4.5《相似三角形的性质及应用》（3）-2026秋浙教版数学九年级上册课堂分层训练

4.5《相似三角形的性质及应用》（3）---浙教版数学九年级上册课堂分层训练一、基础夯实1．（2024九下·青秀开学考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=2米，AC=3.2米，AE=0.8米，那么CD为（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米2．（2025·东莞模拟）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：AB=AC．拉杆EF∥BC，AE=13AB,EF=0.7A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．1033．（2025·象州模拟）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（）A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．2.5m4．（2025九下·桂林月考）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm，则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是（）A．4 B．4.25 C．4.5 D．55．（2025·红花岗模拟）如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点，OM与地面CD垂直于点M，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为70cm，那么支柱OM的高度为cm6．（2025九上·婺城期末）如图，地面CD上的点E处放置平面镜，光线从A点射出经平面镜（点E处）反射后照射到B点．已知AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，AC=0.2米，BD=0.5米，CD=1.4米，则CE长为米．7．（2024九上·济南期中）如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB,EB⊥CB，垂足分别为A，B．若测得影长AB=16米，DA=3米，影长CA=4米，则楼高EB为米．8．（2022·芜湖模拟）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．9．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．二、能力提升10．（2024九上·西峡期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长12cm,BC边上的高AD为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是（）A．5cm B．6011cm C．6cm 11．如图①是装了液体的长方体容器的主视图，将该容器绕底面的一条棱进行旋转倾斜后，液面恰好接触到容器口的边缘，如图②所示，此时液面的宽度AB为()A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm12．（2024·高青模拟）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm13．（2025·福田模拟）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．若焦距OF=4，物距OB=6，小蜡烛的高度AB=1，则小蜡烛的像CD的长是（）A．1 B．2 C．3 D．314．（2025·深圳模拟）某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈15．（2023九上·宁津月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径BE=5尺，立木高AB=5尺，BD=4寸=0.4尺，则井深x为尺．16．（2024·眉山）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连结BD．若AB=10，BD=25，则BC的长为17．（2024九上·深圳期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM=4米，CO=5米，DO=3米，AO=73米，则汽车从A处前行的距离AB=18．如图，在一座大厦(BC)前面30m的地面上，有一盏地灯A照射大厦，身高为1.6m的小亮(EF)站在大厦与灯之间.小亮从现在所处的位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m的点D处时停下.（1）在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC上的影子.（2）求出此时小亮在地灯照射下投在大厦BC上的影长.19．（2024九上·洞口期中）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长AM为5米．（1）求小明的身高；（2）小明沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？三、综合拓展20．（2025·罗湖模拟）【项目主题】合理设计，实用便民【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：素材1图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为x轴，以左侧墙面为y轴，建立平面直角坐标系，则抛物线AB符合y=ax−42+k．最高点A离地面8m，照明灯安装y轴右侧的C点，距y素材2为测量素材1的点C到地面的距离CG的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆HI=JK=1.5m（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从HI退行10步到M点，从JK退行15步到N点．（C、H、M共线，C、J、N共线）素材3为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面4.5m．如图2所示，灯架D1E1，D2E2,D3E3，D4E4均平行于y轴，根据提供素材，完成下列问题：（1）数学小组计算出CG的长度，具体如下：解：设CG=sm，GI=t步，∵HI∥CG，∴△CMG∽△HMI，∴s1.5=又∵JK∥CG，∴△CNG∽△JNK，∴s∴10+t∴t=______②，∴s=1.5t+1010请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：（2）根据已知条件，求出抛物线AB的解析式（不需要写出x的取值范围）．（3）求出素材3中l的值，并判断20m长的材料能否完成灯架和支架的安装．21．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．【活动主题】测量物体的高度【测量工具】卷尺、标杆【活动过程】活动1：测量校内旗杆的高度该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．（1）求旗杆MN的高度．（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．求妙光塔AB的高度．

答案解析部分1．【答案】D【知识点】相似三角形的实际应用【解析】【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD∴2CD∴CD=6，经检验，CD=6是所列方程的解，故答案为：D．

【分析】先证出△ABE∽△CDE，再利用相似三角形的性质可得ABCD2．【答案】B【知识点】相似三角形的实际应用【解析】【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC∵AE=13AB∴0.7BC∴BC=2.1，即两梯杆跨度B、C之间距离为2.1米，故选：B．【分析】根据相似三角形判定定理可得△AEF∽△ABC，则EFBC3．【答案】A【知识点】相似三角形的实际应用【解析】【解答】解：如图，

∵AB=5m，BC=10m，

∴AC=AB+BC=15m，

由题意知，BE⊥BC，CD⊥BC，

∴BE∥CD，

∴△ABE∽△ACD，

∴ABAC=BECE∴h=2.7m，故答案为：A．

【分析】先由线段和差算出AC=15m，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BE∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ABE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.4．【答案】C【知识点】相似三角形的实际应用【解析】【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，

