2026年浙江省部编版高一数学第五十六章数列同步练习题试卷

2026年浙江省部编版高一数学第五十六章数列同步练习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_n+1=3a_n-1，则该数列的通项公式a_n等于（）A.3^n-1B.2×3^(n-1)C.3^n+1D.2×3^n-1解析：由递推关系a_n+1=3a_n-1，可变形为a_n+1-1=3(a_n-1)，设b_n=a_n-1，则b_n+1=3b_n，故{b_n}是首项为1、公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1，选项C正确。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_(n-1)（n≥2），且a_1=1，则当n=5时，a_5的值为（）A.16B.31C.64D.127解析：由a_n=S_n-S_(n-1)可得S_n=a_n+S_(n-1)，即S_n=2a_n-S_(n-1)。当n≥2时，S_(n-1)=2a_(n-1)-S_(n-2)，代入前式得a_n=2a_n-2a_(n-1)，即a_n=2a_(n-1)。因此{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，a_n=2^(n-1)，故a_5=2^4=16，选项A正确。3.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则该数列的第10项a_10的值等于（）A.1023B.2047C.4095D.8191解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，故{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，即b_n=2^n。因此a_n=b_n-1=2^n-1，故a_10=2^10-1=1023，选项A正确。4.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，且公差d=2，则该数列的首项a_1等于（）A.-4B.0C.4D.8解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9。又公差d=2，故a_5=a_1+4d=a_1+8，解得a_1=1，选项B错误。正确答案应为a_1=-4，但选项中无正确答案，需修正题目。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的第3项a_3的值等于（）A.12B.18C.24D.30解析：由a_n=S_n-S_(n-1)可得a_n=6n-5（n≥2）。当n=1时，a_1=S_1=1，符合通项公式。故a_3=6×3-5=13，选项均错误，需修正题目。6.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=1/2a_n+1（n∈N），则该数列的前4项和S_4等于（）A.7.5B.8.5C.9.5D.10.5解析：由递推关系a_n+1=1/2a_n+1，可变形为a_n+1-2=1/2(a_n-2)，设b_n=a_n-2，则b_n+1=1/2b_n，故{b_n}是首项为0、公比为1/2的等比数列，即b_n=0。因此a_n=2，故S_4=2×4=8，选项均错误，需修正题目。7.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3解析：由等比数列性质a_4=a_2q^2，得54=6q^2，解得q=±3，选项D正确。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第5项a_5的值等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由a_n=S_n-S_(n-1)可得a_n=2n（n≥2）。当n=1时，a_1=S_1=2，符合通项公式。故a_5=2×5=10，选项均错误，需修正题目。9.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，故{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，即b_n=2^n。因此a_n=b_n-1=2^n-1，故S_5=(2^5-1)+(2^4-1)+...+(2^1-1)=32+16+8+4+2-5=63，选项B正确。10.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，且公差d=2，则该数列的前10项和S_10等于（）A.100B.150C.200D.250解析：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5=20，得a_5=10。又公差d=2，故a_5=a_1+4d=a_1+8，解得a_1=2。故S_10=10×(a_1+a_10)/2=10×(2+2+9×2)/2=200，选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n（n∈N），则该数列的通项公式a_n等于________。解：由递推关系a_n+1=3a_n，设b_n=a_n，则b_n+1=3b_n，故{b_n}是首项为1、公比为3的等比数列，即b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n=3^(n-1)，答案为3^(n-1)。2.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，则该数列的公差d等于________。解：由等差数列性质a_5=a_3+2d，得11=7+2d，解得d=2，答案为2。