初三数学下册 讲义 第01讲 反比例函数 教案讲义及练习（教师版）

第第1讲讲反比例函数概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域新人教版课时时长（分钟）120知识点1、反比例函数的定义2、用待定系数法确定反比例函数的解析式3、反比例函数图像的性质4、k的几何意义教学目标理解反比例函数的定义熟练掌握反比例函数，并且会用待定系数法求函数解析式3、理解反比例函数的性质、及比例系数k的几何意义4、经历探索反比例函数的过程，体会其实用价值教学重点反比例函数的定义用待定系数法确定反比例函数的解析式反比例函数的性质4、k的几何意义教学难点反比例函数中k的几何意义【教学建议】本节内容是在学生已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上进行的，学生对函数已经形成初步的认识，但对于函数蕴含的“变化与对应”的思想，学生从接触到现在已有半年的时间，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏.因此学好本章的关键是处理好新旧知识的联系，尽量减少学生接受新知识的困难.【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态．这里可以适当复习自变量，函数值，函数图像，正比例函数，一次函数等相关的定义或概念，从实际背景的问题入手，引导学生从列式子中再次认识“变化与对应”的思想，从而引出反比例函数的概念.学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围栏建一个面积为24的矩形饲养场，设它的一边长为xm,求另一边长y(m)与x(m)之间的函数关系式.这个函数是什么函数？自变量的取值有什么限制？二、复习预习二、复习预习1．前面我们学习了一次函数和二次函数，二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．我们今天来类比的学习反比例函数的特征.三、知识讲解三、知识讲解考点1考点1反比例函数的定义一般地，形如y=(k为常数，k0)的函数，叫反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，y的取值范围也是不等于0的一切实数，k叫比例系数.另外，反比例函数的关系式也可以写成(k0)的形式.y是x的反比例函数y=(k0)xy=k（k0）变量y与x成反比例，比例系数为k.知识拓展：（1）反比例函数y=(k0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式，也就是说，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式，如y=,y=等都是反比例函数，但中y就不是x的反比例函数.（2）反比例函数可以理解为两个变量的积是一个不为0的常数，因此可以写成y=kx或xy=k(k0)的形式.（3）在反比例函数中，两个变量成反比例关系.新课导读点拨：y=,这个函数是反比例函数，自变量取值不能为0.考点2考点2用待定系数法确定反比例函数的解析式由于反比例函数y=(k0)中只有一个待定系数，因此只要有一对对应的x，y值，或已知图像上一点坐标，即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.其一般步骤：（1）设反比例函数关系式为y=(k0).（2）把已知条件（自变量和函数的对应值或函数图像上一点的坐标）代入关系式，得出关于k的方程.（3）解方程，求出待定系数k得值.（4）将待定系数k得值代回所设的关系式，即得出所求的反比例函数关系式.考点3考点3反比例函数y=(k=0)的性质（1）反比例函数的图像是双曲线，反比例函数y=(k0)的图像是由两支曲线组成的.当k>0时，两支曲线位于第一，三象限内；当k<0时，两支曲线位于第二，四象限内.他们关于原点对称，即图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.（2）由反比例函数y=(k0)的图像可知:当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大.（3）因为x0,所以图像与y轴不可能有交点，不论x取何值，y的值永不为0，同理，图像与x轴也不可能有交点.知识拓展：（1）反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的.反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性也可以判断出k的符号.（2）反比例函数的增减性必须强调在每一象限内：当k>0时，在每一象限内（第一，三象限内），y随x的增大而减小.当k<0时，在每一象限内（第二，四象限内），y随x的增大而增大，也不能笼统地说：当k<0时，y随x的增大而增大.考点4考点4反比例函数表达式中k的几何意义【教学建议】函数的表示方法之一是图像法，通过对图象的研究和分析可以确定函数本身的性质，这体现的是数形结合的数学思想方法，数形结合的思想早在学习数轴、平面直角坐标系，一次函数时就已经学习到了.在数形结合方面，本章的重点是通过反比例函数的解析式变形xy=k（k≠0），它表明反比例函数中任意自变量x与其对应的函数值y的乘积总等于定值k.这是研究与双曲线相关的三角形与矩形面积问题的必要途径.过双曲线y=(k0)上的任意一点P(x,y)作x轴，y轴的垂线PM，PN.垂足分别为M、N,所得矩形PMON的面积S==.因为y=,所以xy=k,所以S=.即过双曲线上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为.四、例题四、例题精析类型一反比例函数的定义例题1例题1已知函数y=（m2﹣1），当m=时，它的图象是双曲线．