小学数学六年级下册 数与代数 数的认识 知识清单

小学数学六年级下册数与代数数的认识知识清单  一、整数：溯源数位与数系的建构【核心】【高频考点】  （一）整数的意义与分类【基础】  整数包括正整数、0和负整数。用来表示物体个数的0，1，2，3，4……叫作自然数，它是整数的一部分，且最小的自然数是0，没有最大的自然数。特别需要注意的是，0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界点，同时具备多重含义：在计数时表示一个物体也没有；在尺子上表示起点；在数轴上表示正负数的分界；在数的书写中起占位作用147。  （二）十进制计数法与数位顺序表【重要】  十进制计数法是整数的构建基石，即每相邻两个计数单位之间的进率都是10。例如，10个一是十，10个十是百，10个百是千，以此类推。掌握整数数位顺序表是读写大数的前提，数级可分为个级、万级、亿级等，每个数级包含四个数位。数位指的是一个数中每个数字所占的位置，如个位、十位、百位等；而计数单位则是数位对应的量级，如个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……。区分“数位”与“位数”至关重要：数位是位置，位数是一个自然数所含数位的个数，例如8920是一个四位数110。  （三）整数的读法与写法【高频考点】  读法要点：从高位读起，一级一级地往下读。读亿级或万级时，先按个级的读法读出级里的数，再在后面加上一个“亿”字或“万”字。每一级末尾的0都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。例如，9205137580读作九十二亿零五百一十三万七千五百八十110。  写法要点：从高位写起，一级一级地往下写。哪一个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。例如，十五亿二千零九万写作1520090000110。  （四）整数的大小比较【基础】  比较两个整数的大小，首先要看位数，位数多的那个数就大（适用于正数）。如果位数相同，则从最高位比起，最高位上的数字大的那个数就大；如果最高位相同，则依次比较下一位，直到比较出大小为止。对于包含负数的比较，需要遵循“正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数”的原则。两个负数比较大小，负号后面的数越大，这个负数反而越小110。  （五）整数的改写与求近似数【必考】【易错点】  数的改写：为了读写方便，常常将多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数。如果是整万或整亿的数，直接省略万位或亿位后面的0，换成一个“万”或“亿”字。如果不是整万或整亿的数，则在万位或亿位的右边点上小数点，去掉小数末尾的0，再在数的后面加上“万”或“亿”字。改写后，数的大小不变，所以用等号连接。例如，=43.58万1410。  求近似数：在取近似数时，通常使用“四舍五入”法。要省略万位或亿位后面的尾数，就看下一位（千位或千万位）上的数是否满5，如果小于5，则直接舍去；如果大于或等于5，则向前一位进1后再舍去。求近似数后，数的大小发生了变化，所以用约等号连接。例如，795234000≈79523万（四舍五入到万位），795234000≈8亿（四舍五入到亿位）。【★重点提示】在改写或求近似数时，切记不能漏写“万”或“亿”字。在求小数的近似数时，小数末尾的0不能随意去掉，如6.0表示精确到十分位，而6表示精确到个位，两者精确度不同1210。  二、小数：理解十进分数的特殊表达【核心】【难点】  （一）小数的意义与分类【基础】  小数实际上是分母为10，100，1000……的分数的一种特殊表现形式，用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……。根据小数部分的位数是否有限，小数可分为有限小数和无限小数。无限小数又可分为无限循环小数（如0.333……）和无限不循环小数（如π）。需要注意的是，循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数17。  （二）小数的数位顺序表【重要】  小数由整数部分、小数点和小数部分组成。小数部分的数位从左至右依次是十分位、百分位、千分位、万分位……，对应的计数单位分别是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……。与整数一样，小数部分每相邻两个计数单位之间的进率也是10，例如10个0.01是0.1110。  （三）小数的读法与写法【基础】  读法：读小数时，整数部分按整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分依次读出每一个数位上的数字，不能按整数的读法来读。例如，85.429读作八十五点四二九110。  写法：写小数时，整数部分按整数的写法来写，整数部分是零的写作“0”，小数点写在个位的右下角，小数部分依次写出每一个数位上的数字。例如，六十点零五零七写作60.0507110。  （四）小数的性质与大小比较【核心】【高频考点】  小数的性质：在小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。这是化简小数和改写小数的依据。