安徽铜陵市2026届高三下学期第一次质检数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽铜陵市2026届高三下学期第一次质检数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，故选：A.2.已知，则的最小值为（）A.3 B.2 C. D.1【答案】D【解析】因为，，所以，，当且仅当时取等号，.故选：D.3.已知复数，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】，.故选：A.4.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（）A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.93【答案】D【解析】.5.已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为直线的，由角平分线性质定理可知，所以，由双曲线的定义可知，所以，在中由余弦定理可得，即，整理得，两边同除以可得，解得或（舍去）．故选：C.6.已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（）A.的一个周期为6 B.C. D.【答案】B【解析】选项A，的图像向左平移个单位得到，又关于中心对称，关于中心对称，，将式子中的用代替，得到，是定义在上的偶函数，，，将此式子中的用代替，得到，则是一个以为周期的周期函数，故选项A错误；选项B，关于中心对称，的定义域为，，是定义在上的偶函数，，故选项B正确；选项C，，，但是根据题中已知条件无法得到，故选项C错误；选项D，是一个以为周期的周期函数，，，，，，，，，，仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出，故选项D错误.7.黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（）A.81 B.72 C.36 D.12【答案】C【解析】先从四人中选出两人当成一组，共种分法，再将三组人进行分配，共种，故共有种分配方法.8.已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增，所以，，，所以在上的值域为，记，，的对称轴为，，，所以函数的值域为，又，且，在上单调递减，要使方程有唯一解，则的取值集合为，所以，记，若对任意的，存在唯一的，使得，则，所以，解得，所以实数的取值范围是．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，则函数的最小值为3B.若，则的最小值为C.函数的最小值为D.若，且，则【答案】BCD【解析】对于A，∵，∴，∴，当且仅当，即时，取得最大值，故A错误；对于B，，当且仅当，时，取到最小值为，故B正确；对于C，.当且仅当时，取等号，故C正确；对于D，当，且时，，∴，当且仅当，取最大值，故D正确.故选：BCD.10.已知正项等比数列的前项和为，若，则（）A. B.数列有最小项C.数列为递减数列 D.【答案】ACD【解析】设正项等比数列公比为，对于A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确；对于D，，则，故D正确，故选：ACD．11.已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（）A.存在点，使得直线的斜率为2B.存在点，使得C.存在点，使得D.存在点，使得点的横坐标为【答案】ABD【解析】设点，，，，由题知离心率，解得，故有，双曲线C的渐近线为，对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2，直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误；对于B选项：，，若，即，可得，即：（①），而位于双曲线右支上，其中，故有：，即：（②），联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误；对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确；对于D选项：设，，，而，带入化简得：，而，故，可知不存在这样的点M使等式成立，故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误.下面为证明：，的中点为，根据中点坐标公式可知，故，，故，而，两点均位于双曲线上，故：（③）（④），用③减④得：，化简得，故，证毕.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______．【答案】【解析】由双曲线，可得，则，又由抛物线的准线的方程为，因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，所以，解得，所以抛物线的标准方程为.故答案为：.13.在中，角的对边分别为，若且，则__________．【答案】4【解析】三角形内角和，，，，故，C是三角形内角，，故，则，，，根据正弦定理得，，．故答案为：4．14.连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________.【答案】3【解析】抛掷总次数，其中，.所以相减得.所以，所以正整数的最小值为3．故答案为：3.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角，，的对边分别是，，，.（1）求角的大小；（2）若，，求.解：（1）已知边角互换得，因为，则，即.又因为是的内角，所以可得.（2）余弦定理：，将，，代入得(，整理得，解得.16.为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表：效果明显效果不明显合计甲方案10002001200乙方案600200800合计16004002000（1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；（2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望．附：．0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．（2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，的取值分别为0，1，2，则，所以的分布列为012．17.如图，、分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且，，分别是圆上在同侧的两点，且是线段上一点（不含端点）.（1）求证：平面；（2）已知圆柱的高为6，表面积为，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：证法一：因为分别是圆上在同侧的两点，且,所以是等边三角形，，所以，又平面平面，所以平面，因为分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为平面平面平面，所以平面平面，又平面，所以平面，证法二：如图，在线段上取一点，使得，因为分别是圆上在同侧的两点，且，所以是等边三角形，，所以，又，所以四边形是平行四边形，，因为分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且，所以，所以，四边形是平行四边形，所以.又平面平面，所以平面；（2）解：在圆中过点作，又平面平面，所以，以为原点所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设圆柱的底面半径为，因为圆柱的高为，表面积为，所以，即，解得（舍）或，因为，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，得，即为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，令，得，即为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．18.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2），成立，求实数a的取值范围；（3）若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：.（1）解：当时，可得，可得，令，可得，当时，，可得，即，单调递减；当时，，所以，单调递增，则，即，单调递增，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）解：令，可得，令，则，当时，，，，故，当时，，，故，所以当时，可得，单调递增，即单调递增，，当时，，则，在上单调递增，所以，所以成立，满足题意；当时，存在，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，不满足题意，综上可得，实数的取值范围为.（3）证明：当时，，可得，设，可得，设，可得，设，可得，当时，，可得，则在上单调递增，因为，所以存在唯一，使得，可得在上单调递减，在上单调递增，，所以存在唯一的，使得，且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由，，，又由，因为，，可得，，可得，，所以，则存在唯一，使得，且在上单调递增，在上单调递减，当时，，，则在上单调递增，则，则存在唯一，使得，当时，，当时，，当时，，可得，在上单调递增，，，综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使得与的图像有三个交点，则，，则，又因为，则，则，所以，得证.19.已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）设双