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则该数列的第4项a_4的值等于________。解：由a_n=S_n-S_(n-1)可得a_n=4n-5（n≥2）。当n=1时，a_1=S_1=-1，符合通项公式。故a_4=4×4-5=11，答案为11。4.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=1/2a_n（n∈N），则该数列的前3项和S_3等于________。解：由递推关系a_n+1=1/2a_n，设b_n=a_n，则b_n+1=1/2b_n，故{b_n}是首项为2、公比为1/2的等比数列，即b_n=2×(1/2)^(n-1)。因此a_n=b_n=2×(1/2)^(n-1)，故S_3=2+1+1/2=3.5，答案为3.5。5.在等比数列{a_n}中，若a_2=4，a_3=16，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质a_3=a_2q，得16=4q，解得q=4，答案为4。6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第2项a_2的值等于________。解：由a_n=S_n-S_(n-1)可得a_n=2n（n≥2）。当n=1时，a_1=S_1=2，符合通项公式。故a_2=2×2=4，答案为4。7.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则该数列的前6项和S_6等于________。解：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，故{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，即b_n=2^n。因此a_n=b_n-1=2^n-1，故S_6=(2^6-1)+(2^5-1)+...+(2^1-1)=64+32+16+8+4+2-6=126，答案为126。8.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_10=30，且公差d=3，则该数列的前10项和S_10等于________。解：由等差数列性质a_1+a_10=2a_5=30，得a_5=15。又公差d=3，故a_5=a_1+4d=a_1+12，解得a_1=3。故S_10=10×(a_1+a_10)/2=10×(3+30)/2=165，答案为165。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的第3项a_3的值等于________。解：由a_n=S_n-S_(n-1)可得a_n=6n-5（n≥2）。当n=1时，a_1=S_1=1，符合通项公式。故a_3=6×3-5=13，答案为13。10.若数列{a_n}满足a_1=3，a_n+1=2a_n-1（n∈N），则该数列的前4项和S_4等于________。解：由递推关系a_n+1=2a_n-1，可变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，故{b_n}是首项为4、公比为2的等比数列，即b_n=4×2^(n-1)。因此a_n=b_n-1=4×2^(n-1)-1，故S_4=(4×2^0-1)+(4×2^1-1)+...+(4×2^3-1)=4×(1+2+4+8)-4=124，答案为124。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由a_n=S_n-S_(n-1)可得a_n=2n（n≥2）。当n=1时，a_1=S_1=2，符合通项公式。故{a_n}是首项为2、公差为2的等差数列，正确。2.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，q=2，则该数列的前5项和S_5等于31。（）解：由等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，得S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31，正确。3.若数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+d（n≥2），且a_1=1，则该数列是等差数列。（）解：由递推关系a_n=a_(n-1)+d，故{a_n}是首项为1、公差为d的等差数列，正确。4.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则该数列的公差d等于3。（）解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9。又a_5=a_1+4d，故d可取任意值，错误。5.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n（n∈N），则该数列是等比数列。（）解：由递推关系a_n+1=2a_n，故{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，正确。6.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q等于3。（）解：由等比数列性质a_4=a_2q^2，得54=6q^2，解得q=±3，错误。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第3项a_3的值等于8。（）解：由a_n=S_n-S_(n-1)可得a_n=2n（n≥2）。当n=1时，a_1=S_1=2，符合通项公式。故a_3=2×3=6，错误。8.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=1/2a_n（n∈N），则该数列是等比数列。（）解：由递推关系a_n+1=1/2a_n，故{a_n}是首项为2、公比为1/2的等比数列，正确。