广东省广大附中、铁一、广外三校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题解析版

2020-2021学年下学期期中三校联考高一数学命题学校：广州外国语学校命题人：审题人：本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分).1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于A.1 B.−1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.设为三个不同的平面，若，则“是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断，即可得正确答案.【详解】因为，，则，所以由，可以得出，若，，则与可能相交或平行，所以，，得不出，所以若，则“是“”的充分不必要条件，故选：A3.已知向量，若，则（）A.0 B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】先求出向量的坐标，利用向量垂直于向量数量积的关系知，再利用向量的数量积的坐标运算列出式子可得解.详解】，由，得，即，解得：故选：C4.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为，扇形OAB的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积公式，求得两扇形的半径比，结合弧长公式，即可求解.【详解】设扇形的半径为，半圆半径为，，则，所以，可得，解得，则弧CD与弧AB的长度之比为.故选：B.5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（）.A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用为偶函数将所给式子的自变量全部转化到上，然后判断自变量的大小关系，根据自变量的大小关系及单调性判断.【详解】∵定义在上的偶函数，∴，，又∵，，∴，∴，故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，较容易，解答时转化并判断自变量的大小关系是关键.6.在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为（）A.1680 B.1020 C.960 D.720【答案】C【解析】【分析】先得到从该校高一年级抽取的学生人数为人，根据分层抽样的方法列出方程，即可求解.【详解】设该校高一年级学生人数为人，由题意，从该校高一年级抽取的学生人数为人，可得，解得人，即从该校高一年级学生的人数为人.故选：C.7.祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意利用圆柱体和圆锥体计算对应椭球体的体积即可．【详解】解：根据题意知，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是．故选：．8.已知函数，函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令t=，利用二次函数图像的性质求函数f（x）的最大值，令u=sinx∈[0,]对函数g（x）按a=0,a>0,a<0进行讨论求出函数最大值，由题可得f（x）max<g（x）max，解不等式即可得到所求范围．【详解】，当时，令t=可得,对称轴为，故最大值为，即f(x)得最大值为，当时，令u=sinx∈[0,],则,当a=0时，y=2,当a<0时，二次函数对称轴为，故函数在对称轴处取到最大值为2-,当a>0时，开口向上，0距对称轴远，故当u=0时取到最大值为2-a,所以，由题意可得f（x）max<g（x）max，即当a<0时，，解得，故a<0,当a=0时，，满足题意，当a>0时，，解得，综上可得，故选D．【点睛】本题考查函数恒成立和有解问题的解法，考查利用换元法转为二次函数求最值问题，属于中档题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，漏选得2分，多选不得分）.9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.若，则共轭复数 B.若复数，则C.若复数z为纯虚数，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A，时，，则，故A错误；对于B，若复数，则满足，解得，故B正确；对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，故C错误；对于D，若，则，，故D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.10.已知，，，下列结论正确的是（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】利用基本不等式可判断AD选项的正误；利用基本不等式与对数的运算性质可判断B选项的正误；将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，可判断C选项的正误.【详解】已知，，.对于A选项，，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，A选项错误；对于B选项，由基本不等式可得，可得，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，B选项正确；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，C选项错误；对于D选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D选项正确.故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据题设可得为等腰直角三角形，故可得半周期，从而可得的值及各点坐标，通过的坐标可求，从而可得判断各项的正误.【详解】由题知的纵坐标为，又，所以，，所以，所以的周期，所以，，故B正确；所以，故C正确；，故A错误，将代入函数解析式可得：，()，故D错误.故选：BC.12.定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确有（）A.方程有且仅有三个解 B.方程有且仅有三个解C.方程有且仅有八个解 D.方程有且仅有一个解【答案】ABD【解析】【分析】通过利用和，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程，当或，方程只有一解；当时，方程只有两解；当时，方程有三解；对于方程，当时，方程只有唯一解.对于A选项，令，则方程有三个根，，，方程、、均只有一解，所以，方程有且仅有三个解，A选项正确；对于B选项，令，方程只有一解，方程只有三解，所以，方程有且仅有三个解，B选项正确；对于C选项，设，方程有三个根，，，方程有三解，方程有三解，方程有三解，所以，方程有且仅有九个解，C选项错误；对于D选项，令，方程只有一解，方程只有一解，所以，方程有且仅有一个解，D选项正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.函数的定义域是____________．【答案】【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.14.函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为________．【答案】1【解析】【分析】按照两角和的正弦公式将式子展开，得到f(x)＝sin(x－φ)，根据－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.【详解】因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)，－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ωx+φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x．15.2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩___________十万只.【答案】1.6【解析】【分析】由题意结合平均数，方差的定义整理计算即可求得最终结果.【详解】设该工厂这5天平均每天生产口罩为，由题意可得，则，由，可得，解得.故答案为：1.616.在三棱锥中，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】取AB的中点D，连接SD，CD，设的外接圆的圆心为，连接AO，BO，SO，根据二面角和勾股定理求得，求得球心和球半径，由此可求得球的表面积.【详解】取AB的中点D，连接SD，CD，设的外接圆的圆心为，连接AO，BO，SO，因为是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，所以，所以就是二面角的平面角，又二面角的大小为，所以，又，，，所以，所以，所以点O就是三棱锥外接球的球心，其球半径为，所以该三棱锥外接球的表面积为，故答案为：.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18—22题每小题12分，共70分）.17.中，角的对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，由正弦定理可得：，可得，化简即可求值；（2）由，根据余弦定理，代入可得：，所以，再根据面积公式即可得解.【详解】（1）由，由正弦定理可得：，可得，在中，，，可得：，故；（2）由（1）知，且，根据余弦定理，代入可得：，所以，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.【点睛】本题考查了解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，在解题过程中主要有角化边和边化角两种化简方法，同时应用了基本不等式求最值，属于基础题.18.如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，则可证且，根据题意可得，，可得四边形ABGF为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理，即可得证.（Ⅱ）根据四边形ABGF为平行四边形，根据题意及线面垂直的判定定理，可证平面CDE，则即为直线和平面所成角，在中，求得各个边长，根据三角函数的定义，即可求得答案.【详解】（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：因为F、G分别为CD、CE的中点，所以且，又因为平面，平面，所以，,所以，，所以四边形ABGF为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因为平面，平面ACD，所以，所以，又为等边三角形，F为CD的中点，所以，又平面CDE，所以平面CDE，即平面CDE，又平面CDE，则，连接DG，BD，如图所示，则即为直线和平面所成角，设，在中，，在直角梯形ABED中，，在中，，所以，所以直线和平面所成角的正弦值为.【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，并灵活应用，在用定义法处理线面角时，需找到平面的垂线，作出线面角，利用三角函数进行求解，考查分析计算，推理证明的能力，属基础题.19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)

频数

6

26

38

22

8

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.20.如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）设，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）依据题意可得，根据圆的性质可得，最后根据面面垂直的判定定理可得结果.（2）作，通过证明平面，找到二面角的平面角，然后简单计算即可.【详解】（1）证明：∵是圆的直径，∴，又∵平面，∴，∵，平面，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）∵平面，平面，所以过作于，连接，,平面，所以平面则，∴即为二面角的平面角，，，∴.∴.21.已知函数的图像如下图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，若将其图像向右平移个单位后得到函数的图像，而函数的最小正周期为，且在处取得最小值．（1）求参数和的值；（2）若，求向量与向量之间夹角的余弦值；（3）若点为函数图像上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据周期求出，利用在处取得最小值求出；（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；（3）设，利用向量运算求A的取值范围.【详解】（1）又时，取最小值则，，又则（2），则，，则则（3）是上动点，，又恒成立设，或时