设火焰倒立的像的高度为xcm，则x3解得：x=4.5，即火焰倒立的像的高度是4.5cm，故答案为：C．【分析】设火焰倒立的像的高度为xcm，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.5．【答案】35【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；线段的中点；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：∵支柱OM经过AB的中点，∴AO=BO=1当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度刚好为70cm，如图所示，点A与点E对应，点B与点F对应，FG=70cm，∴OE=OF=12EF∴△EOM∽△EFG，∴OEEF∴OM=1故答案为：35．【分析】根据线段的中点求出AO=BO=12AB6．【答案】0.4【知识点】相似三角形的实际应用【解析】【解答】

解：设CE=x米，∵CD=1.4米，

∴DE=1.4−x米，

由物理性质可得入射角等于反射角，EF⊥CD，

∴∠BEF=∠AEF，

∴90°−∠BEF=90°−∠AEF，

即∠BED=∠AEC，

∵AC⊥CD,BD⊥CD，

∴∠ACE=∠BDE=90°

∴△ACE∽△BDE，

∴CEDE=ACBD，

即x1.4−x=0.20.5，

解得x=0.4，即7．【答案】12【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：由题意得：CD∥AE，

∴∠DCA=∠EAB，

∵DA⊥CB，EB⊥CB，

∴∠DAC=∠EBA=90°，

∴△DAC∽△EBA，

∴DAEB=ACAB，

∴3EB=416，

解得：EB=12，

∴楼高EB为12米，

故答案为：12．

8．【答案】解：由题意，BD∥AC．∴△BDE∽△ACE．∴BDBE∴10解得AC＝8．答：井深AC的长为8米．【知识点】相似三角形的实际应用【解析】【分析】先证明△BDE∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得BDBE9．【答案】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，∴AE=12在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2∵△ADE∽△CMN，∴ADCM=DE即2CM=51，解得CM=【知识点】相似三角形的性质【解析】【分析】正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长.再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.10．【答案】B【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用【解析】【解答】解：∵四边形EFHG是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴EFBC设正方形零件EFHG的边长为x，则AK=10−x，∴x12=10−x即这个正方形零件的边长为6011故选：B．【分析】因为平行于三角形的一边且与另外两边分别相交所构成的三角形与原三角形相似，所以可以得到△AEF∽△ABC，接下来可设正方形的边长，即EF=x，利用相似的性质可搭建关于x的方程，解这个方程即可求得正方形的边长.11．【答案】B【知识点】相似三角形的实际应用；两直线平行，内错角相等【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥DE于E，

由题意可知：AC//BD，AB//DE，∠ACB=90°，BD=15cm，BC=6cm，BE=10cm，

∴∠CAB=∠ABD=∠BDE，∠ACB=∠BED=90°.

∴△ACB∽△DEB，

∴BCBE=ABBD，即610=AB12．【答案】C【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，∴四边形ABOE是平行四边形，∴AE=OB=6cm，∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，∴CA∴CA∴OA∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴AB∴5.4∴CD=13.5cm，故选：C【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形ABOE是平行四边形，则∴AE=OB=6cm，再根据相似三角形判定定理可得△CAE∽△COF，则CACO=AEOF，代值计算可得OACO13．【答案】B【知识点】垂线的概念；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：由题意可得OE=CD，AB⊥BO，EO⊥BO，CD⊥OD，∴∠ABO=∠EOB=∠CDO=90°，∵∠AFB=∠EFO，∴△ABF∽△EOF，∴AB∴1解得：OE=2，∴CD=OE=2，故答案为：B.

【分析】根据题意可得，OE=CD，AB⊥BO，EO⊥BO，CD⊥OD，从而可得∠ABO=∠EOB=∠CDO=90°，然后利用AA证明△ABF∽△EOF，从而利用相似三角形的性质可求出OE的长，解答即可.14．【答案】1.2【知识点】相似三角形的实际应用【解析】【解答】解：过点D作DO⊥AH于点O，如图：由题意得CB∥DO，∴△ABC∽△AOD，∴ABAO=CB∵∠CAB=53°，tan53°=43∴tan∠CAB=CBAB=4∵AB=1.74m，∴CB=2.32m，∵四边形DGHO为长方形，∴DO=GH=3.05m，OH=DG，∴1.74AO=2.32则AO=2.2875m，∵BH=AB=1.75m，∴AH=3.5m，则OH=AH-AO≈1.2m，∴DG≈1.2m.故答案为1.2.【分析】本题主要对相似三角形的性质与应用进行考查；过点D作DO⊥AH于点O，因为CB∥DO，可证明△ABC∽△AOD，所以有ABAO=CB15．【答案】57.5【知识点】矩形的性质；相似三角形的实际应用【解析】【解答】解：根据题意，得四边形BEFC是矩形，

