九年级上册数学 讲义 第05讲 二次函数的图像及其性质（一）讲义+练习（教师版）

第5第5讲讲二次函数的图像及性质（一）概述概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点二次函数的概念；二次函数的图象；二次函数的图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；教学目标（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。（2）使学生能利用描点法正确作出二次函数的图象。（3）让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。教学重点理解二次函数y＝ax2＋bx+c,y＝ax2,y＝ax2＋c,性质和相互关系。教学难点正确理解二次函数y＝ax2＋bx+c的性质【知识导图】

教学过程教学过程一、导入一、导入函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两例子中两个变量之间存在怎样的关系．例如1正方形的边长是x，面积y与边长x之间的函数关系如何表示？解：函数关系式是y=x2(x＞0)次问题中x是y的函数，是什么函数呢？本节课将主要探讨这样的函数——二次函数的图象及其性质情境导入我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是、，那么二次函数的图象是什么呢？（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？，那么与的图象之间又有何关系？二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1二次函数定义（1）数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是所有实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．考点2考点2二次函数的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2（a≠0）的开口向上，:②当a＜0时，抛物线y=ax2（a≠0）的开口向下，．③∣a∣越小抛物线的开口越大；∣a∣越大抛物线的开口越小；易错点1：忽视二次项系数出错.例：已知是二次函数，求的值。错解：根据题意，有，即.解得，。错解分析：根据二次函数的定义，要使是二次函数，不但应满足，还应满足，二者缺一不可，上述解法因忽略了，而导致错误。正解：根据题意知，解得。易错点2：视自变量的取值范围出错.例：已知，当时，求它的最大值与最小值。错解：因为的图象开口向上，顶点坐标（0,1），所以函数的最小值为1，此函数没有最大值。错解分析：函数与函数（）的图象不同，函数（）的图象是函数的图象的一部分，对于，自变量的取值是全体实数，它的函数有最小值，没有最大值，当自变量的取值限定在一定的范围内时，函数的最值可能要发生一定的变化。正解：因为，当时，随的增大而增大，所以（），当时，函数的最小值为5；当时，函数的最大值为26.易错点:3视二次函数的符号出错.例：若二次函数的最小值为2，求的值。错解：由顶点公式，知最小值为.所以，即.解得或.错解分析：当时，原函数，图象开口向下，有最大值而无最小值。正解：由，解得.三、例题三、例题精析类型一二次函数的定义例题1例题1当时，函数是关于的二次函数【答案】3例题2例题2m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？【答案】类型二二次函数求值例题1例题1二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5【答案】D例题2例题2若点A(2,)在函数的图像上，则A点的坐标是【答案】（2，3）类型三二次函数的图像例题1例题1如图,⊙O的半径为2.C1是函数的图象,C2是函数的图象，则阴影部分的面积是______.【答案】2π.例题2例题2在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1） （2）共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．类型四二次函数与实际问题例题1例题1在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（）A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2 C．y=﹣（x2+4） D．y=﹣πx2+16π【答案】2π.例题2例题2矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2，①求y与x之间的函数关系式.②求当边长增加多少时，面积增加8cm2.【答案】，1四、课堂运用四、课堂运用基础基础若函数是二次函数，则m=．下列函数不属于二次函数的是（）A． B．C．D．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2 C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（﹣1，0）和（0，﹣1），顶点在第四象限，若n=a+b+c，则n的取值范围是．答案与解析1.【答案】m=±2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】﹣2＜n＜0巩固巩固如图，一次函数与二次函数交于A(−1,1)和B(2,4)两点，则当时，x的取值范围是（）

A.

x<−1B.

x>2C.

−1<x<2D.

x<−1或x>2二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（）答案与解析1.【答案】D2.【答案】C拔高拔高下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系把下列各题中解析式的编号①②③④与图象的编号A、B、C、D对应起来．①；②；③；④．A．B．C．D．．答案与解析1.【答案】C2.【答案】①④③②五、课堂小结五、课堂小结二次函数的定义、一般式、对称轴。二次函数的图象与性质。根据实际情况列二次函数的关系式。已知二次函数上的点，求函数关系式中各项系数即函数关系式。二次函数解决实际问题时，注意x的取值范围。六、课后作业六、课后作业基础基础函数y=3x2+x﹣4是（）A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 D．反比例函数若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．抛物线的对称轴是（或），顶点坐标是，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，当x=时，该函数有最值是；（2）抛物线的对称轴是（或），顶点坐标是，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，当x=时，该函数有最值是；答案与解析1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】(1)x=0,y轴，（0，0），>0，，<0，0，小，0;(2)x=0,y轴，（0，0），<，>，0，大，0巩固巩固下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是二次函数的是，其中，，在边长为6cm的正方形中间剪去一个边长为xcm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是．答案与解析【答案】⑤，-1，1，0【答案】y=﹣x2+36拔高拔高如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．如图，平