湖北云学联盟2026-2027学年上学期高三8月阶段训练数学试卷

2026年高三年级8月阶段训练

数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的。

1.已知集合U={1+x,1},x∈U,则x=

A.-1B.0C.1D.2

2.已知等差数列{an}满足a₃+a₄=a₅,则a₂=

A.0B.1C.2D.3

3.已知,则sinα=

ABD

4.已知函数,则f(x)≥1的解集为

5.已知点是曲线y=ax³上的点，若该曲线有两条斜率为1的切线，则这两条切线间的距

离为

A.1B.√2C.2D

6.已知锐角α,β满,则cos(α+β)=

ABD

7.已知△ABC的三条边分别为a,b,c,且b,c是方程bx²-cx+a=0的两个根，若b<c,则

A.c>1B.a≥cCD.b+c-a>1

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8.已知集合A={-1,0,1},若函数f(x)满足对任意的x,y∈A均有f(x),f(y)∈A且

f(x)+f(y)≤f(xy).在所有函数f(x)构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量

X=f(-1)+f(0)+f(1),则X的数学期望为

B.-1C.0D

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。

9.设等比数列{a}的公比为9,前n项和为S,则下列说法正确的是

A.若a>0,则数列{log₂an}是等差数列

B.若aa=a,a,,则m+n=r+t

C.若0<q<1,则数列{a}是递减数列

D.记{a}的前2n项中所有奇数项之和为M,所有偶数项之和为N,则N=qM

10.已知函数f(x)=tan(wx+φ),@>0,则下列说法正确的是

A.函数f(x)定义域为R

B.若则f(x)在区间(1,2)上单调递增

C.若,则图象关于点对称

D.若且f(x)在区间(0,π)上的所有零点之和为,则不同零点共有3个

11.已知函数,a∈R,则下列说法正确的是

A.任意a∈R,函数f(x)一定存在极大值和极小值

B.当a=0时，对任意x>0,都有f(x)<4e⁻²+e⁻×

C.存在a∈R,使函数f(x)在区间(1,2)上单调递减

D.存在a∈R,使方程f(x)=a有三个不同的实数解

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合A={x|0<x<2a+1},B={x|0<x<3},若A≤B,则实数a的取值范围

是_·

13.若关于x的不等式(Inx-1)(2x-a)≥0在(0,+∞)上恒成立，则a=_

14.边长为2的正方形ABCD,E为AB中点，将△ADE沿DE翻折得到△A,DE,记M为线段

A₁C上一点，且满足A₁B=√2MC,若在翻折过程中，记二面角A₁-DE-B为θ,

则点M到直线DE的距离的范围是_

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知函数的部分图象如下图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩

短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象，求

16.(15分)

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinB=2sinC,b=(2cosA+1)c.

(1)求A;

(2)若D为线段AC的中点，△ABC的面积为2√3,求线段BD的长.

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17.(15分)

已知动点P(x,y)满足：点P到直线I:x=4的距离是点P到点F(1,0)距离的2倍.

(1)求点P的轨迹方程C;

(2)若圆O:x²+y²=R²与曲线C有且仅有四个交点A,B,C,D,求四边形ABCD面积S的取值范围；

(3)若点M(a,b)在曲线C上运动，求关于a,b的表达式的范围.

18.(17分)

已知函数f(x)=eˣ-ax,a∈R.

(1)若a>0,讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a>0,存在b∈R,使得f(b)=0,证明：b≤max{1,a};

(3)当0<a≤1时，设n≥2,neN°,证明：在数列{f(1),f(2),f(3),…,f(n)}中，必存在两个不

同下标i,j(1≤i<j≤n),使

19.(17分)

小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为,投篮命中率为

选择二分投篮的概率是,投篮命中率为.某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分

投篮都相互独立，记其投篮总得分为n(n∈N)的概率为Pn.

(1)若小明投篮失败就退出比赛.

(i)在n=6的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率；

(ii)写出P的递推式及计算P₈.

