2026年高一数学必修六第四十五章测试卷

2026年高一数学必修六第四十五章测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=8，则该数列的公差d等于（）A.2B.3C.4D.5解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=8可得2a_5=16，即a_3+a_7=16。又已知a_3+a_7=12，矛盾，故不存在满足条件的等差数列。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+3(n≥2)，则b_6的值为（）A.15B.18C.21D.24解析：由递推关系b_n=b_{n-1}+3，可得数列{b_n}是首项为1、公差为3的等差数列，通项公式为b_n=1+3(n-1)=3n-2，故b_6=3×6-2=16。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_n+1=2c_n+1(n≥1)，则该数列的前5项和S_5等于（）A.55B.60C.65D.70解析：由递推关系c_n+1=2c_n+1，变形为c_n+1+1=2(c_n+1)，可得数列{c_n+1}是首项为3、公差为2的等差数列，通项公式为c_n+1=3+2(n-1)=2n+1，即c_n=2n-1。前5项和S_5=1+3+5+7+9=25。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_8=64，且公比q≠1，则该数列的公比q等于（）A.2B.-2C.4D.-4解析：由等比数列性质d_2•d_8=d_5^2=64，可得d_5=±8。若d_5=8，则q^{5-2}=4，q=±2；若d_5=-8，则q^{5-2}=-4，无解。又q≠1，故q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和为T_n，且满足e_1=1，e_n=2e_{n-1}+1(n≥2)，则T_4的值为（）A.15B.16C.17D.18解析：由递推关系e_n=2e_{n-1}+1，变形为e_n+1=2(e_{n-1}+1)，可得数列{e_n+1}是首项为2、公差为2的等比数列，通项公式为e_n+1=2×2^{n-1}=2^n，即e_n=2^n-1。前4项和T_4=(2^1-1)+(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)=31。6.在等差数列{f_n}中，若a_4+a_6+a_8+a_10=64，则该数列的前10项和S_{10}等于（）A.120B.130C.140D.150解析：由等差数列性质a_4+a_10=a_6+a_8，可得a_4+a_6+a_8+a_10=2(a_6+a_8)=64，即a_6+a_8=32。前10项和S_{10}=(a_1+a_{10})×10/2=5(a_4+a_10)=5×32=160。7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_n=g_{n-1}+n(n≥2)，则g_5的值为（）A.15B.31C.45D.55解析：由递推关系g_n=g_{n-1}+n，可得g_n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2，故g_5=5×6/2=15。8.在等比数列{h_n}中，若h_3•h_7=27，且公比q>0，则该数列的通项公式为（）A.h_n=3^nB.h_n=3•2^{n-1}C.h_n=2•3^{n-1}D.h_n=2^n•3解析：由等比数列性质h_3•h_7=h_5^2=27，可得h_5=3√27=9。若h_5=9，则q^{5-3}=3，q=√3；若h_5=-9，则q^{5-3}=-3，无解。又q>0，故q=√3，通项公式为h_n=1×(√3)^{n-1}=3^{(n-1)/2}。9.已知数列{i_n}的前n项和为U_n，且满足i_1=2，i_n=i_{n-1}+n(n≥2)，则U_6的值为（）A.56B.63C.70D.77解析：由递推关系i_n=i_{n-1}+n，可得i_n=2+3+4+…+n=2+(n(n+1)/2-1)=n(n+1)/2+1。前6项和U_6=1+2+3+4+5+6=21+1=22。10.在等差数列{j_n}中，若a_1=1，a_n=5n-3，则该数列的前n项和S_n等于（）A.n(n-2)B.n(n+2)C.n(2n-1)D.n(3n-1)解析：由通项公式a_n=5n-3，可得公差d=a_2-a_1=7-1=6。前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2=n(1+5n-3)/2=n(5n-2)/2=n(2.5n-1)。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5=25，S_10=70，则该数列的公差d等于______。解：由S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，可得S_5=5/2[2a_1+4d]=25，S_10=10/2[2a_1+9d]=70。联立方程组解得d=3。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质b_4=b_2q^2，可得54=6q^2，解得q=3。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+2n(n≥2)，则c_4的值为______。