福建省宁德市2025-2026学年高一下学期7月期末考试 数学 附答案

奔(满分：150分1.答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.当λ为何值时，向量a=(1,-2)与b=(2,2)共线A.-42.高一某班有男生24人，女生32人，计划采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为14的样本，则应抽取的女生人数为A.5B.6C.3.若复平面内表示复数z=(3-m)+(m-1)i(m∈R)的点位于第二象限，则m可能的值是A.1B.24.若圆台上底面半径为1,下底面半径为2,高为√3,则圆台侧面积为5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=30°,c=2,且该三角形有两解，则b的取值范围是A.(0,2)B.(1,2)C.姓测试成绩(单位：分),得到如右统计图.设这30名学生测试成绩的中位数为n,众数为m,平均数为x,则A.m=n=xB.m=n<xA.AB与GHB.C.AB与EFD.CD与EF二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.若z=1+2i,则z的虚部是-2B.若(1+i)z=2,则z的实部为1D.z=3-4i的模为5A.BC=-bB.a.b=-111.如图，在棱长为4的正方体ABCD-AB₁C₁D₁中，动点P,Q分别在棱BC,CC₁上，将过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.设BP=x,CQ=y,其中x,y∈[0,4],则下列结论正确的是A.当x=y=2时，直线BC₁//平面APQC.当x=y=2时，平面APQ与平面ABCD所成角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.为了解某校高一年级男生的体重，从该校高一年级男生中随机抽取12名，测得他们的体重数据如下(按从小到大的顺序排列，单位：kg)则该样本数据的第70百分位数为kg.13.已知3-2i是关于x的方程2x²+px+q=0的一个根，则q的值为14.在平面凸四边形ABCD中，AB=1,BC=3,CD=DA=2,则该四边形ABCD面积的最大值是四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且csinB-√3bcosC=0.(1)求∠C的大小；高一数学期末试题第3页(共5页)高一数学期末试题第4页(共5页)16.(15分)某校每年3月举办“数学节”,今年“数学节”高一年级举行了一次“数学文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100),其中第2组的频率是第5组的8倍.请根据下面的频率分布直方图，解决下列问题：b05060708090100成绩(分)(2)某老师抽取了10名学生的成绩：x₁,x₂,x₃,…,x₁₀,平均数为90,标准差s₁=6,若该组数据中再加入两个数值为90的成绩，求新数据的方差s₂²,结合前后方差的变化，从统计学角度解释数据离散程度发生了怎样的变化，并说明原因.(注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，,CC的中点.(1)求异面直线AE与A₁C所成的角的大小；(2)求证：EF⊥A₁C.(2)求∠BAC的大小；(3)若,求四边形CDEF的面积.19.(17分)(1)若E是线段PA的中点，连接EN,求证：EN//平面PCD;(2)若平面PAN⊥底面ANCD,求PC与平面PDN所成角θ的正弦值；(3)若平面PMN与底面ANCD的夹角α的正切值为√2,求三棱锥P-NCD的外接球的体积.PAGE1第5页(共5页)2025-20268540分12345678ADDCBDAC3618分93515分3 14.323ACABC和ADC中，AC2AB2BC22ABBCcosB106cosBAC2AD2CD22ADCDcosD88cosD，所以3cosB4cosD1，ABCD面积为S，所以S 122sinD113sinB2sinD3sinB 所以4S2123sinB4sinD23cosB4cosD9sin2B16sin2D24sinDsinB9cos2B16cos2D24cosDcos2524cosBD252449BDπ时，4S212有最大值49S23值12，所以S的最大值为 3577分（1）

3bcosC

3sinBcosC 1

所以sinB 2所以sinC

33所以tanC3

4所以C

53所以C313（2）因为c2SABC3

，所以absinC2

6所以ab 8c2a2b22abcos

3

9所以a2b2 11因为a，b0，所以ab 13解法一（1）第2组的频率是第5组频率的8倍，10a80b，即a 1又0.016a0.0400.008b10 2解得a0.032,b 4(0.016550.032650.04750.008850.00495 6 8s6s21x2x2x2902

化简得x2x2...x2 s2

1x2x2...

902902902 11

因为s2s2，所以数据的离散程度降低 13 15 8s6s21

90)2(x90)2...(

90)2]

于是x90)2x90)2

90)2 9 s2

1[(

90)2(

90)2...(

90)29090)29090)2 11

13 15 1 2A1AABAC2a

2a，E1C

3所以cosE1AC

2a28a2

5222a2所以EAC，所以异面直线AE22a2 ABCA1B1C1，所以CC1A1B1C1，

92 102 BBCCE1C1

2，CC1

E1C1

22因为BCCCCB900，所以ECC~FEC，所以CEC221 1因为CECECC900，所以ECCCFE900，所以EFE 131

14

15（2）A1C1AC的中点GH，连接GHHEGEGF是A1C1C的中位线，故GF// 8 10有GH2aHEa，且GH平面ABC，于是GHHE 101且GF2A1C 11同理，EF 12因为EF2GF2EG2，根据勾股定理逆定理，EF 14于是EF 15ABABCA1AAB，ACABA1AACA 9 12 13因为EF// 14所以AC1 ‴解法一（1）AD

‴ ABAC

1‴1a 2‴‴BFAFAB

1‴ 42（2）AB6kAD7kAC10kk

1‴1 a b

1a4

1b4

ab 62所以49k2136k21100k216k10kcosBAC，所以cosBAC 8 又因为BAC0,，所以BAC 93

1

11‴ ADBF2，所以2a2b2ba 1‴‴1 1

1 所以ab a b ab 所以36k250k215k21可得AB6AC10

k2

则k 12 3SABC2610sin3 133 ECADBFE是ABC

14

1

11

1

1

2

ABC 6

6

1四边形

1633

（2）AB6kAD7kAC10kkADADDE,连接CEBE，ABECAE14k．AC2EC2在AECcosACE

2AC1

6 26k

7又因为ACE

所以ACE 83可得BAC 3

1

11‴ （3）ADBF2，所以2a2b2ba 1‴‴1 1

1 所以ab a b ab 所以36k250k215k21AB6AC

k2

则k 12 3SABC2610sin3 133ADBFE是ABC

14 S四边形EDCFSABCSABFSBDESABC2SABC6SABC

163S四边形EDCF3

解（1）如图，取PD的中点为F，因为EF是PAD的中位 1故EF//AD//CN且EFADCN，于是四边形是平行四边形，即有EN// 32又因为FC平面PCD，EN平面PCD，所以EN//平面 4（EN1分 PAPNAN的中点为GPG因为平面PAN平面ANCD平面PAN平面ANCDANPG平面PANPG底面ANCD，即PG 655有GND ，NG1，ND2，于是GD 2PG2GD6有PG1PDPG2GD662易得PGDPGC，于是PDPC ，且PN622故PNDSPND2 设点C在平面上的投影为