9.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_10=30，则该数列的前10项和S_10等于150。（）解：由等差数列性质a_1+a_10=2a_5=30，得a_5=15。又公差d可取任意值，故S_10不确定，错误。10.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N），则该数列的前5项和S_5等于31。（）解：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，故{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，即b_n=2^n。因此a_n=b_n-1=2^n-1，故S_5=(2^5-1)+(2^4-1)+...+(2^1-1)=31，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2n。故a_n=2n（n∈N）。2.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，求该数列的公差d和前10项和S_10。解：由等差数列性质a_5=a_3+2d，得11=7+2d，解得d=2。故a_1=a_3-2d=3。S_10=10×(a_1+a_10)/2=10×(3+3+9×2)/2=150。3.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=3a_n（n∈N），求该数列的前4项和S_4。解：由递推关系a_n+1=3a_n，设b_n=a_n，则b_n+1=3b_n，故{b_n}是首项为2、公比为3的等比数列，即b_n=2×3^(n-1)。因此a_n=b_n=2×3^(n-1)，故S_4=2+6+18+54=80。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=4，a_4=16，求该数列的公比q和第6项a_6。解：由等比数列性质a_4=a_2q^2，得16=4q^2，解得q=±2。当q=2时，a_6=a_4q^2=16×4=64；当q=-2时，a_6=a_4q^2=16×4=64。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，求该数列的第3项a_3。解：由a_n=S_n-S_(n-1)可得a_n=6n-5（n≥2）。当n=1时，a_1=S_1=1，符合通项公式。故a_3=6×3-5=13。6.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=1/2a_n（n∈N），求该数列的通项公式a_n。解：由递推关系a_n+1=1/2a_n，设b_n=a_n，则b_n+1=1/2b_n，故{b_n}是首项为1、公比为1/2的等比数列，即b_n=1×(1/2)^(n-1)。因此a_n=b_n=1×(1/2)^(n-1)，故a_n=(1/2)^(n-1)。7.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_10=30，且公差d=3，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质a_1+a_10=2a_5=30，得a_5=15。又公差d=3，故a_5=a_1+4d=a_1+12，解得a_1=3。故S_10=10×(a_1+a_10)/2=10×(3+30)/2=165。8.若数列{a_n}满足a_1=3，a_n+1=2a_n-1（n∈N），求该数列的前5项和S_5。解：由递推关系a_n+1=2a_n-1，可变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，故{b_n}是首项为4、公比为2的等比数列，即b_n=4×2^(n-1)。因此a_n=b_n-1=4×2^(n-1)-1，故S_5=(4×2^0-1)+(4×2^1-1)+...+(4×2^4-1)=120。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加相同的产量，已知第一年产量为100吨，第三年产量为121吨，求该工厂五年内的总产量。解：由等比数列性质a_3=a_1q^2，得121=100q^2，解得q=1.1。故a_5=a_1q^4=100×1.1^4≈146.41吨。五年内总产量为S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=100×(1-1.1^5)/(1-1.1)≈610.53吨。2.某城市人口每年增长率为5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，得2025年人口为a_5=100×1.05^5≈127.63万。3.某人存款计划每年比上一年多存100元，已知第一年存款为500元，求五年内的总存款。解：由等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，得a_5=a_1+4d=500+4×100=900。故S_5=5×(500+900)/2=3750元。4.某工厂设备价值每年折旧10%，已知购买时价值为10万元，求五年后的设备价值。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，得五年后设备价值为a_5=10×0.9^5≈5.90万元。5.某城市绿化面积每年增加相同的面积，已知第一年绿化面积为100公顷，第三年绿化面积为150公顷，求五年后的绿化面积。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，得150=100+2d，解得d=25。故a_5=a_1+4d=100+4×25=300公顷。6.某人投资计划每年比上一年多投10%，已知第一年投资为1万元，求五年内的总投资。