解：由递推关系c_n=c_{n-1}+2n，可得c_n=1+2×2+2×3+…+2n=1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，故c_4=4×5+1=21。4.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_9=20，则该数列的前10项和S_{10}等于______。解：由等差数列性质a_3+a_9=2a_6=20，可得a_6=10。前10项和S_{10}=10×10=100。5.若数列{e_n}的前n项和为T_n，且满足e_1=3，e_n=e_{n-1}+n(n≥2)，则T_5的值为______。解：由递推关系e_n=e_{n-1}+n，可得e_n=3+4+5+…+n=3+(n(n+1)/2-1)=n(n+1)/2+2。前5项和T_5=3+5+7+9+11=35。6.在等比数列{f_n}中，若f_3•f_7=64，且公比q>0，则该数列的通项公式为______。解：由等比数列性质f_3•f_7=f_5^2=64，可得f_5=8。若f_5=8，则q^{5-3}=8/4=2，q=√2。通项公式为f_n=2^{(n-1)/2}。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n=2g_{n-1}+1(n≥2)，则g_4的值为______。解：由递推关系g_n=2g_{n-1}+1，变形为g_n+1=2(g_{n-1}+1)，可得数列{g_n+1}是首项为3、公比2的等比数列，通项公式为g_n+1=3×2^{n-1}，即g_n=3×2^{n-1}-1。故g_4=3×2^3-1=23。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=2，a_n=10，则该数列的通项公式为______。解：由通项公式a_n=a_1+(n-1)d，可得10=2+(n-1)d，解得d=8/9。通项公式为h_n=2+(n-1)×8/9=2+8n/9-8/9=8n/9+10/9。9.若数列{i_n}的前n项和为U_n，且满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+n(n≥2)，则U_6的值为______。解：由递推关系i_n=i_{n-1}+n，可得i_n=1+2+3+…+n=n(n+1)/2。前6项和U_6=1+2+3+4+5+6=21。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_n=2^n，则该数列的公比q等于______。解：由通项公式j_n=2^n，可得j_2=2^2=4，公比q=4/1=4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d(n≥2)，则该数列一定是等差数列。（√）解：等差数列的定义就是相邻两项之差为常数，故该命题正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q<0，则该数列的项数必为偶数。（×）解：若b_1>0，q<0，则数列正负交替，项数可以是奇数或偶数，如b_1=1，q=-2，则数列为1,-2,4,-8,...，项数可以是奇数或偶数。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，则该数列一定是等差数列。（×）解：该条件仅说明数列{c_n}是它自己前n项和的差，不能保证相邻两项之差为常数，如c_n=n，则S_n=n(n+1)/2，c_n=S_n-S_{n-1}=n，但c_n-c_{n-1}=1，不是常数。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_n=a_2+a_{n-1}，则该数列的公差为0。（√）解：由等差数列性质a_1+a_n=2a_{(n+1)/2}，a_2+a_{n-1}=2a_{(n+1)/2}，可得a_1+a_n=a_2+a_{n-1}，即2a_{(n+1)/2}=2a_{(n+1)/2}，矛盾，故公差d=0。5.若数列{e_n}满足e_n=e_{n-1}+ne_{n-2}(n≥3)，则该数列一定是等比数列。（×）解：该递推关系不能保证相邻两项之比为常数，如e_1=1，e_2=1，e_n=n(n-1)，则e_3=6，e_4=12，e_3/e_2=6，e_4/e_3=2，不为常数。6.在等比数列{f_n}中，若f_1•f_n=f_2•f_{n-1}，则该数列的公比q=1。（√）解：由等比数列性质f_1•f_n=f_2•f_{n-1}，可得f_1•f_n=f_1q•f_{n-1}，即f_n=f_{n-1}q，故公比q=1。7.若数列{g_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=an^2+bn(n∈N)，则该数列一定是等差数列。（√）解：由S_n=an^2+bn，可得a_n=S_n-S_{n-1}=2an+b-an+b=an+b，即a_n-a_{n-1}=a(n≥2)，故公差为a。8.在等差数列{h_n}中，若a_1+a_n=a_2+a_{n-1}，则该数列的公差为0。（×）解：由等差数列性质a_1+a_n=2a_{(n+1)/2}，a_2+a_{n-1}=2a_{(n+1)/2}，可得a_1+a_n=a_2+a_{n-1}，即2a_{(n+1)/2}=2a_{(n+1)/2}，矛盾，故公差d=0。9.若数列{i_n}满足i_n=i_{n-1}+n(n≥2)，则该数列一定是等差数列。（×）解：该递推关系不能保证相邻两项之差为常数，如i_1=1，i_n=n(n-1)，则i_2=2，i_3=6，i_2-i_1=1，i_3-i_2=4，不为常数。