初三数学下册 讲义 第04讲 相似三角形的性质 教案讲义及练习（教师版）

第第4讲讲相似三角形的性质概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域新人教版课时时长（分钟）120知识点1.相似三角形的性质：对应边成比例，对应角相等2.相似三角形的性质：对应中线、角平分线、高的比都等于相似比3.相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方教学目标1.掌握相似三角形的角平分线、高、中线、周长与面积的性质及应用，会用它们的性质解决实际问题2.经历观察，探索，发现，归纳的过程，探讨相似三角形的周长与面积的性质，在发现问题和解决问题的过程中，学会解决问题的方法.3.在学习过程中，能欣赏几何图形的简单美，体验学习数学的乐趣和成功的喜悦.教学重点相似三角形的性质：对应边相等，对应角相等教学难点1.相似三角形的性质：对应中线、角平分线、高的比都等于相似比2.相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【教学建议】“相似三角形的性质”是本章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究.这里我们希望能够培养学生提出问题的能力，并能在提出问题的基础上确定研究问题的基本方向及研究方法，渗透从特殊到一般的拓展研究策略，同时发展学生合情推理及有条理地表达能力.【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入如果两个三角形相似，那么它们的周长、面积有什么关系？两个相似多边形呢？二、复习预习二、复习预习相似三角形判定：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似（SSS）判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似.判定定理5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似.上节课我们学习了相似三角形的判定，本节课我们研究相似三角形的性质.三、知识讲解三、知识讲解考点1考点1相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等，对应边成比例.知识拓展：相似三角形的性质可用于有关角的计算，线段长的计算以及三角形的周长和面积的计算，还可以用于证明两角相等，两条线段相等.规律方法小结：运用转化思想把要求证得线段间的关系逐步转化为易证得线段间的关系，即由未知向已知转化.当两个三角形相似，但又没有指明对应点的情况时，应进行分类讨论.考点2相似三角形考点2相似三角形的性质2相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.（1）如图：若QUOTE∆ABC相似于∆A'B'C'∆ABC相似于∆A'B'C',它们的相似比是k,且AD⊥BC（2）如图：若∆ABC相似于∆A（3）如图：若知识拓展：（1）在应用此性知时，要注意找准对应线段；（2）相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中对应元素的顺序.考点3考点3相似三角形的性质3（1）相似三角形的周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方.知识拓展：（1）周长的比是相似比，面积的比是相似比的平方，不要与周长的比混淆.（2）等（同）高的三角形面积比等于底的比；等（同）底的三角形面积比等于高的比.新课导读点拨：如果两个三角形相似，那么他们的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.如果两个多边形相似，那么它们的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.四、例题四、例题精析类型一相似三角形的性质1例题1例题1如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE=4，BC=12，AC=8，求AD的长．【解析】解：解：∵△ADE∽△ACB，∴=，∴=，解得：AD=．【总结与反思】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键．类型二相似三角形的性质2例题2例题2已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A． B． C． D．【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选A．【总结与反思】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．类型三相似三角形的性质3例题3例题3两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（）A．52 B．54 C．56 D．58【解析】解：∵两相似三角形的周长分别是36和12∴相似比为3：1∵周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3∴周长较大的三角形的最小边为9，周长较小的三角形的最大边为5∴周长较大的三角形的第三条边为12∴两个三角形均为直角三角形∴周长较大的三角形的面积=×9×12=54故选B．【总结与反思】根据已知先求得两相似三角形的相似比，然后根据相似比可求得较大的三角形的三边的长，根据其边长判定三角形为直角三角形，从而不难求得其面积．五、课堂运用五、课堂运用基础基础1.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162.下列说法正确的是（）A．同位角相等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．相似三角形周长的比等于相似比的平方D．用一个平面去截正方体，截面的形状可能是六边形3.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG=BC吗？（3）DG=5cm，试求△AEF的周长．答案与解析1.【答案】B．【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：4，又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，∴它们的对应中线之比为1：4．故选B．2.【答案】D．【解析】解：同位角不一定相等，A错误；有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，B错误；相似三角形周长的比等于相似比，C错误；用一个平面去截正方体，截面的形状可能是六边形，D正确，故选：D．3.【答案】C．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．4.【答案】同解析．【解析】解：（1）△AEF为等边三角形．理由如下：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BE=AE，AF=CF，∴∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°，∴∠AEF=2∠B=60°，∠AFE=2∠C=60°，∴△AEF为等边三角形；（2）∵D是AB中点、G是AC中点，∴DG是△ABC中位线，∴DG=BC；（3）∵DG=5，∴BC=2DG=10，∵AE=BE，AF=CF，∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，∴△AEF的周长为10cm．巩固巩固1.A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．将一张A4纸沿着长边中点对折后，得到的矩形与原矩形相似，则A4纸长与宽的比值是．2.如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有几个？3.如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．答案与解析1.【答案】：1．【解析】解：设矩形的长为a，宽为b，则AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴=，即=，∴a：b=：1．2.【答案】这样的点P共有3个.【解析】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个.3.【答案】同解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠FAE=∠AEB，∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=EB，∴四边形ABEF是菱形，∴BF平分∠ABC；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴BE=AB=6，∵四边形ABCD∽四边形CEFD，∴，即，解得：BC=3±3（负值舍去），∴BC=3+3．拔高拔高1.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为？2.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．求证：．3.如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．答案与解析1.【答案】【解析】连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，∴OD：OE=OA：OB=：1，∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA即∠DOA=∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1=，故答案为：2.【答案】同解析.

【解析】证明：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴=，∠D=∠H，∴△ADC∽△EHG，∴．3.【答案】2或0.8秒.【解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=2xcm，BQ=4xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．六、课堂小结六、课堂小结（1）相似三角形的对应角相等.（2）相似三角形的对应边成比例.（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（4）相似三角形的周长比等于相似比.（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方.七、课后作业七、课后作业基础基础1.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a=b B．a=2b C．a=2b D．a=4b2.如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是（）A．BC：DE=1：2B．△ABC的面积：△DEF的面积=1：2C．∠A的度数：∠D的度数=1：2D．△ABC的周长：△DEF的周长=1：23.在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是cm2．4.如图，已知△ABC中，AB=20，BC=14，AC=12，△ADE与△ACB相似，∠AED=∠B，DE=5．求AD，AE的长．答案与解析1.【答案】B．【解析】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴=，∴a=2b．故选：B．2.【答案】D．【解析】解：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE=1：2不一定成立，故本选项错误；B、△ABC的面积：△DEF的面积=1：4，故本选项错误；C、∠A的度数：∠D的度数=1：1，故本选项错误；D、△ABC的周长：△DEF的周长=1：2正确，故本选项正确．故选：D．3.【答案】27．【解析】解：设宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴=，解得x=．∴截去的矩形的面积为×6=21cm2，∴留下的矩形的面积为48﹣21=27cm2，4.【答案】AD=；AE=【解析】解：∵△ADE与△ACB相似，∠AED=∠B，∠A=∠A，∴，∴∴AD=∵∴∴AE=巩固巩固1.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B.C．D.2.矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为．3.如图，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．答案与解析1.【答案】同解析．【解析】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．2.【答案】或3．【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，∴BD==10，当PD=DA=8时，BP=BD﹣PD=2，∵△PBE∽△DBC，∴=，即=，解得，PE=，当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′=CD=3，故答案为：或3．3.【答案】（1）∠BAD=153°；（2）CD=.【解析】解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=153°．（2）∵△ABC∽△DAC，∴，又AC=4，BC=6，∴CD==；拔高拔高1.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中P