4.1 《比例线段》（3）-2026秋浙教版数学九年级上册课堂分层训练

4.1《比例线段》（3）—浙教版数学九年级上册课堂分层训练一、基础夯实1．设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.若按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，则该雕像的下部设计高度约为(参考数据：5≈2.24)A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m2．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列比例式能成立的是()A．ABAP=APBP B．ABAP=3．（2023九上·杭州期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB=2，则AC的长为（）A．5−1 B．5+12 C．3−4．（2024九上·兰溪期中）已知点C把线段AB黄金分割，且AC<CB，那么下列等式中，成立的是（）A．AC2=CB⋅AB B．CB2=AC⋅AB5．已知线段a=1，c=5，线段b是线段a，c的比例中项，则线段b的长为()A．2.5 B．5 C．±2.5 D．±6．（2024九上·青羊期中）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．7．（2025九上·象山月考）点P为线段AB的黄金分割点（AP>BP），若AB=2，则AP=.8．（2024九上·上海市月考）线段AB是线段MN、CD的比例中项，且AB=3cm，MN=4cm，则CD长为．9．（2024九上·瑞安开学考）已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a=2 cm，c=8 cm，则b=cm．10．（2024九上·浙江期中）（1）已知xx+y=37，求（2）已知线段a＝2，b＝8，求线段a，b的比例中项．二、能力提升11．（2025九上·金华月考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（）A．(55−5)cm B．(12．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4.若D，E分别是边BC上的两个黄金分割点，则△ADE的面积为()A．10−45 B．35−5 C．5−213．宽与长的比是5−1A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH14．（2024九上·桂林期末）如图，点C是线段AB的黄金分割点，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为A．S1=12S2 B．S15．（2024九上·洞口开学考）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．设AB=a，AC=x，则xa=a−xx，所以xa=5−1216．（2024九上·重庆市开学考）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AC=2，则AB的长为．（结果保留根号）17．（2024九上·成都期中）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数y=kx+m，其中常数k满足k=ca+b=ab+c=b18．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦AB=100cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为cm．19．（2024·金华月考）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：4，且a+2b+c=33.（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值；（3）将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度；20．（1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值．（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项线段，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长，并思考(1)(2)两题有何区别．21．（2023九上·瑞安月考）（1）已知a=4.5，b=2，c是a，b的比例中项，求（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=4，求AC的长．三、综合拓展22．阅读下面的材料，并解答问题.小明参加了一次折叠活动，折叠步骤如下：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平.第二步：如图②，把这个正方形折成两个完全一样的矩形，再把纸片展平.第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图③所示的AD处.第四步：展平纸片，按照所得的点D折出图④所示的矩形BCDE.已知矩形BCDE为黄金矩形，你能说明为什么吗((注：当矩形的宽与长的比为5−123．（2024九上·恩平月考）综合与实践．实践主题：黄金分割数．（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段AP>BP，且满足BP:AP=AP:AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．若设线段AB=1，AP的长为x，则BP可表示为1−x，∵BP:AP=AP:AB，∴1−x:x=x:1…，根据此方法可计算出黄金分割数为x=_____________（结果保留根号）．（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为80cm，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：设该雕像的下部设计高度为xm，则雕像的上部为（2-x）m，

由题意可得，2−xx=x2，解得x=5−1或故答案为：B.【分析】设该雕像的下部设计高度为xm，由题意可建立方程2−xx2．【答案】A【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，

∴BPAP=AP故答案为：A.【分析】结合条件，利用黄金分割点的定义即可求解.3．【答案】A【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＞BC，则AC为较长线段；∴ACAB=5−12

∴故答案为：A．【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较短线段与较长线段的比等于较长线段和整个线段的比，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个比叫黄金比，黄金比为5−14．【答案】B【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：∵点C把线段AB黄金分割，且AC<CB，∴ACCB∴CB故答案为：B．【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，他们的比值5−15．【答案】B【知识点】比例中项【解析】【解答】解：∵线段b是线段a，c的比例中项，

∴b2=ac，b>0，

∵a=1，c=5，

∴b2=5，解得b=5，故答案为：B.【分析】利用比例中项的定义可得b26．【答案】(10【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB=20米，∴AC=5−12故答案为：(105【分析】根据黄金分割点定义即可求出答案.7．【答案】5−1【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点且AP>BP

∴AP=5−12AB=5−12×2=58．【答案】9【知识点】比例中项【解析】【解答】解：∵线段AB是线段MN、CD的比例中项，

∴MNAB∴AB∴CD=AB故答案为：94cm．

【分析】三条线段a、b、c，如果满足9．【答案】4【知识点】比例中项【解析】【解答】解：∵线段b是线段a和线段c的比例中项，∴b∵a=2 cm，c=8 cm，∴b2=16，

∴b=±16=±4，

∴b1=4，b故答案为：4．

【分析】根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则b2=ac，从而代值后利用直接开平方法求解后根据实际问题进行取舍即可.10．【答案】（1）解：∵xx+y∴7x＝3x+3y，∴4x＝3y，∴x：y＝3：4（2）解：设c为线段a，b的比例中项，则c2＝ab，即c2＝16，由于c＞0，故c＝4．【知识点】比例的性质；比例中项【解析】【分析】（1）利用比例基本性质：ab=c11．【答案】A【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得：AP=5故答案为：A.

