陕西省石泉县高中数学 第一章 计数原理 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）教案 北师大版选修2-3

陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）教案北师大版选修2-3学科政治年级册别八年级上册共1课时教材部编版授课类型新授课第1课时教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课主要讲解分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一），这是北师大版选修2-3教材第一章“计数原理”中的核心内容。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的内容与学生在初中阶段学习的排列组合知识有紧密联系，为学生进一步学习排列组合和概率论打下基础。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养。通过学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理，学生能够理解数学中的抽象概念，提升逻辑推理能力，并学会如何将实际问题转化为数学模型进行解决。同时，通过实例分析和问题解决，增强学生的数学应用意识和创新意识。教学难点与重点1.教学重点，①

①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的基本概念；

②掌握如何将实际问题转化为计数问题，并运用计数原理进行解决；

③能够熟练运用计数原理解决简单的实际问题。

2.教学难点，①

①理解并区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理的适用条件；

②将复杂问题分解为简单步骤，并正确应用计数原理进行计算；

③在实际问题中识别和应用计数原理，形成数学模型解决实际问题。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-3教材，以便跟随课程内容进行学习。

2.辅助材料：准备与分类加法计数原理和分步乘法计数原理相关的图片、图表和视频，帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备计算器等教学工具，以便学生在解决计数问题时进行辅助计算。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行小组合作学习，并确保实验操作台的安全性和整洁性，以支持可能的课堂实验活动。教学过程设计【导入环节】

