(x))的解析式。

答案：将g(x)代入f(x)中，得到f(g(x))=(2x+3)^2=4x^2+12x+9。因此，复合函数f(g(x))的解析式为f(g(x))=4x^2+12x+9。

5.函数应用问题

题型：将函数应用于实际问题，求解实际问题。

例题：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，求行驶t小时后汽车行驶的距离S。

答案：根据题意，汽车的速度是恒定的，因此行驶的距离S与时间t成正比。可以建立函数关系S(t)=60t，其中t为时间（小时），S为行驶距离（公里）。这样，就可以通过函数S(t)来求解任何给定时间t下的行驶距离。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课后练习题：要求学生独立完成教材中“函数及其表示法”部分的相关练习题，包括函数的解析式求解、图象绘制、性质分析等基础题。

2.应用题练习：选择实际生活中的问题，如温度随时间变化的函数模型、人口增长函数等，要求学生建立函数模型，并利用所学知识进行解答。

3.小组合作作业：分组讨论函数在不同领域的应用，如物理学中的运动学、经济学中的供需关系等，每组选取一个领域，编写一份简短的报告。

作业反馈：

1.及时批改：在作业提交后，教师应在第一