初中数学专项题库：一元二次方程大总结110题

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【各章节核心题系列——一元二次方程大总结110题】

（韩春成老师内部学员核心资料（23））

【框架梳理——15大核心题型】

【一元二次方程的概念与解法】

一、一元二次方程的概念

1、基本概念

2、根的概念

3、待定系数

4、代数式与一元二次方程

二、一元二次方程的解法

1、直接开方法

2、配方法

3、公式法

4、因式分解法

5、简单换元

【一元二次方程的判别式】

三、判断一元二次方程根的情况

四、根据根的情况求参数韩老师说：学习资料不在于多而在于精！

五、根的判别式在几何上的应用越付出越富有，加油，年卡的春卷们！！

【一元二次方程的根系关系】

六、利用根系关系解决三角形问题

七、韦达定理与直接应用

八、利用根系关系求代数式的值

九、根的分布

【一元二次方程的公共根与整数根】

十、公共根

十一、整数根

1.根据参数范围求解

2.判别式为完全平方式

3.判别式不是完全平方数

4.其他

5.竞赛题

十二、有理根

【一元二次方程的实际应用】

十三、增长率

十四、买涨价

十五、储蓄问题

十六、趣味问题

十七、图形面积

十八、数字乘积

十九、其它问题

【可化为一元二次方程的其他方程】

二十、含参的二次方程

二十一、含绝对值的二次方程

二十二、高次方程

二十三、分式方程

二十四、根式方程

二十五、与函数结合

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【经典例题精炼——110道核心题】

一元二次方程的概念与解法

一、一元二次方程的概念

1、基本概念

2、根的概念

3、待定系数

4、代数式与一元二次方程

二、一元二次方程的解法

1、直接开方法

2、配方法

3、公式法

4、因式分解法

5、简单换元

三、一元二次方程的概念

1．基本概念

1.【易】（初二第二学期期末试卷）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

11

A．ax2bxc0B．2

xx2

C．x2221xxD．3(xx1)22(1)

2.【易】（北京市第56中学2010-2011学年度第一学期期中初三）方程

2

m2xm23mx20是一元二次方程，则m________．

2．根的概念

3.【易】（遵义市初中毕业生学业考试数学试题卷）已知x2是方程x2mx60的

一个根，则方程的另一个根是________．

4.【易】（北京市朝阳外国语学校初二期中）已知关于x的方程

k1x225xk5k60的一个根是x0，则k值为（）

A．2或3B．6C．6或1D．6或1

5.【易】(泸州市中考题)已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程

x26x80的根，则这个三角形的周长为_____________．

6.【中】（福建福州质量检查）已知x1是一元二次方程x2mxn0的一个根，则

m222mnn的值为_____________．

11

7.【难】已知一元二次方程xx2650两根为a、b，则的值是________

ab

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3．待定系数

8.【易】若(x4)(x2)x2pxq，则p，q的值是（）

A．2，8B．2，8C．2，8D．2，8

9.【中】若关于x的方程(k215)x2k(2x21)5有无穷多个解，则（）

A．k3且k5B．k3或k5C．k5D．k为任意实数

4．代数式与一元二次方程的根

10.【中】在实数范围内把xx222分解因式得（）

A．(xx2)(1)2B．(xx2)(1)2

C．(xx2)(12)D．(xx2)(12)

一、一元二次方程的解法

1．直接开方法

11.【易】（綦江县初中毕业暨高中招生考试数学试卷）一元二次方程x216的解是

________．

12.【中】（吉林省长春市）用直接开平方法解方程：x226x9(52x)

13.【难】（南昌）若方程xm20有整数根，则m的取值可以是________

14.【难】如果方程xa2b有实数解，那么b的取值范围是_________

.

15.【难】当n______时，方程xp2n0有解，其解为_________

2．配方法

16.【易】（北京市中考）若把代数式xx223化为()xm2k的形式，其中m、k为

常数，则mk________．

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17.【易】当k为何值时，x22k(x4)15是完全平方式

3．公式法

18.【易】（兰州市初中毕业生数学学业考试）解方程：xx2310

19.【难】（山西省太原市初中数学竞赛试卷）已知实数a0，b0，满足

aa2008，bb22008，则ab的值是________．

4．因式分解法

20.【易】（2013山东滨州）一元二次方程2xx2310的解为______________．

21.【中】解方程：k2x23kx10；

22.【中】（北京市西城区（南区）2011-2012学年度第一学期期末）已知关于x的一元二

次方程x222mx3m8m40的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取

值范围．

23.【中】用因式分解法解方程：x23mx2m2mnn20（m、n为常数）

5．简单换元

2

xx

24.【易】解方程：560；

xx11

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25.【易】仿照例子解题：“已知x222x1x2x24，求xx22的值”，在求解这

