第1课时 角的平分线的性质

【R·数学八年级上册】第1课时角的平分线的性质14.3角的平分线学习目标理解角的平分线的概念，探索并证明角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.并能运用这个定理解决相关问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析与作图能力.回顾导入我们学过的角的平分线的概念是什么？一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.几何语言：所以OB平分∠AOC.如图，因为回顾导入在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？方法一：用量角器度量方法二：用折纸的方法在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？方法三：用角平分仪探究新知角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的.我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.探究如图，OC

是∠AOB

的平分线，P

是OC

上的任意一点，M，N

分别是OA，OB

上的点，我们研究PM

与PN

的关系.CABOMNP知识点1角的平分线的作法研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.图中当OM

与ON

满足什么关系时，PM=PN？知识点1角的平分线的作法CABOMNPOP=OP，∠POM=∠PON，在△OPM和△OPN中，如果OM=ON，那么△OPM

≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.反过来，如图，M，N

分别是∠AOB

的边OA，OB

上的点，OM=ON，点P

在∠AOB

的内部，PM=PN.连接OP.知识点1角的平分线的作法ABOMNOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，∴△OPM

≌△OPN(SSS)，就有∠POM=∠PON.P即点P

在∠AOB

的平分线上.知识点1角的平分线的作法思考由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？1先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.2在角的内部作出与这两点距离相等的点.3以角的顶点为端点，作过这个点的射线.作法：如图，已知∠AOB.(1)以点O

为圆心，适当长为半径作弧，交OA

于点M，交OB

于点N.知识点1角的平分线的作法ABO(2)分别以点M，N

为圆心，大于MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB

的内部相交于点C.MNC(3)作射线OC.射线OC

即为∠AOB

的平分线.ABOMN为什么以大于MN的长为半径作弧：知识点1角的平分线的作法以小于MN的长为半径，两弧无交点；以等于MN的长为半径，不易操作.针对训练已知：平角∠AOB.求作：∠AOB的平分线.ABO【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.知识点2角的平分线的性质探究如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P1，P2，P3，···在OC

上，过点P1，P2，P3，···分别画OA

与OB

的垂线，垂足分别为D1

与E1、D2

与E2、D3

与E3······.分别比较P1D1

与P1E1、P2D2

与P2E2、P3D3

与P3E3······，你有什么发现？CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······知识点2角的平分线的性质CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等已知：一个点在一个角的平分线上.求证：验证这个点到这个角两边的距离相等.知识点2角的平分线的性质CABODEP如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证PD=PE.可以通过证明△OPD≌△OPE得到PD=PE.知识点2角的平分线的性质CABODEP证明：∵OC

是∠AOB

的平分线，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC

，∠PDO=∠PEO

，OP=OP

，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD=PE

提炼归纳：证明几何命题的一般步骤1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式注意可能存在不同情形如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD=PE.角平分线上的点到角两边的距离相等角的平分线的性质CABODEP知识点2角的平分线的性质几何语言：角平分线上的点到角两边的距离相等CABODEP知识点2角的平分线的性质应用定理需具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等针对训练1.如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4，则PE=______.4MBCADEP针对训练2.如图，在Rt△ABC中，∠C

=90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC

=8，则点P到AB的距离为______.8ACPB随堂演练1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC

=7，DE

=2，AB

=4，则AC的长是（）A.6B.5C.4D.3DACDBE随堂演练2.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E、F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=______°，BE=_______.60BFGCADEBF随堂演练教材P50练习第1题3.如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB

的内部，且点P

到射线OA和OB的距离相等.解：如图所示：作∠AOB的平分线与MN交于点P，点P即为所求.ABONMP随堂演练教材P50练习第2题4.如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G

分别在OA，O

B上，DF=EG，连接PF，PG.求证PF=PG.CABOGFDEP在△DPF和△EPG中，证明：∵OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°.PD=PE，∠PDF=∠PEG，DF=EG，∴△DPF≌△EPG（SAS）.∴PF=PG.随堂演练教材P50练习第2题CABOGFDEP随堂演练5.如图，BD

是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．若△ABC

的面积为70，AB=16，DE=5，求BC

的长．CABDE