福建福州第四中学2025-2026学年高二下学期第二学段试卷数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建福州第四中学2025-2026学年高二下学期第二学段数学试题一、单选题：（每题5分，共40分）1.已知直线：，：，若，则的值是（）A.或 B. C. D.【答案】D2.已知点，，．则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C3.已知空间中三点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A5.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是A.-40 B.-20 C.20 D.40【答案】D6.工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（）（附：若，则，，）A.2718 B.1359 C.430 D.215【答案】B7.一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（

）A. B. C. D.【答案】B8.已知，，，，则（）A. B. C.或 D.或【答案】B二、多选题：（每题6分，共18分）9.为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB10.设函数，下列说法正确的是（）A.当时，的图象关于直线对称B.当时，在上是增函数C.若在上的最小值为，则的取值范围为D.若在上恰有2个零点，则的取值范围为【答案】AC11.如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（）A.三棱锥的体积是定值B.存在点P，使得与所成的角为C.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D.若，则P的轨迹的长度为【答案】ACD三、填空题：（每题5分，共15分）12.过点作圆的切线，则切线方程为______.【答案】或13.6位学生排成一排拍照，要求甲乙不相邻，且丙丁相邻，则不同的排法共有______种.（结果用数值表示）【答案】14414.甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____．【答案】①.0.1##②.0.3##四、解答题：（共77分）15.在锐角中，分别为内角的对边，满足（1）求角的大小；（2）求的取值范围．解：（1）在中，由，得，即ccosA=b-1由正弦定理得sinCcosA=即，而，则，又，所以.（2）由（1）得，由锐角，得，解得，因此sin=sinA+由A+π6∈(π3,2所以的范围是．16.已知数列的前项和为，，且．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求．解：（1）因为，所以，两式相减可得，所以，所以数列是常数列，又，所以，所以，所以．（2）结合（1）得，则，两边乘以4可得：，两式相减得：，，即．17.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？解：（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，则有，所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是.（2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为，，则的分布列为：123期望，方差.（3）设乙公司答对题数为，则的取值分别为，，，则的分布列为：0123期望，方差，显然，所以甲公司竞标成功的可能性更大.18.已知函数，其中．（1）当时，求函数的单调区间；（2）①若恒成立，求的最小值；②证明：，其中.（1）解：由已知条件得，其中的定义域为，则，当时，，当时，，综上所述可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）①解：由恒成立，即恒成立，令，则，当时，，当时，，∴在上单调递增，上单调递减，∴，∴的最小值为1.②证明：由①知：，时取“=”，令，得，∴，当时，.19.已知平面直角坐标系中动点P满足：P到定点的距离与P到直线的距离之比等于，设动点P的轨迹为曲线C．过点F作直线l与曲线C交于A、B两点，点M的坐标为．（1）求动点P的轨迹方程（即曲线C的方程）；（2）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（3）设O为坐标原点，证明：．（1）解：设动点，由已知可得：，化简得：，动点P的轨迹方程为：．（2）解：已知，则点A的横坐标为1，代入椭圆方程得