九年级上册数学 讲义 第17讲 期末总复习 讲义+练习（学生版）

期末总复习适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、一元二次方程的定义和一般形式2、一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法3、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系4、一元二次方程的实际应用5、二次函数的概念和二次函数的图像6、二次函数及+k的图象7、函数y＝ax2＋bx＋c的图象8、旋转的概念和中心对称图形9、圆的概念和圆周角圆心角等的认识10、垂径定理的计算11、与圆有关的位置关系12、正多边形和圆以及弧长和扇形面积的计算13、概率的意义、随机事件、必然事件14、利用频率估计概率15、列表法或树状图法求概率教学目标1、熟练掌握一元二次方程的解法以及实际应用2、熟练掌握二次函数的图像和性质以及二次函数图像的平移3、能够准确判断中心对称图形和轴对称图形4、熟练掌握圆的概念以及圆中的计算5、概率的意义以及列表法和树状图求概率教学重点1、一元二次方程的解法2、二次函数的图像和性质3、中心对称图形4、圆中的计算以及切线的性质和判定5、概率的计算教学难点1、一元二次方程的解法以及实际应用2、二次函数的图像和性质3、切线的性质和判定、圆中的计算4、概率的计算【教学建议】教师要先对基础知识做一遍巩固，尤其是知识点之间的衔接部分，对于初期没有掌握好的同学比较重要.然后带领学生做一些练习，接下来就是提高练习，题型不易过难.像二次函数以及圆这些重要的知识点，要重点复习讲解，考验学生的综合能力较强.1、什么是一元二次方程，怎样解一元二次方程？2、二次函数的解析式，二次函数的图像和性质是怎样的？3、旋转是什么？如何利用旋转的知识解决几何问题？4、圆的基础知识和圆中的定理以及圆的计算什么叫做一元一次方程？定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

一般形式：ax+b=0（a、b为常数，a≠0）。一元一次方程标准形式:

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．1.移项:把常数项移到方程的右边;2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;4.开方:5.求解:解一元一次方程;6.定解:写出原方程的解.由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定.当b2-4ac≥0时，x=;当b2-4ac<0时，方程无实数根.因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一般形式；（2）把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)（3）使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；（4）解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根.列一元二次次方程组解应用题的一般步骤:

可概括为“审、设、列、解、答”五步，即：

（1）审：是指读懂题意，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的关系；

（2）设：是指设未知数；

（3）列：就是列方程，这是非常重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；

（4）解：解这个方程，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。一元二次方程根与系数的关系的应用已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则求含有x1，x2的代数式的值时，其方法是把含x1，x2的代数式通过转化，变为用x1＋x2，x1x2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①＋＝(x1＋x2)2－2x1x2；②eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)；③(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；④|x1－x2|＝eq\r((x1－x2)2)＝eq\r((x1＋x2)2－4x1x2).1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.直线与抛物线的交点：（1）轴与抛物线得交点为(0,).（2）抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点()抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切；③没有交点()抛物线与轴相离.（3）平行于轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（4）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.（5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。（4）会找对应点，对应线段和对应角。旋转的基本特征：（1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。中心对称的概念：问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2、圆周角定理的推论： （1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.（2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径3、其它推论：=1\*GB3①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等.=4\*GB3④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.直径所对的圆周角：AB是直径，∠ACB是圆周角，∠ACB=90°，即半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.直线和圆的位置关系（设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.）1、当d＞r时，直线与圆相离(如图所示） 2、当d＜r时，直线与圆相交（如图所示） 3、当d=r时，直线与圆相切（如图所示），此时直线即为圆的切线. 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB为圆的两条切线，则PA=PB,∠APO=∠BPO. 2、已知一条切线时，通常有如下五个性质可用：（1）切线和圆有且只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于该圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.3、若已知一个圆的两条切线相交，则又多了“切线长相等”的性质；4、若已知一个圆的两条切线互相平行，则可得出“圆上两个切点的连线为直径”的性质.圆锥的侧面展开图是个扇形，所以圆锥的侧面积是展开图的扇形的面积.圆锥的全面积=侧面积+底面圆的积.名称推导过程公式弧长公式扇形面积公式圆锥相关计算公式1、事件的概念（1）必然事件：一定会发生的事件（2）不可能事件：一定不会发生的事件（3）随机事件：有可能发生，也可能不发生的事件。2、概率（1）在n次重复试验中，如果事件A发生的次数为m，当n越来越大时，频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为p（A）=。（2）概率的取值范围0p（A）1，必然事件的概率：p（A）=1，不可能事件的概率p（A）=0，随机事件的概率0<p（A）<13、列表法和树状图法求概率4、用频率估计概率类型一一元二次方程将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+4关于x的方程x2+mx﹣2m2=0的一个根为1，则m的值为（） A．1 B．QUOTE C．1或QUOTE D．1或﹣QUOTE已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（） A．1＜L＜5 B．2＜L＜6C．5＜L＜9 D．6＜L＜10如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．类型二二次函数函数与的图象可能是（）B．C．D．二次函数的图象如图，则直线的图象不经过第象限.确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.类型三圆如右图，在Rt⊿ABC中，，AC=3，BC=4，以点C为圆心，AC为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A.B.C.D.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（） A．116° B．32° C．58°D.64°已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．.类型四概率初步某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：计算并完成表格：转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”的次数m68111136345546701落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到1°)经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：（1）求三辆车全部同向而行的概率；（2）求至少有两辆车向左转的概率；（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为．目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．（2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案P（至少两辆车向左转）=；（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别为，即可求得答案．

、1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定2.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（）A．（20﹣x）（32﹣x）=540 B．（20﹣x）（32﹣x）=100 C．（20+x）（32﹣x）=540 D．（20+x）（32﹣x）=1003.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm4.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为．5.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，平移ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．1.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是．2.某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．3.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是．4.在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．试验次数105010020050010002000事件发生的频率0.2450.2480.2510.2530.2490.2520.251估计这个事件发生的概率是（精确到0.01）．1.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行m才能停下来．2．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．3．有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是．4.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．1、一元二次方程的概念、解一元二次方程的几种方法：配方法、公式法、因式分解法以及根的判别式、一元二次方程的实际应用.2、掌握二次函数的图象和性质，理解二次函数的三种表达形式。会综合运用二次函数的图象和性质进行相关的计算和解答.主要对二次函数的图象、性质及其运用进行了归纳总结，又进行了例题讲解及课堂训练.希望通过本节课的复习，对二次函数的图象和性质进一步的理解和掌握.3、旋转的概念和中心对称的知识.4、圆的概念的掌握、圆周角定理、圆心角、垂径定理、与圆有关的位置关系、切线的性质和判定、正多边形和圆以及弧长和扇形面积，圆的综合计算.5、随机事件以及概率的计算，会用列表法和树状图求概率.学习用频率估计概率.、1.用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（）A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=2.已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠03.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°4.如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长