【RJ版春季课程初二数学】第11讲 四边形综合复习 教案（教师版）

第第11讲讲四边形综合复习概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、平行四边形的定义、性质、判定和面积的计算2、矩形的定义、性质、判定和面积的计算3、菱形的定义、性质、判定和面积的计算4、正方形的定义、性质、判定和面积的计算教学目标熟练掌握几种常见的四边形的性质和判定，并且能够做到灵活运用教学重点常见的几种四边形的性质和判定的运用教学难点平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：一、课堂导入二、复习预习二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1平行四边形性质及判定平行四边形的性质：平行四边形的判定：.考点考点2菱形的性质及判定菱形的性质：菱形的判定：考点考点3矩形的性质及判定矩形的性质：矩形的判定：考点考点4正方形的性质及判定正方形的性质：正方形的判定：考点5四边形之间关系考点5四边形之间关系点次方程的定义三、例题三、例题精析类型一平行四边形例题1例题1如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．FFAEBCD【答案】CF=4．例题2例题2从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．图图②图①abA图③BCD现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A＝45°，AB＝6，AD＝4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为．【答案】类型二菱形例题1例题1如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角，使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为时，两点的距离为_______cm.【答案】54例题例题2在菱形ABCD中，∠ABC＝60°．AC＝4．则BD的长为（）【答案】B．类型三矩形例题1例题1甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿卷尺帮助检测一个窗框的形状是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（）A．甲量得窗框的一组邻边相等B．乙量得窗框两组对边分别相等C．丙量得窗框的对角线长相等D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等【答案】D．例题例题2如果矩形一个角的平分线把一条边分成4cm、6cm两部分，则矩形的周长为（）A．28B．32C．28或32

D．以上都不对【答案】C．类型四正方形例题1例题1正方形、正方形和正方形的位置如图4所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为：（）图图4（Ａ）10（Ｂ）12（Ｃ）14（Ｄ）16【答案】D．例题例题2如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于．【答案】4+4+2=10四、课堂运用四、课堂运用基础基础如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，∠BCD的平分线交AD于点E，则线段DE的长度是__________cm．AABCED顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是_____．如图5，在梯形中，则AB=下列说法不正确的是（）（A）对角线相等且互相平分的四边形是矩形;（B）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;（C）对角线垂直的菱形是正方形;（D）底边上的两角相等的梯形是等腰梯形答案与解析1.【答案】62.【答案】略3.【答案】略4.【答案】略巩固巩固如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E=60°，AC=,求菱形ABCD的面积．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45º.△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，连接BE，CF相交于点D.（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ABDF是菱形时，求CD的长.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求AB,AC的长；（2）求证：AE=DF；（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.答案与解析1.【答案】略2.【答案】略3.【答案】略拔高拔高如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），不用说明理由．已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2．(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积(用含a的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=cm，AD=8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F；同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当EP⊥BC时，求t的值是多少？（2）设△PEF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使面积y最大？若存在，求出y的最大值；若不存在，说明理由．（4）连接AP，是否存在某一时刻t，使点E恰好在AP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．答案与解析1.【答案】（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：如图2，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∴∠DAC+∠CAF=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，∴∠CAF=∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即∠BCF=90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；故答案为：垂直，相等；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：如图3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=∠ABC=45°∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD，理由是：如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，∵∠BCA=45°，∴∠AQC=45°，∴∠AQC=∠BCA，∴AC=AQ，∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠QAD=∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AQD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．2.【答案】（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF=90°，EH=EF，∴∠AEH+∠BEF=90°，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠BEF，又∵∠A=∠B=90°，∴△AHE≌△BEF，同理可证：△MFG≌△BEF，∴GM=BF=AE=2，∴FC=BC-BF=10，则S△GFC=10，（2）如图2，过点G作GM⊥BC于M．连接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH，∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH，∴∠AHE=∠MFG．又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM=AE=2．∴（12-a）×2=（12-a）（3）△GFC的面积不能等于2．∵若S△GFC=2，则12-a=2，∴a=10．此时，在△BEF中，，在△AHE中，，∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上．故不可能有S△GFC=2；解法二：△GFC的面积不能等于2，∵点H在AD上，∴菱形边长EH的最大值为，∴BF的最大值为，又因为函数S△GFC=12-a的值随着a的增大而减小，所以S△GFC的最小值为．又∵，∴△GFC的面积不能等于2．【解析】3.【答案】（1）根据题意得：AE=2t，PC=t，∴DE=8﹣2t，当EP⊥BC时，DE=PC，∴8﹣2t=t，解得：t=；（2）作AG⊥BC于G，如图所示：则四边形AGCD是矩形，∠AGB=90°，∴CD=AE，AG=AB•sin60°=4•=6，∴CD=6，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴，即，∴DF=6﹣t，∴CF=t，∵S梯形DEPC=（8﹣2t+t）×6=24﹣3t，S△DEF=（8﹣2t）（6﹣t）=﹣12t+24，S△CPF=t•t=，∴y=S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△CPF=24﹣3t﹣（﹣12t+24）﹣=﹣t2+9t，即y=﹣t2+9t；（3）存在；∵y=﹣t2+9t=﹣（t﹣2）2+9，﹣＜0，∴y有最大值，当t=2时，y的值最大，最大值=9；（4）存在；作PH⊥AD于H，如图所示：则DH=PC=t，PH=6，∴EH=8﹣2t﹣t=8﹣3t，∴EP2=（8﹣3t）2+62，又∵点E在AP的垂直平分线上，∴AE=EP，∴（2t）2=（8﹣3t）2+62，解得：t=，或t=（舍去），∴t=时，点E恰好在AP的垂直平分线上．五、课堂小结五、课堂小结1、平行四边形的定义、性质、判定和面积的计算2、矩形的定义、性质、判定和面积的计算3、菱形的定义、性质、判定和面积的计算4、正方形的定义、性质、判定和面积的计算六、拓展延伸六、拓展延伸基础基础在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()A.AC＝BD，AB＝CD，AB∥CDB.AD//BC，∠A＝∠CC.AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC如图4，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（）A.12mB.20mC.22mD.24m图4图4如图5，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是()A． B．C． D．图5图5答案与解析1.【答案】略2.【答案】略3.【答案】略巩固巩固如图7,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于＿＿＿.图7图7如图10，在梯形ABCD中,已知AB∥CD,点E为BC的中点,设△DEA的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,则S1与S2的关系为＿＿＿.图10图10EDCBA如图12，□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为＿＿＿.DDABCEF图12如图6，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为答案与解析1.【答案】略2.【答案】略3.【答案】略4.【答案】略拔高拔高一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作