(2)若小明持续参赛且投篮次数足够多，求P,的表达式.

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2026年高三年级8月阶段训练

数学试卷答案

一、单选题

12345678

CADCDBCA

7.C【解析】由题意可得c=b(b+c),a=b²c,:.

由单调性可知，A错；从而B错；

,从而C正确；

,D错.

8.A【解析】根据题意，f(x)的所有情况共有6种(以下按((-1),(O),(1))的顺序列出)

(-1,-1,-1),(-1,0,-1),(-1,-1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,0),从而X的取值可能为-3,-2,-1,0,对应的概率分别

为,X的数学期望为,选A.

二、多选题9.AD10.BCD11.ABD

9.AD【解析】对选项A,log₂a,-log₂a₋↓=log₂q,即数列{log₂an}是等差数列，即选项A正确.

对选项B,若an=c≠0,则对任意m,n,r,t∈N°,都有a灬an=a,a,即选项B错误.

对选项C,若0<q<1……且a₁<0,则a₂-a₁=a₁(q-1)>0,即a₂>a₁,即选项C错误.

对选项D,N=a₂+a₄+a₆+…+a₂n=(a₁+a₃+a₅+…+a2n=)q=qM,即选项D正确.

10.BCD【解析】选项A错误；

对选项B,若x∈(1,2),则f(x)单调递增，即选项B正确；

对选项C,,k∈Z,得,k∈Z,当k=-1时,即选项C正确；

对选项零点满足∈即

D,,kZ,,keZ,设(0,π)内零点为k=1,2,,n

则所有零点之和为,n=3,即选项D正确.

11.ABD【解析】对选项A,对任意的a∈R,(2-a)²+4a=a²+4>0

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恒成立，即导函数存在两个变号零点，不妨设为x₁,x₂,且x₁<x₂,当x₁<x<x₂时，f'(x)>0,

当x<x₁或x>x₂时，f'(x)<0,所以f(x)一定存在极大值和极小值，即选项A正确：

对选项B,当a=0时，对任意x>0,,即f(x)在x=2处取得极大值，且

f(2)=4e-²,又e⁻×>0恒成立，对任意x>0,都有f(x)<4e⁻²+e⁻×,即选项B正确；

对选项C,,且f'(x)连续，所以总是存在较小的δ>0,使得函数f(x)在区间(1,1+δ)

上单调递增，即不会存在a∈R使得函数f(x)在区间(1,2)上递减，即选项C错误；

对选项D,方程f(x)=a的实数解即函数h(x)=x²+ax与函数g(x)=ae×的交点个数，a<0时，

显然没有3个交点，当a>0时，在V轴左侧必有一个交点：在V轴右侧，取一个充分小的a>0,

g(0)>h(0)类指数函数g(x)=ae在初始阶段增长缓慢，而二次函数h(x)单调递增，故存在

xo>0,h(x。)>g(x。),即两曲线在(0,x₀)内有第二个交点，又由指数爆炸性质可知，当充分大时

g(x)>h(x),可知两曲线在(x₀,+∞)内必有第三个交点，即选项D正确.

三、填空题12.a≤113.2e14.

13.2e【解析】令f(x)=lnx-1,g(x)=2x-a,因为关于x的不等式(Inx-1)(2x-a)≥0在(0,+0)

土恒成立，所以f(x),g(x)有相同零点，即

14.【解析】取A在DE上的投影点P为原点，以DE所在直线为x轴，在平面BCDE内

过P作垂直于DE的直线为V轴，垂直于平面BCDE的方向为z轴，

设A到DE的距离为则A₁(0,rcosθ,rsinθ),

计算可得B(-r,r,0),C(r,2r,0)

因为AB=√2MC且A|B²=r²(3-2cose),A₁CP=2r²(3-2cosθ)