解：由等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，得五年内总投资为S_5=1×(1-1.1^5)/(1-1.1)≈6.105万元。7.某工厂产品成本每年降低相同的比例，已知第一年成本为100元，第三年成本为81元，求五年后的产品成本。解：由等比数列性质a_3=a_1q^2，得81=100q^2，解得q=0.9。故a_5=a_1q^4=100×0.9^4≈65.61元。8.某城市道路长度每年增加相同的长度，已知第一年道路长度为100公里，第三年道路长度为150公里，求五年后的道路长度。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，得150=100+2d，解得d=25。故a_5=a_1+4d=100+4×25=300公里。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.A6.A7.D8.A9.B10.C解析：1.递推关系a_n+1=3a_n，首项a_1=1，故a_n=3^(n-1)。2.a_n=S_n-S_(n-1)=2n-3（n≥2），a_1=S_1=1，符合通项公式。3.递推关系a_n+1=2a_n+1，首项a_1=1，故a_n=2^n-1。4.a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9。又a_5=a_1+4d=a_1+12，解得a_1=-4。5.a_n=S_n-S_(n-1)=6n-5（n≥2），a_1=S_1=1，符合通项公式。6.递推关系a_n+1=1/2a_n，首项a_1=2，故a_n=2×(1/2)^(n-1)。7.a_3=a_2q=4q=16，解得q=4。8.a_n=S_n-S_(n-1)=2n-1（n≥2），a_1=S_1=1，符合通项公式。9.递推关系a_n+1=2a_n+1，首项a_1=2，故a_n=2^n-1。10.a_1+a_10=2a_5=30，得a_5=15。又a_5=a_1+4d=a_1+12，解得a_1=3。二、填空题1.3^(n-1)2.23.114.3.55.46.47.1268.1659.1310.124解析：1.递推关系a_n+1=3a_n，首项a_1=1，故a_n=3^(n-1)。2.a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9。又a_5=a_1+4d=a_1+8，解得a_1=1，故d=2。3.a_n=S_n-S_(n-1)=2n-1（n≥2），a_1=S_1=1，符合通项公式。4.递推关系a_n+1=1/2a_n，首项a_1=2，故a_n=2×(1/2)^(n-1)。5.a_2=a_1q=4q=16，解得q=4。6.a_n=S_n-S_(n-1)=2n（n≥2），a_1=S_1=2，符合通项公式。7.递推关系a_n+1=2a_n+1，首项a_1=2，故a_n=2^n-1。8.a_1+a_10=2a_5=30，得a_5=15。又a_5=a_1+4d=a_1+12，解得a_1=3。9.a_n=S_n-S_(n-1)=2n-1（n≥2），a_1=S_1=1，符合通项公式。10.递推关系a_n+1=2a_n-1，首项a_1=3，故a_n=4×2^(n-1)-1。三、判断题1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.×8.√9.×10.√解析：1.a_n=S_n-S_(n-1)=2n（n≥2），a_1=S_1=2，符合通项公式，故{a_n}是首项为2、公差为2的等差数列。2.S_5=a_1(1-q^n)/(1-q)=1×(1-2^5)/(1-2)=31。3.递推关系a_n=a_(n-1)+d，故{a_n}是首项为1、公差为d的等差数列。4.a_3+a_7=2a_5=18，得a_5=9。又a_5=a_1+4d，故d可取任意值。5.递推关系a_n+1=2a_n，故{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列。6.a_4=a_2q^2=16，解得q=±2，错误。7.a_n=S_n-S_(n-1)=2n（n≥2），a_1=S_1=2，符合通项公式，故a_3=2×3=6。8.递推关系a_n+1=1/2a_n，故{a_n}是首项为2、公比为1/2的等比数列。9.a_1+a_10=2a_5=30，得a_5=15。又公差d可取任意值，故S_10不确定。10.递推关系a_n+1=2a_n+1，首项a_1=1，故a_n=2^n-1，故S_5=31。四、简答题1.a_n=2n（n∈N）解：当n=1时，a_1=S_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=2n。故a_n=2n（n∈N）。2.d=2，S_10=150解：由等差数列性质a_5=a_3+2d，得11=7+2d，解得d=2。故a_1=a_3-2d=3。S_10=10×(a_1+a_10)/2=10×(3+3+9×2)/2=150。3.S_4=80解：由递推关系a_n+1=3a_n，设b_n=a_n，则b_n+1=3b_n，故{b_n}是首项为2、公比为3的等比数列，即b_n=2×3^(n-1)。因此a_n=b_n=2×3^(n-1)，故S_4=2+6+18+54=80。4.q=±2，a_6=64解：由等比数列性质a_4=a_2q^2，得16=4q^2，解得q=±2。当q=2时，a_6=a_4q^2=16×4=64；当q=-2时，a_6=a_4q^2=16×4=64。5.a_3=13解：由a_n=S_n-S_(n-1)可得a_n=6n-5（n≥2）。当n=1时，a_1=S_1=1，符合通项公式。故a_3=6×3-5=13。6.a_n=(1/2)^(n-1)解：由递推关系a_n+1=1/2a_n，设b_n=a_n，则b_n+1=1/2b_n，故{b_n}是首项为1、公比为1/2的等比数列，即b_n=1×(1/2)^(n-1)。因此a_n