湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期开学学情数学自测卷（人教版A）（解析版）

湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DBDDACDBBCABC题号11答案ABD1．D【详解】，所以虚部为．2．B【分析】方法1：将分解为，使用正弦的和角公式即可解决本题；方法2：将分解为，使用诱导公式和“特殊角”的余弦值即可解决本题；本题分解方式较多，例如还可以是等，解法类似，不再赘述.【详解】方法1：.方法2：.3．D【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.【详解】,,即,.故选：D.4．D【分析】根据方差的性质求解即可.【详解】原数据方差为，则新数据方差为.5．A【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增，所以，，，则.6．C【分析】利用三角形面积公式进行求解.【详解】由题意得：，的面积，则，所以，.7．D【分析】由题意，分析几何关系，建立关于的不等式，求解即可.【详解】设交轴于点，则，，则，即，即，结合椭圆离心率，得，则离心率的最小值为.故选：D.8．B【分析】取的中点，构造平行线，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再结合已知条件求解.【详解】取的中点，连接,根据三角形中位线的性质知，且由得或其补角为异面直线和所成的角,又，则,则为等腰直角三角形，则，故选:9．BC【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC.【详解】对于A，取，，而，A错误；对于B，设，，由，得，，B正确；对于C，由及，设，，，解得，则，C正确；对于D，取，，而，D错误.故选：BC10．ABC【分析】利用正弦定理和大边对大角可判断A；利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断B；利用可判断C；边化角，利用二倍角公式化简，结合正弦函数性质可判断D.【详解】对A，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确；对B，由和正弦定理可得，所以，又，所以，正确；对C，若，则，即，所以符合条件的有两个，正确；对D，若，则，即，因为，所以或，即或，当时，，此时为直角三角形；当时，为等腰三角形.所以为直角三角形或等腰三角形，错误.故选：ABC11．ABD【分析】利用平行线的性质结合给定条件判断底面积和高都是定值来处理A，利用圆的定义结合夹角求解轨迹来处理B，利用三角形外心和向量数量积的性质判断C，将三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理判断D即可.【详解】对于A，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，连接，因为，所以，令，而，则，得到，因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以，而由直四棱柱性质得，而，由勾股定理得，在直四棱柱中，，，得到四边形是平行四边形，故，则，由题意得为的中点，则的面积是定值，而面，面，所以面，结合，由线面平行性质得到面的距离为定值，即四面体的体积为定值，故A正确，对于B，如图，在面中，过作，连接，由直四棱柱性质得面，则，而，面，故面，则，而面为菱形，则面为菱形，因为，所以，因为，所以，则，由锐角三角函数定义得，解得，由勾股定理得，因为，所以由勾股定理得，则在以为圆心，为半径的圆上运动，设该圆与交于，与交于，由三角函数定义得，则，即点的轨迹为一段圆弧，故B正确，对于C，如图，作，由题意得的外心为，故是的中点，由已知得，因为，所以，而，，故C错误，对于D，若且，此时，因为P为的中点，所以，由向量加法法则得，故，则点与点重合，此时把沿着翻折，如图，使得四点共面，此时有最小值，此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以，由勾股定理得，如图，连接，由已知得，则，由余弦定理得，解得，由直四棱柱性质得面，则，则由勾股定理得，则，故，而，则，得到，由余弦定理得，解得，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题即可.12．20【分析】根据分层抽样计算求解.【详解】4店欲通过分层随机抽样了解、、三个小区居民对新能源汽车的购买意愿．这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人，若总样本量为100人，则应从小区抽取人．故答案为：.13．【分析】根据二面角的定义，结合空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为分别在半平面内，，二面角等于，所以，因为，所以，所以，故答案为：14．4【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值.【详解】，表示直线上的点到定点和的距离和，如图，点关于的对称点为，，当点三点重合时，最小，最小值为4.故答案为：415．(1)1；1(2)证明：.(3)【分析】（1）代入直接计算得到答案.（2）代入直接计算得到证明.（3）根据，两两组合计算得到答案.【详解】（1），，.（2）略；（3）.16．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是平行四边形，，同理，，又平面，故，所以；（2）由平行关系得到为异面直线与所成角（或其补角），求出各边长，利用余弦定理得到异面直线夹角余弦值为；（3）等体积法求出三棱锥的体积.【详解】（1）取的中点，连接，，为的中点，且，为的中点，，且.，且，四边形是平行四边形，

，同理可证四边形为平行四边形，故，，又平面，平面，∴，所以；（2）由（1）得，为异面直线与所成角（或其补角），在正方形中，，为中点，故，，又，故，，，异面直线与所成角的余弦值为；（3），在正四棱柱中，平面，.17．(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得.（2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得.【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,，由正弦定理得，解得，显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为，于是，解得，所以的外接圆的圆心坐标为.（2）设点，显然，而轴，则，于是，当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增，因此最大，当且仅当最大，所以当最大时，点的坐标是.【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键.18．(1)，平均数为分，中位数为分；(2)【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值；（2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由已知可得，解得，所抽取的名学生成绩的平均数为（分），由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以，中位数，由题意可得，解得（分）.（2）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为，记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为，则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种.其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种.故所求概率为.19．(1)在四棱锥中，连接，，由平面，平面，得，由正方形，得，而，，平面，所以平面.(2)(3)或【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明.（2）先把直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，即为或其补角，再利用直角三角形的边角关系求解.（3）将四棱柱补成正四棱柱，利用线面角的概念明确直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的长.【详解】（1）略（2）由正方形，得，而平面，平面，则平面，又平面，平面平面，因此.直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角.由平面，平面，得，而,，，平面，则平面.又平面，因此，，则