∴BE∥CF，BE=CF，

∴△ABD~△ACF，

∴ABAC=BDCF，

∵BE=AB=5，BD=0.4，

∴5AC∴x=BC=AC−AB=62.5−5=57.5，故答案为：57.5．【分析】根据题意得四边形BEFC是矩形，由矩形的性质得BE∥CF，BE=CF，从而推出△ABD~△ACF，进而根据相似三角形对应边成比例得ABAC=BDCF，于是可求出16．【答案】8【知识点】相似三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论【解析】【解答】解：延长AC，BD交于E，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADE=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAE，在△ADE和△ABD中

∠ADE=∠ADBAD=AD∠BAE=∠BAD

∴BD=DE=25∴BE=45∵AB=10，BD=25∴AD=1∵∠DAC=∠CBD，∵∠ADB=∠BCE=90°，∴△ABD∽△BCE，∴BE∴4∴BC=8．故答案为：8．【分析】延长AC，BD交于E，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=∠ADE=90°，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠DAE，利用ASA可证得△ADE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出DE的长，利用勾股定理求出AD的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出BC的长.17．【答案】5.75【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】在Rt△CMO中，MO=4，CO=5，∴CM=C∵∠BOD=∠MOC，∠BDO=∠CMO=90°，∴△BDO∽△CMO，∴BD∴BD∴BD=2.25，在Rt△AOD中，OA=73∴AD=O∴AB=AD−BD=8−2.25=5.75，∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童，故答案为：5.75．【分析】首先明确当B，O，C在同一直线上的时候，才能最早发现C处的儿童。此时，∠BOD=∠MOC，然后只需先根据勾股定理求得CM的长度，再通过AA得出△BDO∽△CMO，求得BD的长度，进而根据AD-BD即可得出AB的长度。18．【答案】（1）解：如图，DN为小亮的位置，BM为他在地灯照射下投在大厦BC上的影子.（2）解：依题意，得△ADN∽△ABM，∴∴BM=∴此时小亮在地灯照射下投在大厦BC上的影长是1.92m【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA【解析】【分析】（1）小亮从原位置走到D处，此时D距离大厦5米，因此AD=30-5=25米，在图中，从A点沿直线向B方向走30米到达C，而D位于B点前方5米处，进而在图中画出影子BM即可；

（2）小亮在D处时，距离大厦5米，因此AD=30-5=25米，地灯A在地面，小亮身高为1.6米，其头顶到A的连线与大厦BC的交点即为影子顶端，由此形成相似三角形，通过对应边比值求解影长即可.19．【答案】（1）解：根据题意，得AM=5，OA=20，

∴OM=OA+AM=25，

∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，

∴△MAC∽△MOP，

∴AMOM=ACOP，

∴525=AC8，

（2）解：∵AB=14，OA=20，

∴OB=OA−AB=6，

∵∠NBD=∠NOP=90°，∠BND=∠ONP，

∴△NBD∽△NOP，

∴BDOP=BNON，

∴1.68=BN6+BN，

解得：BN=1.5，

【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【分析】（1）证明△MAC∽△MOP，根据相似三角形对应边成比例的性质求出AC的长即可；（2）证明△NBD∽△NOP，根据相似三角形对应边成比例的性质求出BN的值，再作差即可.（1）解：∵AM=5米，OA=20米，∴OM=OA+AM=25米，∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP，∴AMOM=解得，AC=1.6．即小明的身高为1.6米．（2）解：∵AB=14米，OA=20米，∴OB=OA−AB=6米，∵∠NBD=∠NOP=90°，∠BND=∠ONP，∴△NBD∽△NOP，∴BDOP=BN解得，BN=1.5，∴5−1.5=3.5（米），∴小明的身影变短了，变短了3.5米．20．【答案】（1）①t+1010，②30，③6（2）解：∵抛物线AB：y=ax−42+k的最高点A∴k=8，把C14,6代入y=ax−42解得：a=−1抛物线AB的解析式为y=−1​​​​​​（3）解：∵D1的坐标为2,4.5，∴D2,∴E1,设E1,把2,y1代入y=−1解得：y1∴D同理可得，y2=7.955，y3=7.5，y4=6.555∴l=D∵20>19.93，∴20m长的材料能完成灯架和支架的安装．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】（1）解：设CG=sm，GI=t步，∵HI∥CG，∴△CMG∽△HMI，∴s又∵JK∥CG，∴△CNG∽△JNK，∴s∴10+t∴t=30，∴s=1.5故答案为：①t+1010，②30，③6【分析