【解析】解：依题意有m2﹣m﹣1=﹣1，所以m=0或1；但是m2﹣1≠0，所以m≠1或﹣1，即m=0．故m=0时图象为双曲线．【总结与反思】根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令m2﹣m﹣1=﹣1、m2﹣1≠0即可．类型二反比例函数y=(k0)的图像与性质例题2例题2若双曲线y=过两点（﹣1，y1），（﹣3，y2），则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2大小无法确定【解析】解：∵双曲线y=过两点（﹣1，y1），（﹣3，y2），∴﹣1•y1=2，﹣3•y2=2，∴y1=﹣2，y2=﹣，∴y1＜y2．故选B．【总结与反思】根据反比例函数图象上点的坐标图特征得到﹣1•y1=2，﹣3•y2=2，然后计算出y1和y2比较大小．例题3例题3在同一直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=的图象可能是（）A．B．C． D．【解析】解：当a＞0时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A、B错误，C正确；当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D错误；故选：C．【总结与反思】分别根据a＞0和a＜0讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得类型三反比例函数表达式中k的几何意义例题4例题4如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】解：∵点A是反比例函数y=图象上一点，且AB⊥x轴于点B，∴S△AOB=|k|=2，解得：k=±4．∵反比例函数在第一象限有图象，∴k=4．故选C．【总结与反思】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值．类型四反比例函数的定义、图像与性质综合例题5例题5已知图中的曲线是反比例函数y=（m为常数，m≠5）图象的一支．（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么；（2）若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象内限的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．【解析】解：（1）这个反比例函数图象的另一支在第三象限．∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，∴m﹣5＞0，∴m＞5．（2）如图，由第一象限内的点A在正比例函数y=2x的图象上，设点A的横坐标为a，∵点A在y=2x上，∴点A的纵坐标为2a，而AB⊥x轴，则点B的坐标为（a，0）∵S△OAB=4，∴a•2a=4，解得a=2或﹣2（负值舍去）∴点A的坐标为（2，4）．又∵点A在反比例函数y=的图象上，∴4=，即m﹣5=8．∴反比例函数的解析式为y=．【总结与反思】（1）根据反比例函数的性质可求得比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以m﹣5＞0即可求解；（2）图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=|k|，可利用△OAB的面积求出k值．五、课堂运用五、课堂运用基础基础1.已知函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为．2.已知反比例函数的图像过P（1,3），则该反比例函数的图像位于（）A．第一、二象限B.第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3.函数y=kx﹣3与y=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）A． B． C． D．4.如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为．5.如图，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②m+n=0；③S△AOP=S△BOQ；④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，其中正确的结论的序号是．答案与解析1.【答案】1．【解析】解：∵y=（m+1）xm2﹣2是反比例函数，∴m2﹣2=﹣1，且m+1≠0，∴m=±1，且m≠﹣1，∴m=1；2.【答案】B．【解析】本题主要考察反比例函数的图像，依题意可知k=1=3，所以这个反比例函数为，从而可知其图像位于第一、三象限.故选B．3.【答案】B．【解析】解：∵当k＞0时，y=kx﹣3过一、三、四象限，反比例函数y=过一、三象限，当k＜0时，y=kx﹣3过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限，∴B正确；4.【答案】18．【解析】解：∵点D为线段OA的中点，且点A的坐标为（﹣8，6），∴点D的坐标为（﹣4，3）．将点D（﹣4，3）代入到y=中得：3=，解得：k=﹣12．∴双曲线的解析式为y=﹣．令x=﹣8，则有y=﹣=，即点C的坐标为（﹣8，）．∵AB⊥BD，∴点B（﹣8，0），AC=6﹣=，OB=0﹣（﹣8）=8，∴△AOC的面积S=AC•OB=××8=18．5.【答案】②③④．