湖南高考函数试题与答案呈现

湖南高考函数经典试题与答案呈现考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=√(x-1)+2的定义域是（）A.(-∞,+∞)B.[1,+∞)C.(-1,+1)D.(1,+∞)2.设集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=（）A.(-1,1)B.(1,2)C.[1,2)D.[1,+∞)3.函数f(x)=-x^3+4x的图象关于（）A.原点对称B.x轴对称C.y轴对称D.直线x=2对称4.若函数f(x)=log_a(x+3)在区间(-3,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)5.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.πB.2πC.3π/2D.4π/36.若函数f(x)=x^2-ax+1在区间(1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（）A.a≤2B.a≥2C.a≤-2D.a≥-27.已知函数f(x)=x^3-3x+1，则方程f(x)=0在区间(-2,-1)内（）A.无实根B.有一个实根C.有两个实根D.无法确定实根个数8.若函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是m，则m=（）A.0B.1C.2D.-2二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）9.下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A.f(x)=x/(1+x^2)B.f(x)=|x|/x(x≠0)C.f(x)=x^2+1D.f(x)=sin(x)-cos(x)10.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的取值及f(x)在x=1处的极值分别为（）A.a=3，极大值为1B.a=3，极小值为1C.a=3，极大值为-1D.a=3，极小值为-111.函数f(x)=2cos^2(x)-sin(2x)的图象关于y轴对称，则x的可能取值集合为（）A.{kπ|k∈Z}B.{kπ+π/2|k∈Z}C.{kπ+π/4|k∈Z}D.{kπ-π/4|k∈Z}12.已知函数f(x)=e^x-ax^2在x=1处取得极值，则下列说法正确的有（）A.f(x)在x=1处取得极大值B.f(x)在x=1处取得极小值C.a=1D.f(x)在x=1处不取得极值三、解答题（本大题共6小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log_2(x^2-ax+3)。(1)若f(2)=1，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，讨论函数f(x)的单调性。14.(本小题满分14分)已知函数f(x)=x^3-3x^2+2。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。15.(本小题满分14分)设函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。(1)求函数f(x)的极值点；(2)证明：对任意x∈R，都有f(x)≥0。16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|。(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时的x的值；(2)解不等式f(x)<5。17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图象与y轴的交点为(0,1)，其最小正周期为π。(1)求ω和φ的值；(2)求函数f(x)在区间[-π/2,π/2]上的最大值和最小值。18.(本小题满分16分)已知函数f(x)=e^x-ax^2(a∈R)。(1)求函数f(x)的导数f'(x)；(2)若函数f(x)在x=0处取得极值，求a的值；(3)讨论函数f(x)的单调性；(4)若存在x₀∈R，使得f(x₀)=1，求a的取值范围。试卷答案一、选择题1.B2.C3.A4.B5.A6.A7.B8.C二、多选题9.AB10.AB11.AD12.BC三、解答题13.解：(1)由f(2)=log_2(2^2-2a+3)=1，得2^2-2a+3=2。解得a=3/2。(2)由(1)得f(x)=log_2(x^2-3x/2+3)。其定义域为{x|x^2-3x/2+3>0}，即全体实数。求导得f'(x)=(2x-3/2)/(x^2-3x/2+3)*(1/ln2)。令f'(x)>0，得x>3/4；令f'(x)<0，得x<3/4。故f(x)在(-∞,3/4)上单调递减，在(3/4,+∞)上单调递增。14.解：(1)求导得f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x∈(-∞,0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0,2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。故f(x)的单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。(2)由(1)知，f(x)在x=0处取得局部极大值f(0)=2，在x=2处取得局部极小值f(2)=-2。又f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2=-10，f(3)=3^3-3*3^2+2=2。比较f(-2),f(0),f(2),f(3)的值，得f(x)在区间[-2,3]上的最大值为2，最小值为-10。15.解：(1)求导得f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0，得x=1±√(1/3)。函数f(x)的极值点为x=1-√(1/3)和x=1+√(1/3)。(2)由(1)知，f(x)在(-∞,1-√(1/3))上单调递增，在(1-√(1/3),1+√(1/3))上单调递减，在(1+√(1/3),+∞)上单调递增。故f(x)在x=1-√(1/3)处取得极大值f(1-√(1/3))=(1-√(1/3))^3-3(1-√(1/3))^2+2(1-√(1/3))+1。令t=1-√(1/3)(t>0)，则f(x)极大值=t^3-3t^2+2t+1=t(t^2-3t+2)+1=t(t-1)(t-2)+1。由于t>0且t≠1，t≠2，知t(t-1)(t-2)<0，故f(x)极大值<1。又f(1)=1^3-3*1^2+2*1+1=1。故f(x)在x=1处取得极大值1。所以，对任意x∈R，f(x)≤1。又f(1)=1，故对任意x∈R，都有f(x)≥0。16.解：(1)当x∈(-∞,-2)时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当x∈[-2,1]时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x∈(1,+∞)时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。故当x∈[-2,1]时，f(x)的最小值为3。比较三个区间上的函数值，知f(x)的最小值为3，取得最小值时的x的值属于区间[-2,1]。(2)由(1)知，当x∈[-2,1]时，f(x)=3<5；当x∈(-∞,-2)时，f(x)=-2x-1。解不等式-2x-1<5，得x>-3。结合x∈(-∞,-2)，得-3<x<-2；当x∈(1,+∞)时，f(x)=2x+1。解不等式2x+1<5，得x<2。结合x∈(1,+∞)，得1<x<2。17.解：(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，即f(0)=sin(φ)=1。由于|φ|<π/2，得φ=π/2。函数f(x)的最小正周期为π，即2π/ω=π。解得ω=2。故ω=2，φ=π/2。(2)由(1)得f(x)=sin(2x+π/2)=cos(2x)。当x∈[-π/2,π/2]时，2x∈[-π,π]。在区间[-π,π]上，cos(2x)在x=0处取得最大值1；在x=±π/2处取得最小值-1。故函数f(x)在区间[-π/2,π/2]上的最大值为1，最小值为-1。18.解：(1)函数f(x)=e^x-ax^2的导数f'(x)=e^x-2ax。(2)若函数f(x)在x=0处取得极值，则必有f'(0)=0。由f'(x)=e^x-2ax，得f'(0)=e^0-2a*0=1。故1=0，此方程无解。因此，函数f(x)在x=0处不可能取得极值。(3)讨论函数f(x)的单调性，需研究f'(x)=e^x-2ax的符号。令f'(x)=0，得e^x=2ax。①当a≤0时，2ax≤0，而e^x>0。故当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。此时，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。②当a>0时，考虑函数g(x)=e^x/x。求导得g'(x)=(x-1)e^x/x^2。当x∈(0,1)时，g'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，g'(x)>0。故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。g(x)在x=1处取得极小值，也是最小值e。由e^x=2ax得a=e^x/(2x)=g(x)。若存在x₀>0使得f'(x₀)=0，则必有g(x₀)=a≥e。此时，f'(x)在(0,+∞)上单调递增。若x₀<0，则x₀<0<1，g(x₀)=e^x₀/x₀<0。此时a<0。由f'(x)=e^x-2ax知，当x∈(-∞,0)时，f'(x)<0（因为e^x>0且-2ax>0）。此时f(x)在(-∞,0)上单调递减。当a≤0时，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，若存在x₀>0使得f'(x₀)=0（即a≥e），则f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；若不存在x₀>0使得f'(x₀)=0（即0<a<e），则f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。综合两种情况，当a∈R时，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。