个题目中，运用数学中的整体换元可以使问题变得简单，具体方法如下：

解：设x22xy，则原方程可变为：yy124

22

整理得yy24即：yy60解得y13，y22．

∴xx22的值为3或2．

请仿照上述解题方法，完成下列问题：

已知：x2y232x22y2424，求xy22的值．

2a56a42a3a21

26.【中】(江西省竞赛题)已知a是方程x23x10的根，则分式

3a

的值为_______．

4xx53

27.【难】解方程0．

x32x2xx32x25x2

一元二次方程综合

28.【中】(四川省绵阳市中考数学真题试题)已知整数k5，若△ABC的边长均满足关于

x的方程x23kx80，则△ABC的周长是__________

29.【中】（世界数学团体锦标赛试题）如图，点E和点F分别是正方形ABCD中BC边

EF

和CD边上的点，且EAF45，则的最小值是___________

AB

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一元二次方程的判别式

一、判断一元二次方程根的情况

二、根据根的情况求参数

三、根的判别式在几何上的应用

一、判断一元二次方程根的情况

30.【易】（珠海市初中毕业生学业考试数学）已知一元二次方程：①xx2230，②

xx2230．下列说法正确的是（）

A．①②都有实数解

B．①无实数解，②有实数解

C．①有实数解，②无实数解

D．①②都无实数解

31.【易】（广东省广州市中考题）若5k200，则关于x的一元二次方程

x240xk的根的情况是（）

A．没有实数根B．有两个相等的实数根[来源:x*k.Com]

C．有两个不相等的实数根D．无法判断

32.【易】（北京市西城区（南区）第一学期期末）

关于x的方程x22kxk10的根的情况描述正确的是（）

A．k为任何实数，方程都没有实数根

B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

C．k为任何实数，方程都有两个相等的实根

D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两

个相等的实数根三种

二、根据根的情况求参数

33.【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期中考试）若关于x的一元二次方

程kx23x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）

99

A．kB．k≥且k0

44

99

C．kD．k且k0

44

34.【中】（北京市西城区（南区）2011-2012学年度第一学期期末）已知关于x的一元二

次方程a221x2a2x10有实根，则a的取值范围是________．

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35.【易】关于x的一元二次方程(12k)x22k1x10有两个不相等的实数根，求k

的取值范围．

36.【易】使得关于x的一元二次方程2x(kx4)x260无实数根的最小整数k（）

A．-1B．2C．3D．4

37.【中】（荆门市中考题）关于x的方程ax2(a2)x20只有一解（相同解算一

解），则a的值为_________．

38.【中】（北方交大附中第二学期期末练习）

已知关于x的一元二次方程x22k3x6k0（k0）①

⑴求证：方程①总有两个不相等的实数根；

y

⑵设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中xx12），若是关于k的函数，且

yx1226x，求这个函数的解析式；

⑶在⑵的条件下，结合函数的图象回答：当自变量k的取值范围满足什么条件时，

2

y

k

39.【中】（乐山市高中阶段教育学校招生统一考试数学）

已知关于x的一元二次方程x222k1xkk0．

⑴求证：方程有两个不相等的实数根；

⑵若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当

△ABC是等腰三角形时，求k的值．

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40.【难】（厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试）

2

若x1，x2是关于x的方程xbxc0的两个实数根，且x12x2k（k是整数），

则称方程x2bxc0为“偶系二次方程”．如方程xx26270，xx2280，

27

xx230，xx26270，xx2440，都是“偶系二次方程”．

4

⑴判断方程xx2120是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

⑵对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2bxc0是“偶系

二次方程”，并说明理由．

三、根的判别式在几何上的应用

41.【中】方程xx29180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长

为．

42.【中】已知a，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程xx29200，则a的

值为．这样的直角三角形有个．

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43.【中】已知ABC的三边abc,,满足：bc8，bca212a52，试确定ABC的