【解析】根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①错误；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得到﹣2m=n故②正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得到y=﹣mx﹣m，求得P（﹣1，0），Q（0，﹣m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP=S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正确．巩固巩固1.在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（）A．1 B．m C．m2 D．2.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与正比例函数y=kx、y=x（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB=45°，则△AOB的面积是．3.如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求方程kx+b﹣=0的解（请直接写出答案）；（4）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．答案与解析1.【答案】D．【解析】解：设点A、B在二次函数y=x2图象上，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上．因为AB两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2=0，因为点C（x3，m）在反比例函数图象上，则x3=∴ω=x1+x2+x3=x3=故选：D．2.【答案】2．【解析】解：如图，过B作BD⊥x轴于点D，过A作AC⊥y轴于点C设点A横坐标为a，则A（a，）∵A在正比例函数y=kx图象上∴=ka∴k=同理，设点B横坐标为b，则B（b，）∴=∴∴∴ab=2当点A坐标为（a，）时，点B坐标为（，a）∴OC=OD将△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到△ODA′∵BD⊥x轴∴B、D、A′共线∵∠AOB=45°，∠AOA′=90°∴∠BOA′=45°∵OA=OA′，OB=OB∴△AOB≌△A′OB∵S△BOD=S△AOC=2×=1∴S△AOB=2故答案为：23.【答案】解：（1）∵B（2，﹣4）在函数y=的图象上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为：y=﹣．∵点A（﹣4，n）在函数y=﹣的图象上，∴n=2，∴A（﹣4，2），∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴，解之得：．∴一次函数的解析式为：y=﹣x﹣2．（2）∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y=0时，x=﹣2．∴点C（﹣2，0），∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=OC•n+OC×4=×2×2+×2×4=6．（3）方程kx+b﹣=0的解，相当于一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的交点的横坐标，即x1=﹣4，x2=2．（4）不等式kx+b﹣＜0的解集相当于一次函数y=kx+b的函数值小于反比例函数y=的函数值，从图象可以看出：﹣4＜x＜0或x＞2．【解析】根据待定系数法就可以求出函数的解析式；求函数的交点坐标就是求函数的解析式组成的方程组；求方程kx+b﹣=0的解即是求函数y=kx+b以函数y=的交点的横坐标．拔高拔高1.如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小2.在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2，则k=．3.如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．答案与解析1.【答案】B．【解析】解：AC=m﹣1，CQ=n，则S四边形ACQE=AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，∴mn=k=4（常数）．∴S四边形ACQE=AC•CQ=4﹣n，∵当m＞1时，n随m的增大而减小，∴S四边形ACQE=4﹣n随m的增大而增大．故选B．2.【答案】﹣．

【解析】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB===（b﹣a）=2，∴b﹣a=2，即b=a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y=的图象上，∴，解得：k=﹣．（方法二）∵直线y=﹣x+1上有两点A、B，且AB=2，∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．∵点A′，B′均在反比例函数y=的图象上，∴，解得：．故答案为：﹣．3.【答案】同解析．【解析】解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4∵CD⊥x轴∴OB∥CD∴△ABO∽△ACD∴∴∴CD=20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n=xy=﹣80∴反比例函数解析式为：y=﹣把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：解得：∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12（2）当﹣=﹣2x+12时，解得x1=10，x2=﹣4当x=10时，y=﹣8∴点E坐标为（10，﹣8）∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0六、课堂小结六、课堂小结知识结构及要点小结反比例函数的定义用待定系数法确定函数解析式（3）反比例函数图像的性质（4）k的几何意义解题方法及技巧小结（1）求反比例函数解析式的一般方法是待定系数法.