1.创设情境：利用多媒体展示生活中常见的分类计数现象，如购物时的商品分类、图书馆书籍分类等。

2.提出问题：引导学生思考如何计算这些分类的数量。

3.学生讨论：小组讨论，分享各自的思考和初步方法。

4.用时：5分钟。

【讲授新课】

1.分类加法计数原理

a.引入概念：介绍分类加法计数原理的定义，强调其适用范围。

b.举例讲解：通过具体实例，如班级人数统计，展示如何应用分类加法计数原理。

c.学生练习：让学生独立完成几个简单的分类加法计数问题。

d.课堂讨论：学生分享解题思路，教师点评并总结。

用时：10分钟。

2.分步乘法计数原理

a.引入概念：介绍分步乘法计数原理的定义，强调其适用范围。

b.举例讲解：通过具体实例，如旅行路线规划，展示如何应用分步乘法计数原理。

c.学生练习：让学生独立完成几个简单的分步乘法计数问题。

d.课堂讨论：学生分享解题思路，教师点评并总结。

用时：10分钟。

【巩固练习】

1.练习题展示：教师展示几道综合性练习题，涵盖分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。

2.学生独立完成：学生独立完成练习题，教师巡视指导。

3.学生展示：学生展示解题过程，教师点评并总结。

4.课堂讨论：学生就解题过程中遇到的问题进行讨论，教师引导和总结。

用时：10分钟。

【课堂提问】

1.教师提问：针对本节课的重点内容，提出问题，检查学生对知识的掌握情况。

2.学生回答：学生回答问题，教师给予反馈和评价。

用时：5分钟。

【师生互动环节】

1.小组讨论：教师提出问题，学生分组讨论，分享讨论结果。

2.教师总结：教师对学生的讨论结果进行总结，强调重点和难点。

用时：5分钟。

【核心素养拓展】

1.数学建模：引导学生将实际问题转化为数学模型，应用计数原理解决问题。

2.创新思维：鼓励学生在解决实际问题时，尝试不同的解题方法，培养学生的创新思维。

用时：5分钟。

【总结与作业布置】

1.总结：教师对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

2.作业布置：布置课后作业，包括练习题和思考题，巩固学生对知识的掌握。

用时：5分钟。

【教学时间总计】

45分钟知识点梳理1.计数原理的基本概念

-分类加法计数原理：将一个计数问题分解为若干个互斥的子问题，分别计数后相加得到总数。

-分步乘法计数原理：将一个计数问题分解为若干个相互独立的步骤，分别计数后相乘得到总数。

2.分类加法计数原理的应用

-适用条件：计数问题可以分解为若干个互斥的子问题。

-解题步骤：

a.将计数问题分解为若干个互斥的子问题。

b.分别计数每个子问题的数量。

c.将各个子问题的计数结果相加，得到总数。

3.分步乘法计数原理的应用

-适用条件：计数问题可以分解为若干个相互独立的步骤。

-解题步骤：

a.将计数问题分解为若干个相互独立的步骤。

b.分别计数每个步骤的数量。

c.将各个步骤的计数结果相乘，得到总数。

4.实际问题中的计数原理应用

-识别问题：分析实际问题，判断是否可以应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理。

-转换模型：将实际问题转化为数学模型，以便应用计数原理解决问题。

-应用计数原理：利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理进行计算。

-结果验证：对计算结果进行验证，确保其正确性。

5.综合练习

-简单的计数问题：如班级人数统计、商品分类等。

-复杂的计数问题：如旅行路线规划、事件发生的概率计算等。

-应用计数原理解决实际问题：如排队问题、分配问题等。

6.课堂讨论与总结

-讨论重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的适用条件、解题步骤和实际应用。

-总结：强调计数原理在解决实际问题中的重要性，培养学生的数学思维和解决问题的能力。典型例题讲解【例题1】某班级有男生20人，女生25人，现要从该班级中选出3名学生参加比赛，要求男女各至少1名。求选出的3名学生的不同组合数。

解：根据分类加法计数原理，我们可以将问题分为两类：

1.选出1名男生和2名女生：从20名男生中选出1名的方法有C(20,1)种，从25名女生中选出2名的方法有C(25,2)种。因此，这种情况下的组合数为C(20,1)*C(25,2)。

2.选出2名男生和1名女生：从20名男生中选出2名的方法有C(20,2)种，从25名女生中选出1名的方法有C(25,1)种。因此，这种情况下的组合数为C(20,2)*C(25,1)。

所以，总的组合数为C(20,1)*C(25,2)+C(20,2)*C(25,1)。

【例题2】一个密码锁由4个数字组成，每位数字可以是0到9中的任意一个。求这个密码锁的总密码数。

解：由于密码锁由4个数字组成，且每位数字都可以独立选择，因此总密码数为10^4。

【例题3】一个班级有30名学生，其中有15名男生和15名女生。现要从该班级中选出5名学生参加比赛，求选出的5名学生的不同组合数。

解：由于男女学生数量相等，我们可以使用分步乘法计数原理。首先，从30名学生中选出5名的方法有C(30,5)种。然后，由于男女学生数量相等，选出5名学生中男女学生的组合数也相等，即C(15,2)*C(15,3)。

所以，总的组合数为C(30,5)*C(15,2)*C(15,3)。

【例题4】一个盒子里有5个红球和7个蓝球，现要从盒子中取出3个球，求取出的3个球颜色不同的组合数。

解：根据分类加法计数原理，我们可以将问题分为两类：

1.取出1个红球和2个蓝球：从5个红球中取出1个的方法有C(5,1)种，从7个蓝球中取出2个的方法有C(7,2)种。因此，这种情况下的组合数为C(5,1)*C(7,2)。

2.取出2个红球和1个蓝球：从5个红球中取出2个的方法有C(5,2)种，从7个蓝球中取出1个的方法有C(7,1)种。因此，这种情况下的组合数为C(5,2)*C(7,1)。

所以，总的组合数为C(5,1)*C(7,2)+C(5,2)*C(7,1)。

【例题5】一个班级有10名学生，其中有5名男生和5名女生。现要从该班级中选出3名学生参加比赛，要求选出的人数中男女比例至少为1:1。求选出的3名学生的不同组合数。

解：根据分类加法计数原理，我们可以将问题分为两类：

1.选出1名男生和2名女生：从5名男生中选出1名的方法有C(5,1)种，从5名女生中选出2名的方法有C(5,2)种。因此，这种情况下的组合数为C(5,1)*C(5,2)。

2.选出2名男生和1名女生：从5名男生中选出2名的方法有C(5,2)种，从5名女生中选出1名的方法有C(5,1)种。因此，这种情况下的组合数为C(5,2)*C(5,1)。

所以，总的组合数为C(5,1)*C(5,2)+C(5,2)*C(5,1)。教学评价1.课堂评价：

-提问：通过课堂提问，检查学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解程度。提问内容应包括基本概念、解题步骤和实际应用。

-观察：观察学生在课堂上的参与度，包括对问题的反应、小组讨论的表现和解决问题的能力。

-测试：进行小测验或随堂测试，评估学生对知识点的掌握情况，包括计算能力和应用能力。

2.作业评价：

-批改：对学生的作业进行认真批改，确保每个学生都能得到及时反馈。

-点评：在批改作业时，给予学生具体的点评，指出错误的原因和改进方法。

-反馈：及时与学生沟通作业情况，鼓励学生针对自己的不足进行改进。

-鼓励：对于表现优秀的学生，给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。

3.成绩记录：

-记录学生在课堂参与、作业完成和测试中的表现，