所以A₁C=√2A₁B=2MC,即M是A₁C中点，且坐标为

因此点M到DE的距离为

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四、解答题

15.【解析】

(1)由函的部分图象可知A=2,

……………3分

又解得r,k∈Z,由可得

…·………5分

(2)将f(x)向左平移,得到

再将所有点的横坐标缩短为原来的,得到…………………7分

周期.……………·……………8分

…………………12分

……………13分

16.【解析】

(1)因为b=(2cosA+1)c,由正弦定理sinB=(2cosA+1)sinC……2分

又sinB=2sinC,.………5分

(2)由余弦定,b²+c²-a²=bc.……………7分

又sinB=2sinC,b=2c,所以a=√3c.………9分

所以b²=c²+a²,即△ABC是直角三角形……………11分

因为△ABC的面积………13分

………………………15分

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17.【解析】

(1)由题意知x-4|=2√(x-1)²+y²,化简得·………………3分

(2)联立圆与椭圆：,化简得……………5分

因为圆与椭圆有且仅有四个交点，所以R²∈(3,4)………………6分

又由圆与椭圆对称性可知四个交点构成矩形ABCD,所以边长分别为2√4R²-12,2√12-3R²

即当且

仅当4-R²=R²-3,即时等号成立，

即四边形ABCD面积S的取值范围为(0,4√3).……………9分

(3)设定点Q(0,-2),直线且MQ所在直线与定直线所成角为θ,

则点M(a,b)到直线的距离为MQ|=√a²+(b+2)²,

所以………11分

设MQ所在直线：x=m(y+2),联立椭圆,当且仅当m=±2时，二者相切，切点

分别为,此时………………14分

所以关于a,b的表达式的范围是…………15分

18.【解析】

(1)因为a>0,令f'(x)=e*-a=0,得x=lna………1分

当x>Ina时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x<lna时，f'(x)<0,f(x)单调递减：……2分

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即f(x)的单调递增区间是(Ina,+∞),f(x)的单调递减区间是(-∞,Ina)………3分

(2)证明：若b≤1,结论显然成立.…………4分

若b>1,有要证b≤max{1,a},只需证b≤a,即证

即证对任意b>1,b²≤e恒成立…………………5分

不妨构造h(x)=eˣ-x²,x>1,则h’(x)=e*-2x,h”(x)=e-2>0,

即h'(x)在(1,+∞)上单调递增，令h'(x。)=0,eˣ=2x₀,且h’(1)<0,h'(2)>0,

由零点存在定理知x₀∈(1,2),…7分

当x>x₀时，h'(x)>0,h(x)在单调递增，当x<x₀时，h’(x)<0,h(x)在单调递减，

即x₀是函数h(x)的极小值点，所以h(x₀)=e-x。²=2x₀-x。²>0,h(x)=e-x²>0恒成立，

对任意b>1,b²≤e恒成立，即b≤max{1,a}………11分

(3)反证法：令假设结论不成立，对任意i,j(1≤i<j≤n),必有|f(i)-f(j)|≥M.由前

面可知，0<a≤1,f(x)=e-ax在(1,+∞)上单调递增，即f(1)<f(2)<f(3)<…<f(n),

…………………12分

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即对每一个k=1,2,3,…,n-1都有，f(k+1)-f(k)≥M,微信搜《高三答案公众号》获取全科

将这n-1个式子累加

…………………14分

另一方面f(n)-f(1)=e"-an-e+a=e“-e-a(n-1),………………15分

因为0<a≤1,n≥2,n∈N”,所以a(n-1)>0,即f(n)-f(1)<e”-e与①矛盾，

故假设不成立，必存在两个不同下标i,j(1≤i<j≤n),亻

………………………--17分

19.【解析】(1)(i)由题意，设小明投篮得2分得概率为q₂,.投篮得3分得概率为q₃,

,投篮不成功的概率为.………………1分

小明最后一次投篮成功为二分投篮意味着得分为6是3次二分投篮，记“小明3次二分投篮成功得分

为6”为事件A,……………2分