【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.12．【答案】A【知识点】勾股定理；黄金分割；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.

∵AB=AC，AH⊥BC，BC=4，

∴BH=CH=12BC=2，

在Rt△ABH中，AH=32−22=5，

∵D，E是边BC上的两个黄金分割点，

∴CDBC=5−12，BE故答案为：A.【分析】利用等腰三角形三线合一可得BH=CH=12BC=2，在Rt△ABH中，利用勾股定理可得AH=5，再利用黄金分割的定义可得13．【答案】D【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，

∴BC＝CD＝2a，∠BCD＝∠ADC＝90°，

∴∠CDH＝180°−∠ADC＝90°，∠DCG＝180°−∠BCD＝90°，

∵GH⊥AD，

∴∠H＝90°，

∴四边形DCGH是矩形，

∵点F是BC的中点，

∴CF＝12BC＝a，

在Rt△CDF中，DF＝CD2+CF2=2a2+a2=5a，

由题意得：DF＝FG＝5a，

∴CG＝FG−FC＝（5−1）a，

14．【答案】C【知识点】三角形的面积；黄金分割；多边形的面积【解析】【解答】解：∵BCAC∴A∵S∴S故答案为：C【分析】先根据黄金分割点得到AC15．【答案】(【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：因为雕像的腰部以下n与全身m的高度比值接近黄金比，所以nm所以n=5故填：(5−1)．

【分析】由雕像的腰部以下n与全身m的高度比值接近黄金比可得nm=5−1216．【答案】3+【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割【解析】【解答】解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点，设AB=x，∴AD∵AC=2，∴BD=AC=2，AD=x−2，∴x−22=2x，即解得：x1=3+5故答案为：3+5．

【分析】利用黄金分割的定义可得AD2=AB⋅BD，设AB=x，将数据代入可得17．【答案】y=12【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质；比例中项【解析】【解答】解：∵常数m是1和9的比例中项，∴m2∵m>0，∴m=3，∵k=c∴c=ka+b，a=kb+c，∴a+b+c=2ka+b+c∴当a+b+c≠0时，k=1当a+b+c=0时，a+c=−b，则k=b∴该一次函数的解析式为y=12x+3故答案为：y=12x+3或y=−x+3．

【分析】如果三个数a、b、c满足b2=ac，则称b是ac的比例中项，据此可以求得m的值，根据等比性质可得c=ka+b，a=kb+c18．【答案】(100【知识点】黄金分割【解析】【解答】∵点C是靠近点B的黄金分割点，

∴设BC=x，则AC=100-x，

根据题意可得：100−x100=5−12，

解得：x=150−505，

∵支撑点D是靠近点A的黄金分割点，

∴设AD=y，则BD=100-y，

根据题意可得：100−y100=5−12，

解得：y=150−50519．【答案】（1）解：设定未知数：设a=3k，b=2k，c=4k，代入a+2b+c=33，

解方程：3k+2·2k+4k=33，即3k+4k+4k=33，得到11k=33，

解得k=3，

所以得到a=9，b=6，c=12（2）解：根据比例中项的定义，线段x满足x2=ab。代入a=9，b=6，

解得x=（3）解：黄金分割比例是指线段分割成的两段长度之比为(5−1):2，且两段之和等于原线段长度。

根据此比例，线段b=6分割后，较长线段的长度为b·5−12，

代入b=6，得到【知识点】比例线段；黄金分割【解析】【分析】(1)根据题目中给出的比例和等式设未知数，解方程求解线段a，b，c的长度；

(2)根据比例中项的定义求解线段x；

(3)根据黄金分割的定义计算线段b分割后的较长线段的长度.20．【答案】（1）解：∵b是a，c的比例中项，

∴a：b=b：c，

∴b2=ac，∴b=±ab．

∵a=4，c=9，

∴b=±36=±6，

即b=±6．（2）解：∵MN是线段，

∴MN>0．∵线段MN是AB，CD的比例中项线段，∴MN2=AB·CD，

∴MN=AB·CD．∵AB=4cm，CD=5cm，∴MN=20=2通过解答(1)，(2)发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而线段MN的长不可以取负值．【知识点】比例中项【解析】【分析】（1）利用比例中项的定义可得a：b=b：c，再将数据代入求出b的值即可；

（2）利用比例中项的定义可得MN2=AB·CD，再求出MN的长即可.21．【答案】（1）解：∵c是a，b的比例中项，

∴c2=ab=4.5×2=9，

解得：c1=3，c2=-3，

∴c为3或-3.（2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=4，∴AC=5【知识点】黄金分割；比例中项【解析】【分析】（1）根据c是a，b的比例中项，得到c2=ab，代入即可求解；