形状．

44.【中】已知：a、b、c分别是ABC的三边长，当m0时，关于x的一元二次方程

c(x22m)b(xm)2amx0有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形．

45.【易】（眉山市初中学业水平暨高中阶段教育学校招生考试）已知三角形的两边长是

方程xx2560的两个根．则该三角形的周长L的取值范围是（）

A．15LB．26LC．59LD．6L10

46.【中】已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程

x22(2k3)xk3k20的两个实数根，第三边BC的长是5

⑴k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

⑵k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求ABC的周长

47.【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期末考试）已知方程xx2520

的两个解分别为x1、x2，则x1x2x1x2的值为（）

A．7B．3C．7D．3

48.【易】若方程x2xk0有两负根，则k的取值范围是（）

11

A．k0B．k0C．kD．0k≤

44

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49.【易】设x1、x2是方程x2k1xk20的两个不同的实根，且

xx12118，则k的值是___________．

50.【易】实数k为何值时，关于x的一元二次方程x2(2k3)x(2k4)0．

⑴有两个正根？

⑵两根异号，且正根的绝对值较大？

⑶一根大于3，一根小于3？

51.【易】已知关于x的方程x22(m2)xm250有两个实数根，并且这两个根

的平方和比这两个根的积大16，求m的值．

2

52.【易】已知x1、x2是一元二次方程4kx4kxk10的两个实数根．

3

⑴是否存在实数k，使(2xx)(x2x)成立？若存在，求出k的值；若不存

12122

在，请说明理由．

xx

⑵求使122的值为整数的实数k的整数值．

xx21

53.【易】已知关于x的一元二次方程x240xk与2x23xk0有一个相同的根，求

k的值．

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54.【中】已知关于x的方程4x28nx3n2和x22n3x2n20，是否存在这

样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存

在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

55.【中】已知方程x2axb0的根是a和c，方程x2cxd0的根是b和d．其中，

a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．

56.【中】已知关于x的方程t221x2t1x10的两根倒数之和大于0，求t的取

值范围．

22

57.【难】已知方程ax40xb(a0)的两实根为x1、x2，方程ax30xb的两

实根为、．

⑴若a、b均为负整数，且||1，求a、b的值；

⑵若12，xx12，求证：21xx12．

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四、利用根系关系求代数式的值

2

58.【易】（2013湖北荆门中考）设x1，x2是方程xx20130的两个实数根，则

3

xx1220142013=（）

2

59.【中】（四川泸州市中考数学真题）设xx12，是方程xx330的两个实数根，则

xx

21的值为（）

xx12

A．5B．5C．1D．1

60.【中】（天津市中考题）若关于x的一元二次方程2x22x3m10的两个实根为

x1、x2，且x1x2x1x24，则实数m的取值范围是（）

51551

A．mB．mC．mD．m

32332

61.【中】（2012年潜江市中考题）如果关于x的一元二次方程x24xa0的两个不相

等实数根x1,x2满足x1x22x12x250，那么a的值为（）

A．3B．-3C．13D．-13

ba

62.【易】如果a，b都是质数，且a213am0，b213bm0，求的值．

ab

2

63.【易】阅读材料：设一元二次方程axbxc0(a0)的两根是x1、x2，则根与系

bc

数关系为：xx，xx．已知pp210，10qq2，且pq1，

12a12a

pq1

求的值．

q

2

64.【中】（苏省南通市中考数学试题）设x1、x2是一元二次方程xx430的两个根，

2a

2x1x25x23a2，则________．

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65.【中】（孝感市高中阶段学校招生考试数学）

22

已知关于x的一元二次方程x2k1xk2k0有两个实数根x1、x2．

⑴求实数k的取值范围；

22

⑵是否存在实数k使得x1x2x1x2≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，

请说明理由．

66.【中】（怀化市中考题）

2

已知xx12，是一元二次方程(a6)x2axa0的两个实数根．

⑴是否存在实数a，使x1x1x24x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请

说明理由．

⑵求使(x11)(x21)为负整数的实数a的整数值．

2

67.【难】（内江市中考题）已知方程xpxq0的两个根是x1,x2，那么x1x2p，

x1x2q，请根据以上结论，解决下列问题：

⑴已知关于x的方程x2mxn0(n0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别

是已知方程两根的倒数；

ba

⑵已知a、b满足a215a50，b215b50，求的值；

ab

⑶已知a、b均为实数，且abc0,abc16，求正数c的最小值．

68.【难】（“TRULY®信利杯”竞赛题）已知实数ab，且满足(a1)233(a1)，

ba

3(b1)3(b1)2，则ba的值为（）

ab

A．23B．-23C．-2D．-13

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69.【易】（北京市朝阳外国语学校2010-2011学年初二期中）一元二次方程

