2026年秋季学期新版北师大版八年级数学上册2.7二次根式导学案1

2026年秋季学期新版北师大版八年级数学上册2.7二次根式导学案1学习目标1.理解二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式。2.掌握二次根式有意义的条件，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围。3.通过具体情境和实际问题，感受二次根式在现实生活中的应用，培养数学抽象和数学应用意识。学习重点与难点*学习重点：二次根式的概念；二次根式有意义的条件。*学习难点：理解二次根式中被开方数的非负性，并能运用其解决相关问题。学习过程一、温故知新，情境引入我们已经学习了平方根和算术平方根的概念。请思考以下问题：1.4的算术平方根是多少？0的算术平方根是多少？负数有算术平方根吗？2.一个正方形的面积为5，那么它的边长是多少？如何表示？3.要修建一个面积为S的圆形花坛，它的半径是多少？（用含S的式子表示）在解决这些问题时，我们会遇到形如√2，√5，√S这样的式子。这些式子有什么共同特征？它们在什么条件下有意义？这就是我们今天要学习的内容——二次根式。二、新知探究，形成概念探究一：观察与归纳观察下列各式：√3，√0，√(1/2)，√a(其中a表示的数是非负数)，√(x+1)(其中x+1表示的数是非负数)。思考：这些式子有什么共同的形式特征？它们的被开方数有什么共同特点？归纳总结：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。“√”称为二次根号，a叫做被开方数。注意要点：1.二次根式的定义有两个要点：*形式上必须含有二次根号“√”。*被开方数a必须是非负数，即a≥0。这是二次根式有意义的前提。2.在二次根式√a中，a可以是一个具体的数，也可以是一个表示数的字母或代数式，但前提是这个数或代数式的值必须是非负的。3.二次根式√a(a≥0)本身也是一个非负数。即时小练1：判断下列各式哪些是二次根式，哪些不是，并说明理由。(1)√7(2)√(-5)(3)√(x²)(4)√[-(x²+1)](5)∛4(6)√(a-1)(a<1)探究二：二次根式有意义的条件由于在实数范围内，负数没有平方根，所以二次根式√a有意义的条件是被开方数a为非负数，即a≥0。问题：当x取何值时，下列二次根式有意义？(1)√x(2)√(x-2)(3)√(2x+3)(4)√(1-x)分析与解答：要使二次根式有意义，只需让被开方数大于或等于0，解这个不等式即可求出x的取值范围。(1)对于√x，被开方数是x。要使√x有意义，则x≥0。(2)对于√(x-2)，被开方数是x-2。要使√(x-2)有意义，则x-2≥0，解得x≥2。(3)（请同学们尝试独立完成）(4)（请同学们尝试独立完成）方法提炼：求二次根式中字母的取值范围，关键是抓住二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列出不等式，解不等式即可。如果二次根式在分母中，还需考虑分母不为零。（这一点我们后续会遇到）即时小练2：当x取何值时，下列二次根式有意义？(1)√(3x-1)(2)√(5-2x)(3)√(x²+1)三、典例分析，深化理解例1：下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次根式中的被开方数。(1)√15(2)√(-7)(3)√(a²+2)(4)√(3x)(x<0)(5)√(m-3)(m≥3)分析：根据二次根式的定义，逐一判断。形式上要有√，被开方数要非负。解：(1)√15是二次根式，被开方数是15。(2)√(-7)不是二次根式，因为被开方数-7是负数。(3)√(a²+2)是二次根式，因为a²≥0，所以a²+2≥2>0，被开方数是a²+2。(4)√(3x)(x<0)不是二次根式，因为x<0时，3x<0，被开方数是负数。(5)√(m-3)(m≥3)是二次根式，因为m≥3时，m-3≥0，被开方数是m-3。例2：当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？(1)√(x+3)(2)√(2-4x)(3)√x+√(-x)分析：(1)被开方数x+3≥0；(2)被开方数2-4x≥0；(3)要使√x和√(-x)同时有意义，必须满足x≥0且-x≥0，即x≥0且x≤0，所以x=0。解：(1)由x+3≥0，得x≥-3。所以当x≥-3时，√(x+3)有意义。(2)由2-4x≥0，得4x≤2，即x≤1/2。所以当x≤1/2时，√(2-4x)有意义。(3)由题意，得x≥0-x≥0解得x=0。所以当x=0时，√x+√(-x)有意义。思考与拓展：若二次根式√(a-1)+√(1-a)有意义，则a的值是多少？√a的值是多少？四、巩固练习，学以致用1.下列各式中，是二次根式的是（）A.√(-3)B.∛8C.√(x²+1)D.√x(x<0)2.当a=时，二次根式√(a-2)的值为0。3.当x取何值时，下列二次根式有意义？(1)√(4x-3)(2)√(6-2x)(3)√(x/2)(4)√(x-1)+√(5-x)4.若√(3-m)是二次根式，且m为正整数，求m的值。五、课堂小结，反思提升通过本节课的学习，你有哪些收获？请从以下几个方面进行总结：1.什么是二次根式？它有哪些形式特征？2.二次根式有意义的条件是什么？如何确定二次根式中字母的取值范围？3.你认为本节课的学习中，有哪些需要特别注意的地方？教师寄语：数学概念的理解是学好数学的基础。二次根式的概念看似简单，但它是后续学习二次根式运算的基石。希望同学们能深刻理解“被开方数非负”这一核心条件，并能灵活运用。六、课后作业，延伸拓展1.教材对应练习题。2.当x为何值时，式子√(x-2)+1/√(5-x)有意义？3.已知y=√(x-3)+√(3-x)+2，求x+y的值。4.