由于解析式中只有一个系数k，故只需给出一对x,y的对应值或图像上一个点的坐标即可.（2）取函数的图像上任意一点像x轴y轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积为，一条垂线与坐标轴围成的三角形的面积是.七、课后作业七、课后作业基础基础1.下列函数中，满足y的值随x的值增大而增大的是（）A．y=﹣2x B．y=3x﹣1 C．y= D．y=x22.反比例函数y=的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．常数m＜1B．y随x的增大而增大C．若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜kD．若P（﹣x，y）在图象上，则P′（x，﹣y）也在图象上3.如果直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（3，2），则它们的另一个交点B的坐标为．4.已知点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，若反比例函数图象经过点P，则该反比例函数的解析式为．5.如图，点A，C都在函数的图象上，点B，D都x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为．答案与解析1.【答案】B．【解析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质考虑4个选项的单调性，由此即可得出结论．2.【答案】D．【解析】解：∵双曲线的两支分别位于第二、第四象限，∴m＜0，∴选项A不正确；∵在每一象限内y随x的增大而增大，∴选项B不正确；∵h==﹣m＞0，k=，∴h＞k，∴选项C不正确；∵反比例函数y=的图象成中心对称，∴若P（﹣x，y）在图象上，则P′（x，﹣y）也在图象上，∴选项D正确．3.【答案】（﹣3，﹣2）．【解析】解：因为直线y=mx与双曲线y=的交点均关于原点对称，所以另一个交点坐标为（﹣3，﹣2）．4.【答案】y=．【解析】解：∵点P位于第三象限内，且点P到两坐标轴的距离分别为2和4，∴P点坐标为：（﹣2，﹣4）或（﹣4，﹣2），则该反比例函数的解析式为：y=．5.【答案】（，0）．【解析】解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE=a，BF=b，则AE=a，CF=，∴点A，C的坐标为，（a，），（2a+b，），∴，解得，∴点D的坐标为（，0）．巩固巩固1.如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（）A． B．2 C．4 D．32.若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），则这个反比例函数的表达式为．3.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与双曲线y2=交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA=AB．（1）求双曲线的解析式；（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．4.如图，直线y=3x﹣5与反比例函数y=的图象相交于A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．（1）求k和n的值；（2）求△AOB的面积．答案与解析1.【答案】B．【解析】解：点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，设C（a，），则B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（负值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，故选：B．2.【答案】．【解析】解：设反比例函数的表达式为y=，∵反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，﹣1），∴k=m2=﹣2m，解得m1=﹣2，m2=0（舍去），∴k=4，∴反比例函数的表达式为．3.【答案】同解析．【解析】解：（1）∵点A在直线y1=2x﹣2上，∴设A（x，2x﹣2），过A作AD⊥OB于D，∵AB⊥OA，且OA=AB，∴OD=BD，∴AD=OB=OD，∴x=2x﹣2，x=2，∴A（2，2），∴k=2×2=4，∴；（2）∵，解得：，，∴C（﹣1，﹣4），由图象得：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．4.【答案】同解析.【解析】解：（1）∵点B（n，﹣6）在直线y=3x﹣5上，∴﹣6=3n﹣5，解得：n=﹣，∴B（﹣，﹣6），∵反比例函数y=的图象过点B，∴k﹣1=﹣×（﹣6），解得：k=3；（2）设直线y=3x﹣5分别与x轴、y轴交于C、D，当y=0时，3x﹣5=0，x=，即OC=，当x=0时，y=﹣5，即OD=5，∵A（2，m）在直线y=3x﹣5上，∴m=3×2﹣5=1，即A（2，1），∴△AOB的面积S=S△BOD+S△COD+S△AOC