x2pxq0，当p0且q0时方程（）

A．两根异号，且负根的绝对值大B．两根都是负数

C．两根异号，且正根的绝对值大D．两根都是正数

70.【中】（平谷区）已知一元二次方程x240xk有两个不相等的实数根，

⑴求k的取值范围；

⑵如果k是符合条件的最大整数，且关于x的方程x240xk与x2mx10有一

个相同的根，求此时m的值．

71.【难】试求满足方程x2kx70与x26x(k1)0有公共根的所有的k值及所有

公共根和所有相异根．

72.【难】三个二次方程ax2bxc0，bx2cxa0，cx2axb0有公共根．

⑴求证：abc0；

abc333

⑵求的值．

abc

73.【中】（南充市高中阶段教育学校招生考试数学试卷）

关于x的一元二次方程为m1x22mxm10．

⑴求出方程的根；

⑵m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

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74.【难】已知关于x的方程(4k)(8k)x2(8012k)x320的解都是整数，求整数k

的值．

1.根据参数范围求解

75.【中】设方程mx2(m2)x(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时

方程所有的整数解．

76.【难】已知方程a2x23a28ax2a213a150(a是非负整数)至少有一个整数根，

那么a________．

2.判别式为完全平方式

77.【中】（密云一模）

2

已知：x1、x2分别为关于x的一元二次方程mx2x2m0的两个实数根．

⑴设x1、x2均为两个不相等的非零整数根，求m的整数值；

⑵利用图象求关于m的方程x12xm10的解．

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78.【中】（丰台）已知：关于x的方程kx22k3xk30．

⑴求证：方程总有实数根；

⑵当k取哪些整数时，关于x的方程kx22k3xk30的两个实数根均为负整

数？

79.【中】（昌平一模）

已知关于x的方程k1x23k1x2k20．

⑴讨论此方程根的情况；

⑵若方程有两个整数根，求正整数k的值．

⑶若抛物线yk1x23k1x2k2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的

值．

80.【难】若k为正整数，且关于k的方程(k221)x6(3k1)x720有两个相异正整数

根，求k的值．

3.判别式不是完全平方式

81.【难】（顺义一模）

已知关于x的方程k1x22kxk30．

⑴若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

⑵当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程y2a4kya10的整数根

（a为正整数）．

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五、有理根

82.【难】设k为整数，且k0，方程kx2k1x10有有理根，求k的值

【一元二次方程的实际应用】

一、增长率

二、买涨价

三、储蓄问题

四、趣味问题

五、图形面积

六、数字乘积

一、增长率

83.【中】(四川省绵阳市中考数学真题试题)

“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车

销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售

了100辆.

⑴若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆

自行车？

⑵考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，

已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为

1300元/辆.根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍.假

设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？

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84.【中】（浙江省初中毕业生学业考试（湖州市））随着人民生活水平的不断提高，

我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008

年底家庭轿车的拥有量达到100辆.

⑴若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区

到2009年底家庭轿车将达到多少辆？

⑵为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用

分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的

数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位

各多少个？试写出所有可能的方案.

二、买涨价

85.【易】某商店如果将进货价8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现采用

提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨0.5元，其销售量就可以

减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润

86.【易】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商

品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，

商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

87.【易】（淮安数学中考试题）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下

优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，

那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠

条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？

88.【中】（绍兴市中考题）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间

的年租金定为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1

间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出去的商铺每间每年交

各种费用5000元．

⑴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

⑵当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为

275万元？

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三、储蓄问题

89.【易】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将

本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，

这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利

息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

四、趣味问题

90.【易】一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，

旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2

米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一

试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

91.【易】读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

92.【中】（襄阳市初中毕业生学业考试数学试题）有一人患了流感，经过两轮传染后共

有64人患了流感．

⑴求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

⑵如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

五、图形面积

93.【易】如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一

个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．

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越付出越富有，春卷们加油！

94.【易】用22厘米长的铁丝，折成一个面积为30平方厘米的长方形，求这个长方形的

长和宽。又问：能否折成面积是32平方厘米的长方形呢？为什么？

六、数字乘积

95.【易】（西南宁中考）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间

都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）

A．7队B．6队C．5队D．4队

96.【易】一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样

升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？

（过程）

97.【易】如图所示，在△ABC中，C90，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发

沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速

度移动.

（1）如果PQ、同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点PQ、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的

面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

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越付出越富有，春卷们加油！

【可化为一元二次方程的其他方程】

一、含参的二次方程

二、含绝对值的二次方程

三、高次方程

四、分式方程

五、根式方程

六、与函数结合