浙江省台州市2025-2026学年高一下学期期末数学试题 含解析

台州市2025学年第二学期高一年级期末质量评估试题数学2026.06一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线）旋转而成，这个图形可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为草垛上半部分是圆锥，下半部分是圆柱，而圆锥可由直角三角形绕其一条直角边旋转而得，圆柱可由矩形绕其一条直角边旋转而得，结合选项，可知B正确，其它选项错误.2.已知向量，若，则实数（）A. B. C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】本题利用向量平行的坐标性质列出等式即可求解．【详解】根据，，若，则，即，即．故选：D．3.已知平面，直线，，则“”是“存在直线，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】若，根据线面垂直定义，直线垂直于平面内的所有直线，故“存在直线，”，充分性成立；若“存在直线，”,直线可能只是平面的斜线，不一定垂直于整个平面，必要性不成立；“”是“存在直线，”的充分不必要条件．4.如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰非等边三角形【答案】D【解析】【详解】由题意得，故；而是中点，得，，得，而平行于轴，平行于轴，根据斜二测画法还原图形，平行于轴，所以轴，且是中点，所以是等腰三角形，因为，，，，所以，故是等腰非等边三角形.5.中，内角，，所对的边分别为，，，且，若的面积为，则的值为（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【详解】由题意，可得，又，则的值为或.6.已知数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，的方差为，数据，，，的方差为，则关于，，的大小关系排序正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由题设，，，所以，，.所以.7.设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列说法正确的是（）A.与互斥且独立 B.与互斥但不独立C.与独立但不互斥 D.与既不独立也不互斥【答案】C【解析】【详解】因为，又，，，所以，则与不互斥，又，则与相互独立.8.已知点在边长为的正方形上运动，点，在正方形的外接圆上运动，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设为的中点，利用极化恒等式转化向量数量积，先求出定点对应的最小值，再对正方形边上的动点求全局最小值.【详解】设为的中点，由极化恒等式：，在圆上，由弦长公式：，代入得：，设（取正方形左边，），，展开：=当时，上式取得最小值：，所以，当时，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【详解】因为，，故A错误，B正确；，，故C正确，D错误.10.为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取100位学生的数学成绩（满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.对应矩形的面积为B.样本成绩的第百分位数落在内C.样本极差一定为D.若采用样本量比例分配的分层随机抽样从，两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，则此人成绩在区间的概率为【答案】ABD【解析】【分析】在频率分布直方图中，面积表示频率，列式计算可判断A；根据分位数的概念计算可判断B；根据极差的概念可判断C；根据分层抽样的定义计算各层抽取人数，再结合古典概率计算公式计算可判断D.【详解】对于A，设对应矩形的面积为，则，解得，所以A选项正确；对于B，样本数据的频率为，样本数据的频率为，故样本成绩的第70百分位数落在内，所以B选项正确；对于C，频率分布直方图只能反映数据的分布形态和落在各个区间内的频率（或频数），但无法确定具体每个数据点的值，所以样本极差无法由直方图确定，所以C错误；对于D，从直方图可知样本中成绩落在的频率为，落在的频率为

，比例为，分层抽样5人时抽3人，抽2人，任抽1人成绩在

的概率为

，所以D正确．11.在正方体中，，，分别是线段，上的动点（含端点），则下列选项正确的是（）A.四面体的体积与点，的位置无关B.异面直线与所成的角的取值范围为C.三角形的面积的最大值为D.若为靠近的四等分点，则四面体的外接球半径的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】A.体积为定值，与位置无关，A正确；B.极端法，取、，此时异面直线与所成的角是，B错误；C.取临界位置：，，此时三角形的面积取得最大值；D.取是线段的中点时，则四面体的外接球半径取得最小值.【详解】A.底面即底面，，面积固定，点在直线上，直线平面，因此到平面（底面）的距离恒为正方体高；，体积为定值，与位置无关，A正确；B.极端法，取、，将，，此时异面直线与所成的角是直线与所成的角，存在夹角小于，因此区间不成立，B错误；C.取临界位置：，，显然此时三角形为等边三角形，面积达到最大值，；的面积故三角形的面积的最大值是，C正确；D.设四面体的外接球的球心为，设在底面的投影为，显然是的外接圆圆心，设，，四面体的外接球的半径为，显然当是线段的中点时，即三角形是等腰三角形时，四面体的外接球的半径取得最小值，过作，由，得，得，在直角中，，即（1），过点作，为靠近的四等分点，过点作，则，在直角中，，即（2），（1）（2）两式相减得，此时，此时所以的最小值是，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______．【答案】126【解析】【详解】该学生最近五次考试的数学成绩的平均分.13.在三棱锥中平面，，，，，则三棱锥的体积为______．【答案】【解析】【详解】因为底面，平面，所以，所以，同理，因为，所以，所以三棱锥的体积为.14.在中，，为边上的两点，且，，，，则的面积为______．【答案】【解析】【分析】设，，利用余弦定理构造方程求出，进而求出，利用两种方法求面积求出高，最后求出的面积．【详解】设，，在中，由余弦定理：①，共线，故，在中，，故，在中，，故，故②，联立①②得，解得或（舍去），故，解得，设到的距离为，，解得，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为（为虚数单位，）.（1）若点关于虚轴对称，求的值；（2）若为实数，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）写出两点在复平面内所对应的点，结合对称性即可得解；（2）计算出，结合复数的概念及分类即可得解.【小问1详解】由题意有，，因为点关于虚轴对称，所以，，所以；【小问2详解】，因为为实数，所以．16.我国新一代载人飞船备选航天员共有5名，编号为1，2，3，4，5，其中1，2号为指令长候选人，3，4，5号为飞行工程师，现从中随机选取3人执行模拟飞行任务．（1）写出该试验的样本空间Ω；（2）求3人中恰有1名是指令长候选人的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）枚举从5人中任选3人的所有组合，写出样本空间；（2）利用古典概型，统计满足条件的基本事件个数，计算概率.【小问1详解】从编号为1，2，3，4，5的5人中随机选取3人的样本空间记为，共有10个等可能样本.【小问2详解】记“3人中恰好有1名是指令长候选人”则，共有6个等可能样本点，所以，即三人中恰好有1名是指令长候选人的概率为．17.在中，内角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且，，．（1）若，求的值；（2）求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理及基本不等式即可求解．【小问1详解】在中，，即，解得，在中，，所以．【小问2详解】在中，，在中，，即，化简得，因为，所以，当，时取等号，所以的最大值为．18.如图，在三棱锥中，，，，点在平面上的投影为．（1）求证：；（2）求点到直线的距离；（3）若，求二面角平面角的正切值．【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以，又因为，，，平面，所以平面，且平面，所以；（2）（3）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解；（2）过作于，得进行计算；（3）由是二面角的平面角，进行求解即可．【小问1详解】略【小问2详解】过作于，连接，因为，平面，得平面，平面所以，在中，可求得，，在中，，可求得，所以点到直线的距离为，【小问3详解】因为平面，且平面，所以，因为，平面，得平面，而平面，得，所以就是二面角的平面角，在直角三角形中，由（2）有，，可得，在四边形中，，，所以，，，四点共圆，且为直径，所以，在直角三角形中，，，解得，所以，所以二面角平面角的正切值为．19.已知集合对于，，定义．（1）若，，且，，求；（2）若，，，且，，求的最小值；（3）若，对于任意，，均有，求的最大值（用表示）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据定义计算，，得到，计算；（2）根据条件求各向量中的个数，构造向量确定的最小值；（3）先证明