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文档简介

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数证明

(3)(4)设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕解:说明:根据定理2,若在某单连通域区域内则2)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;例2.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:

设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。解例4

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:

令设L所围区域为D,由格林公式知在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和

lˉ

所围的区域为林公式,得例5.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.

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