广东省深圳市中荟高级中学2027届高三上学期8月调研考试数学试卷（含解析）

广东深圳市中荟高级中学2027届高三8月调研考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，是的内角，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．4．中，设角，，的对边分别为，，．若，，，则的值为（

）A．或 B． C． D．5．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．3 B．18 C．52 D．546．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（

）A．1 B．2 C．4 D．88．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的有（

）A．设，，则“”是“”的必要条件B．若，，则C．当时，的最小值是D．若：，，则：，10．已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（

）A． B．C． D．11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数B．在上单调递增C．关于的方程有2个解D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是三、填空题12．已知向量，若，则_______．13．已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________.14．设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____.四、解答题15．设为全集，集合，．(1)若，求，；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．已知等差数列的前项和为，，且.(1)求数列的通项公式；(2)若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为.（ⅰ）求；（ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围.17．如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，.(1)求证：直线(2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18．已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长.19．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)证明：对任意，都有.1．A【详解】因为，，所以.2．C【详解】因为是的内角，且，所以.因为在上单调递减，所以，故充分性成立；反之，在上单调递减，.若，则，故必要性成立，所以在中，“”是“”的充要条件.3．C【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，外接球的直径等于长方体的体对角线长度．已知，则长方体的体对角线，因此，外接球半径．球的表面积.4．A【详解】由题设，且必为锐角，则，对于可能为锐角，也有可能为钝角，则，均满足题设，由，若时，，若时，，综上，为或.5．D【详解】解：已知为等比数列，，①则，②当时，，即，③，可得，代入③可得，则，所以，D正确.6．B【详解】因，，可得，因三点共线，故，解得，故.又因的面积为，，则，解得.由两边取平方，可得，因，当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值为.7．D【详解】抛物线的焦点为,准线与轴交于点,所以以为圆心，为半径的圆的方程为，圆与抛物线在第一象限的交点为，设，如图，作出符合题意的图形，由，得，因为点在第一象限，所以，即，显然，所以为直角三角形，所以的面积为.8．C【详解】由题意得在上恒成立，且能取等，即在上恒成立，且能取等，令，则的最小值为0，因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；，解得．9．ABD【详解】对于A：当，时，，所以充分性不成立，反之，当时，且，所以必要性成立，故A正确；对于B：由得，又，由不等式的性质可得，故B正确；对于C：当时，，所，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故C错误；对于D：由存在量词命题的否定是全称量词命题知，命题：，的否定：，，故D正确.10．BC【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，故A错误；所以，又，所以，则，又，所以，故B正确；所以，又，则，因为在上单调递增，所以，解得，故C正确；因为，，所以，故D错误.故选：BC11．AC【详解】对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以为奇函数，A正确；对于B：任取，，，，，所以，，即函数在单调递减，又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误；对于C：时，，当时，，令，解得，当时，，令，无解；令，则，所以函数为偶函数，由对称性可知在上方程有解，C正确；对于D：，关于的不等式可得，结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解；当时，在区间内无整数解，因此只需在内包含一个即可.因为，因此若不等式恰好有1个整数解，只需，解得，D错误．12．【详解】由，可得且，因为，可得，解得.故答案为：.13．【详解】因为是抛物线上一点，所以，得，所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，，易知直线、直线、直线的斜率存在，则，，由题意，可得，所以，所以直线的斜率为定值.14．【详解】若，则的取值范围是．当时，，分两种情形讨论：若，则在单调递增，相应的取值范围是，因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得．当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去．综上可得．15．(1)，；(2).【详解】（1）当时，，又，结合，则，，从而.则，或，；（2）由（1）知.由题可得是的真子集，若为空集，则；若不为空集，且等号不同时成立，解得，综上可得.16．(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）【详解】（1）设等差数列的公差为，，所以数列的通项公式.（2）（ⅰ）因为是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.，，两式相减，得；（ⅱ），因为所以，所以数列是单调递增数列，所以数列的最小项为，要想对恒成立，只需，所以参数的取值范围为.17．(1)因为平面，平面，所以，因为点分别是的中点，所以，因为，所以，所以，且，平面，所以平面，平面，所以；(2)【详解】（1）略（2）因为，则，所以，因为，所以，因为，所以，所以，即，得，如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，连结，因为平面，平面，所以，因为，所以，又因为，且，平面，所以平面，所以平面的一个法向量是，因为平面平面，且平面平面，又，点是的中点，所以，所以平面，所以平面的一个法向量是，，，，，，，设平面与平面所成锐二面角为，则,所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.18．(1)；(2).【详解】（1）由题意知，代入点，即，解得，可得椭圆的方程为；（2）联立与，化简得，可得，由可得，即解得，所以，可得，即弦的长为.19．(1)(2)的单调递增区间为；单调递减区间为，(3)证明：设，则.当时，，单调递减；当时，