需要注意的是，这种“不变”仅限于小数的大小，而小数的计数单位却发生了变化，意义也随之不同。例如，0.4和0.40大小相等，但0.4的计数单位是0.1（十分之一），而0.40的计数单位是0.01（百分之一）157。  大小比较：比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，再比较十分位上的数，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，再比较百分位上的数……直至比较出大小为止。不能误认为小数部分位数越多，这个小数就越大17。  （五）小数点位置移动引起小数大小的变化【必考】  小数点向右移动一位、两位、三位……，小数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……；小数点向左移动一位、两位、三位……，小数就缩小到原来的十分之一、百分之一、千分之一……。例如，4.51去掉小数点（相当于向右移动两位）后得到的数是451，比原数扩大了100倍，即增加了99倍。【★易错警示】向左移动时，位数不够要补0。把一个数缩小10倍、100倍……，就是把这个数除以10、除以100……，也就是将小数点向左移动一位、两位……15。  （六）小数的近似数【难点】【易错点】  求小数的近似数同样使用“四舍五入”法。根据要求保留到某一位，就要看这一位的后一位上的数字。例如，保留一位小数（精确到十分位），就要看百分位上的数；保留两位小数（精确到百分位），就要看千分位上的数。在表示近似数时，小数末尾的0起着标明精确度的作用，绝对不能去掉。例如，6.0表示精确到十分位，取值范围是5.95到6.04；而6表示精确到个位，取值范围是5.5到6.4，二者精确度相差很大125。  三、分数与百分数：把握率与量的双重维度【核心】  （一）分数的意义与分数单位【基础】【高频考点】  分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。理解分数的意义，关键在于“平均分”。分数既可以表示一个具体的数量（如34米），也可以表示两个量之间的比率关系（如用去全长的34）17。  分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫作分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。例如，58的分数单位是18，它含有5个这样的分数单位。【★重点提示】分母不同的分数，分数单位不同。分母越大，分数单位越小12。  分数与除法的关系：被除数÷除数=被除数除数，用字母表示为a÷b=ab（b≠0）。这一关系揭示了分数与除法的内在联系，即分数可以看作两个数相除的商。在解决问题时，要特别注意区分“具体数量”和“分率”。例如，把一根3米长的绳子平均分成5段，每段长35米（具体数量），每段占全长的15（分率）127。  （二）分数的分类【基础】  根据分子与分母的大小关系，分数可分为真分数和假分数。真分数是分子比分母小的分数，真分数小于1。假分数是分子比分母大或分子与分母相等的分数，假分数大于或等于1。假分数可以化成带分数或整数，带分数由整数部分和真分数部分合成，如123，它大于117。  （三）分数的基本性质与约分、通分【核心】【必考】  分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这是约分和通分的理论依据。应用这一性质，分数的大小虽然不变，但分数单位却发生了变化147。  约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。约分时，通常要约成最简分数（分子和分母只有公因数1的分数）。例如，把2436约分后是231。  通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。通分时，通常用两个分母的最小公倍数作公分母。例如，比较34和56的大小，先通分得912和1012，因为912＜1012，所以34＜561。  （四）倒数【基础】  乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。求一个数（0除外）的倒数，只需把这个数的分子和分母调换位置。对于整数，可以将其看作分母为1的分数来求。例如，4和0.25互为倒数，因为4×0.25=112。  （五）百分数的意义与互化【高频考点】【热点】  百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数。百分数也叫百分率或百分比。它只表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，因此百分数后面不能带单位名称。百分数的分子可以是整数，也可以是小数，如113.2%1710。  百分数的读写：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。读作“百分之……”，如96%读作百分之九十六，113.2%读作百分之一百一十三点二110。  小数、分数、百分数的互化：【★重点掌握】  1.小数化分数：把小数写成分母是10、100、1000……的分数，再化简。  2.分数化小数：用分子除以分母（除不尽时通常按题目要求保留小数位数）。  3.小数化百分数：将小数点向右移动两位，再添上百分号。  4.