五年级奥数-数的整除

五年级奥数-数的整除引子：从“分东西”说起在我们的日常生活中，常常会遇到“分东西”的问题。比如，把一篮苹果平均分给几个小朋友，要保证每个小朋友拿到的数量一样多，而且没有剩余。这种“恰好分完，没有剩余”的情况，在数学上就与我们今天要探讨的“整除”概念息息相关。对于五年级的奥数学习来说，“数的整除”不仅仅是一个基础概念，更是解决许多复杂数学问题的“金钥匙”。它能帮助我们快速判断一个数能否被另一个数除尽，在数字谜、数列规律、最大公约数与最小公倍数等问题中都有着广泛的应用。一、什么是“整除”？我们先来明确“整除”的定义。如果整数`a`除以整数`b`（`b`不等于0），除得的商正好是整数，且没有余数（或者说余数为0），我们就说`a`能被`b`整除，或者说`b`能整除`a`。这里的`a`叫做`b`的倍数，`b`叫做`a`的约数（或因数）。请注意几个关键点：1.被除数、除数（除数不为0）和商必须都是整数。2.没有余数，或者说余数是0。比如，15÷3=5，这里15能被3整除，3是15的约数，15是3的倍数。但如果是15÷4=3.75，商不是整数，所以15不能被4整除；或者16÷5=3……1，有余数1，所以16也不能被5整除。小思考：“除尽”和“整除”是一回事吗？（提示：想想1.5÷0.5=3，这叫除尽，但能叫整除吗？）二、数的整除特征：快速判断的“捷径”记住一些常用的数的整除特征，能让我们在解题时事半功倍，快速判断一个数能否被某个特定的数整除。这可是奥数里的基本功哦！1.能被2或5整除的数的特征*能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的整数。也就是说，偶数都能被2整除。*例如：24（个位4）、108（个位8）、310（个位0）都能被2整除。*能被5整除的数：个位上是0或5的整数。*例如：35（个位5）、210（个位0）、1005（个位5）都能被5整除。*引申：能同时被2和5整除的数，个位上一定是0。因为它既要满足是偶数，又要满足个位是0或5，所以只有0符合。2.能被4或25整除的数的特征*能被4整除的数：一个整数的末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除。*例如：124，末两位是24，24÷4=6，所以124能被4整除。*为什么只看末两位？因为100是4的倍数（100÷4=25），所以任何整百数都能被4整除，一个数去掉末两位后剩下的部分是整百数，自然能被4整除，所以只需看末两位。*能被25整除的数：一个整数的末两位数能被25整除，那么这个数就能被25整除。*例如：375，末两位是75，75÷25=3，所以375能被25整除。*同理，因为100是25的倍数（100÷25=4），所以只需看末两位。3.能被8或125整除的数的特征*能被8整除的数：一个整数的末三位数能被8整除，那么这个数就能被8整除。*例如：1104，末三位是104，104÷8=13，所以1104能被8整除。*能被125整除的数：一个整数的末三位数能被125整除，那么这个数就能被125整除。*例如：2375，末三位是375，375÷125=3，所以2375能被125整除。*思考一下：为什么这里要看末三位呢？（提示：1000是8和125的倍数）4.能被3或9整除的数的特征*能被3整除的数：一个整数的各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。*例如：123，数字和1+2+3=6，6÷3=2，所以123能被3整除。*能被9整除的数：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。*例如：189，数字和1+8+9=18，18÷9=2，所以189能被9整除。*小窍门：在计算数字和时，如果遇到9，可以直接划掉，因为9本身就是9的倍数，不影响整除性判断（对于3也一样，因为9是3的倍数）。例如：判断549是否能被9整除，5+4+9=18，18能被9整除；也可以直接划掉9，5+4=9，9能被9整除。5.能被7、11或13整除的数的特征这三个数的整除特征稍微复杂一些，我们可以用“末三位割减法”。*末三位割减法：把一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数相减（大减小），如果所得的差能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。如果差比较大，还可以继续用同样的方法对差进行判断。*例如：判断____能否被7整除。*末三位是114，末三位之前是128。*128-114=14。*14能被7整除，所以____能被7整除。*能被11整除的特殊判断法：还有一种更常用的判断11的方法——一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数（包括0），那么这个数就能被11整除。*例如：判断____是否能被11整除。*奇数位（从右往左数，第一位为奇数位）：5（1位）、1（3位）、2（5位），和为5+1+2=8。*偶数位：6（2位）、8（4位），和为6+8=14。*差为14-8=6。6不是11的倍数，所以____不能被11整除。*再试一个：121，奇数位1+1=2，偶数位2，差2-2=0，0是11的倍数（0能被任何非0数整除），所以121能被11整除。三、整除的基本性质掌握了整除特征，我们再来了解几条整除的基本性质，它们能帮助我们解决更复杂的问题：1.传递性：如果数`a`能被数`b`整除，数`b`能被数`c`整除，那么数`a`就能被数`c`整除。*例如：如果36能被12整除，12能被6整除，那么36一定能被6整除。2.和差性：如果数`a`和数`b`都能被数`c`整除，那么它们的和（`a+b`）以及差（`a-b`，假设`a>b`）也能被`c`整除。*例如：21能被3整除，15能被3整除，那么21+15=36能被3整除，21-15=6也能被3整除。3.积性：如果数`a`能被数`b`整除，那么数`a`与任何整数`m`的乘积（`a×m`）也能被`b`整除。*例如：14能被7整除，那么14×5=70也能被7整除。四、综合运用与拓展在奥数题中，很少会直接单独考查一个数的整除特征，更多的是综合运用。比如：*判断一个数能否被多个数整除：这时需要同时满足多个数的整除特征。例如，判断一个数能否被6整除，因为6=2×3，且2和3互质，所以这个数既要能被2整除（个位是偶数），又要能被3整除（数字和是3的倍数）。*根据整除特征求未知数：这类题目通常会给出一个数的某些数位，让你根据它能被某个数整除来求出未知的数位。*例题：已知四位数3□2□能同时被2、3、5整除，这个四位数最小是多少？*分析：能同时被2和5整除，个位一定是0。所以这个数是3□20。*再考虑能被3整除：3+□+2+0=5+□必须是3的倍数。*5+□可以是6、9、12……最小的话，5+□=6，所以□=1。*因此，这个四位数最小是3120。结语数的整除是小学数学，尤