安徽省A10联盟2026届高三下学期2月开学学情检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省A10联盟2026届高三下学期2月开学学情检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知，，所以．故选：B.2.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以．故选：C.3.如下一组数据：85，105，94，96，102，98，89，99，98，100，则这组数据的第80百分位数是（）A.102 B.101 C.100 D.99【答案】B【解析】将数据由小到大排序为：85，89，94，96，98，98，99，100，102，105，而，所以这组数据的第80百分位数是.故选：B.4.在等差数列中，，则（）A.23 B.21 C.19 D.17【答案】A【解析】设数列的公差为，因为，所以，则，所以．故选：A．5.已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形，那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合，不妨设底面直径为，则圆锥的高为，外接球的半径为，外接球的体积是，圆锥的体积为，于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为.故选：D．6.已知圆与直线相切，且经过坐标原点和，则圆的半径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为点在直线上，所以过点且与直线垂直的直线方程为，所以圆心落在直线上，又圆过和，则的中点为，其垂直平分线斜率为2，所以的垂直平分线方程为，即，所以圆心在直线上，联立，得，所以圆心为，所以半径．故选：C.7.已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若，恰存在三个不同的实数，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得，，当时，，则，因为恰存在三个实数，使得，则对任意，方程在上恰有三个不同的实数解，结合的性质可知，要满足此条件，区间必须恰好覆盖前三个解，故的取值需满足第三个解存在而第四个解不存在，因此，自变量的终点必须满足，解得.故选：D．8.若函数在内不单调，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，当时，，所以在上单调递增，所以由在内不单调得，即，解得．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，由，得，故A错误；对于B，由，得，即，故B正确；对于C，由，得，故C正确；对于D，由，得，又，故，故D正确．故选：BCD．10.设为数列的前项和，且，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，得，即，故A正确；令，得，所以，故B错误；令，得①，令，得②，则②①，得，所以，故C正确；令，得③，令，得④，则④③，得，故D错误．故选：AC．11.在三棱锥中，，则下列说法正确的有（）A.若，则三棱锥是正三棱锥B.若，，的周长均为4，则三棱锥是正三棱锥C.若，，的内切圆的面积均为，则三棱锥是正三棱锥D.若，则三棱锥是正三棱锥【答案】ABD【解析】对于A，因，作平面，垂足为，则易得，即为的外心，又为等边三角形，所以D为的中心，故A正确；对于B，如图，设，则，解得，由A知B正确；对于C，由，，的内切圆的面积均为，可得内切圆的半径均为，所以，考虑到不全相等，所以未必有，故C错误；对于D，在，，中，由，由余弦定理，得，整理得，即，解得，故D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则__________．【答案】【解析】由题意得，，即，所以故答案为：.13.已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________．【答案】1【解析】令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则．故答案为：1.14.已知椭圆的左、右焦点为，且是抛物线的焦点，记与的一个交点为，若直线与只有一个公共点，则的离心率为__________．【答案】【解析】设，则，对求导得，所以，又，所以，即，所以，所以，所以轴．在中，，在中，，所以，所以，所以，解得．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校积极推进“五育并举”育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了100名学生，得到如下列联表．性别是否喜欢围棋合计是否男生20女生2050合计100（1）补充完整列联表，根据的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？（2）为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲、乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局．已知每局甲胜乙的概率为，在甲第一局失败的条件下，求甲最终获胜的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由题意得，22列联表如下：性别是否喜欢围棋合计是否男生302050女生203050合计5050100零假设性别与喜欢围棋无关联．根据列联表，得．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即性别与喜欢围棋无关联．（2）在甲第一局失败的条件下，甲最终获胜的概率有两种情况：甲3:1胜乙、其概率，甲3:2胜乙，其概率，故甲最终获胜的概率．16.在中，内角的对边分别是，且．（1）求的大小；（2）若，为的角平分线，且，求的面积．解：（1）由得，，所以，即，因为，所以，则，所以．（2）中，由余弦定理得，即①，因为为的角平分线，所以，即②，联立①②，解得，所以．17.如图几何体是圆锥的一部分，且，点是上一点（不与重合），二面角的大小为．（1）求证：；（2）取的中点，连接，若平面．（i）求的度数；（ii）求点到平面的距离．（1）证明：因为二面角的大小为，所以二面角的大小为，如图1，取的中点，连接，则，所以为二面角的平面角，所以，所以，又，所以，所以，所以，，所以，即．又，且平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：（i）如图2，取的中点，连接，则，因为在平面外，平面，所以平面，因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，由（1）知，又，所以；（ii）由（1）可知可以为坐标原点，分别以为轴建立如图3所示的空间直角坐标系，则，所以．设平面的一个法向量为，由得，令，得，所以平面的一个法向量为．所以点到平面的距离．18.已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为．（1）求的方程；（2）过的直线交的右支于两点．（i）求直线倾斜角的取值范围；（ii）过作的平行线交于，过作的平行线交于，求证：．（1）解：由题意得，，所以，所以的方程为．（2）（i）解：当直线斜率不存在时，此时直线与的右支有2个交点，满足题意．当直线斜率存在时，设直线，联立，得，由两点均在的右支，得，解得或．综上，直线倾斜角的取值范围为．（ii）证明：联立，得，联立，得．当直线斜率不存在时，，此时，所以．当直线斜率存在时，，则，要证明，只需证，只需证，只需证，由（i）知，，则成立，所以．综上，．19.已知，直线与曲线和都相切．（1）求的值；（2）若，其中．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．（1）解：．设与的切点为，则，解得，所以．由与相切，同理得，所以．（2）（i）解：由得直线