10.在等比数列{j_n}中，若j_1•j_n=j_2•j_{n-1}，则该数列的公比q=1。（√）解：由等比数列性质j_1•j_n=j_2•j_{n-1}，可得j_1•j_n=j_1q•j_{n-1}，即j_n=j_{n-1}q，故公比q=1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和S_{10}。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，可得S_{10}=10/2[2×2+(10-1)×3]=10×(4+27)=310。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=81，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，可得81=3q^3，解得q=3。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+2n(n≥2)，求c_5的值。解：由递推关系c_n=c_{n-1}+2n，可得c_n=1+2×2+2×3+…+2n=1+2(2+3+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，故c_5=5×6+1=31。4.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_7=20，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=20，可得a_5=10。通项公式a_n=a_5+(n-5)d=10+(n-5)×(20/4-10/4)=10+(n-5)×5/2=5n/2-5/2。5.若数列{e_n}的前n项和为T_n，且满足e_1=2，e_n=e_{n-1}+n(n≥2)，求T_6的值。解：由递推关系e_n=e_{n-1}+n，可得e_n=2+3+4+…+n=2+(n(n+1)/2-1)=n(n+1)/2+1。前6项和T_6=1+2+3+4+5+6=21+1=22。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，求该数列的通项公式f_n。解：由等比数列性质f_4=f_2q^2，可得54=6q^2，解得q=3。通项公式f_n=f_2q^{n-2}=6×3^{n-2}=2×3^{n-1}。7.若数列{g_n}满足g_1=3，g_n=g_{n-1}+2n(n≥2)，求g_4的值。解：由递推关系g_n=g_{n-1}+2n，可得g_n=3+2×2+2×3+…+2n=3+2(2+3+…+n)=3+2×n(n+1)/2=n(n+1)+3，故g_4=4×5+3=23。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=1，a_n=5n-3，求该数列的前n项和S_n。解：由通项公式a_n=5n-3，可得公差d=a_2-a_1=7-1=6。前n项和S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[2×1+(n-1)×6]=n(1+3n-3)/2=n(3n-2)/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加相同的产量，已知第一年产量为10万吨，第三年产量为16万吨，求该工厂五年内的总产量。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，可得16=10+2d，解得d=3。五年内产量为10,13,16,19,22万吨，总产量为10+13+16+19+22=80万吨。2.某城市人口增长率为每年5%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列通项公式P_n=P_1q^{n-1}，可得P_5=100×1.05^5≈127.63万。3.某人每月储蓄的钱数比上月多100元，已知第一个月储蓄500元，求一年后的储蓄总额。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，可得S_{12}=12/2[2×500+(12-1)×100]=6×(1000+1100)=13200元。4.某投资项目的年收益率为10%，已知第一年收益为1万元，求第五年的收益。解：由等比数列通项公式A_n=A_1q^{n-1}，可得A_5=1×1.1^4≈1.4641万元。5.某工厂的设备价值每年折旧10%，已知购买时价值为10万元，求三年后的设备价值。解：由等比数列通项公式V_n=V_1q^{n-1}，可得V_3=10×0.9^3≈7.29万元。6.某城市道路建设每年新增相同长度的道路，已知第一年新增5公里，第三年新增9公里，求五年内道路总长度。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，可得9=5+2d，解得d=2。五年内新增道路为5,7,9,11,13公里，总长度为5+7+9+11+13=45公里。7.某产品的年销量增长率每年为8%，已知2020年销量为1万件，求2024年的销量。解：由等比数列通项公式S_n=S_1q^{n-1}，可得S_4=1×1.08^4≈1.3605万件。8.某工厂的员工工资每年上涨500元，已知第一年工资为5000元，求五年后的工资。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，可得a_5=5000+(5-1)×500=6000元。【标准答案及解析】一、单项选择题