福建福州第三中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建福州第三中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则（）A. B.C. D.【答案】D2.设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（）A. B.C. D.2【答案】C3.一物体做直线运动，其位移与时间的关系是，则物体的初速度为()A.0 B.3 C.－2 D.3－2t【答案】B4.在等差数列中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A5.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A.48种 B.72种 C.96种 D.144种【答案】B6.某同学喜爱球类和游泳运动.暑假期间，该同学上午去打球的概率为.若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（）A. B. C. D.【答案】D7.已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】C8.已知实数满足，则的大小关系不可能是（）A. B.C. D.【答案】A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间中三点，则（）A.B.方向上的单位向量是C.是平面的一个法向量D.在上的投影向量的模为【答案】CD10.若，则（）A.B.C.D.【答案】BC11.双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（）A. B.C.C的离心率为 D.当时，四边形的面积为【答案】ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前项和为，，，则______．【答案】2413.曲线在点处的切线在轴上的截距为__________.【答案】14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________.【答案】1250四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了50名男生和50名女生，统计数据如下表所示：经常锻炼不经常锻炼合计男生401050女生302050合计7030100（1）从这100人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率；（2）试依据小概率值的独立性检验，判断学生体育锻炼的经常性与性别是否有关.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）记事件为“选到的学生不经常锻炼”，事件为“选到的人是女生”，根据条件概率公式，故；即在选到的学生不经常锻炼条件下，是女生的概率为；（2）提出假设为学生体育锻炼经常性与性别无关，则，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此不能认为学生体育锻炼经常性与性别有关．16.已知数列的前项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）因为①，所以，解得，对任意的，②-①得，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）知，，则，所以，则.17.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.解：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.18.设为坐标原点，椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）求面积的最大值；（3）证明：.（1）解：由已知得，的方程为,代入椭圆，可得,即得点的坐标为或.所以的方程为或；（2）解：由题可知直线l斜率不为零，设直线l的方程为，，，由消去,可得．显然,则，又，又，当且仅当时取等，，即面积的最大值为；（3）证明：当直线l与x轴重合时，显然有；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为，，，由（2）知．点A关于x轴的对称点，则直线的方程为．令，，则直线过点M，故．19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：消费金额（单位：百元）频数2035251055（1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）．现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；（2）市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格．棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）．重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束．①设棋子移到第格的概率为，求P2的值，并证明：当时，是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．（1）解：，因为服从正态分布，所以．所以，所以的数学期望为．（2）①证明：棋子开始在第格为必然事件，．第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即．