百分数化小数：去掉百分号，再将小数点向左移动两位。  5.分数化百分数：先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再化成百分数。  6.百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，再化简17。  （六）分数、小数、百分数的大小比较【综合运用】  比较分数、小数、百分数的大小时，通常将它们统一化成同一类型的数（一般是都化成小数）再进行比较，既直观又不易出错。对于一些特殊数值，也可以借助中间数进行比较。例如，比较37、52%和47的大小，可以将37≈0.4286，47≈0.5714，52%=0.52，从而得出47＞52%＞371。  四、因数与倍数：探究数论的基础概念【难点】【易混淆】  （一）因数与倍数的意义【基础】  在整数除法中，如果a×b=c（a、b、c均为非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。因数与倍数是相互依存的关系，不能单独说一个数是因数或倍数。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数17。  （二）2、3、5的倍数的特征【高频考点】  2的倍数特征：个位上是0、2、4、6或8的数。  5的倍数特征：个位上是0或5的数。  3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。  既是2又是5的倍数的数，个位上必须是0。同时是2、3、5的倍数的数，必须同时满足个位是0且各位数字之和是3的倍数47。  （三）奇数与偶数、质数与合数【核心概念】  奇数与偶数：是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。最小的偶数是0，最小的奇数是1。  质数与合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。2是唯一的偶质数47。  （四）最大公因数与最小公倍数【必考】【应用】  最大公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个叫作它们的最大公因数。求两个数的最大公因数，常用列举法、筛选法或短除法。当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；当两个数互质（只有公因数1）时，它们的最大公因数是147。  最小公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作它们的最小公倍数。求两个数的最小公倍数，常用列举法、筛选法或短除法。当两个数是倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数；当两个数互质时，它们的乘积是它们的最小公倍数【★应用举例】解决“把两根绳子剪成同样长的小段，每段最长是多少”的问题，实质上是求两个长度的最大公因数。解决“既可以做成边长18cm，又可以做成边长30cm的手帕都没有剩余，求布料边长至少是多少”的问题，实质上是求两个数的最小公倍数27。  五、综合思想方法与考点剖析【核心素养】  （一）数形结合——数轴上的数  数轴是表示数的直观工具。所有的数都可以在数轴上找到对应的点。在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序。正数在0的右边，负数在0的左边。通过在数轴上表示数，可以直观理解数的顺序、大小比较以及绝对值的几何意义。例如，在直线上表示3，0，1，3.5，5等数，需要先确定原点、正方向和单位长度4。  （二）转化思想——数与数之间的内在联系  小数、分数、百分数之间可以相互转化，这体现了数学中的转化思想。理解“小数是十进分数的另一种形式”、“百分数是特殊的分数”等本质联系，有助于构建完整的知识体系。例如，在比较37、52%和47的大小时，将其统一化为小数再比较，就是转化思想的体现1。  （三）分类讨论思想——数的分类  对数的分类需要严谨和周全。例如，在对整数进行分类时，可以按照不同的标准进行分类：按二分法分为正数、0、负数；按数论性质分为奇数和偶数；按因数个数分为质数、合数和1。这种分类训练有助于培养学生思维的清晰性和严密性47。  （四）常见题型与解题策略【应考指南】  1.概念辨析题：通常以判断或选择的形式出现，考查对核心概念精确理解的程度。如“3.5与3.50大小相等，意义相同吗？”“所有的假分数都大于1吗？”【应对策略】吃透概念的内涵与外延，特别关注概念中的限制条件，如“相邻”计数单位、“末尾”添0或去0、“平均分”等58。  2.数的组成与读写题：给出数的组成描述或数位上的数字，要求写数或读数。如“由8个亿，8个千万，7个万，6个千，5个百组成的数是多少？”【应对策略】熟练掌握数位顺序表，明确每个数位上的数字表示的意义，注意0的占位和读法28。  3.数的改写与求近似数题：要求将大数改写成用“万”或“亿”作单位的数，或求近似数。如“把改写成用‘亿’作单位的数后，保留两位小数是多少？”【应对策略】先分级，找准万位或亿位；改写时去0加字或点小数点去0加字；求近似数时看准尾数的最高位，用四舍五入法，注意≈的使用210。  4.大小比较题：形式多样，可以是对几个数直接排序，也可以是寻找符合条件的数。如“在3.14，3.14，3.14%，π