高中数学选修一 导学案 2.3.1　 圆的标准方程

2.3.1圆的标准方程(教师独具内容)课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．教学重点：1.圆的标准方程的特点.2.用待定系数法求圆的标准方程．教学难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题．核心素养：1.通过探究圆的标准方程及点与圆的位置关系培养直观想象素养和逻辑推理素养.2.通过根据已知条件求圆的标准方程培养数学抽象素养和数学运算素养．知识点一圆的标准方程(1)圆的基本要素圆的基本要素是eq\x(\s\up1(01))圆心和eq\x(\s\up1(02))半径．(2)圆的标准方程一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是eq\x(\s\up1(03))|CM|＝r，即eq\x(\s\up1(04))eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)＝r，两边平方，得eq\x(\s\up1(05))(x－a)2＋(y－b)2＝r2，此式通常称为圆的标准方程．为了方便起见，我们称圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，指的是方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆．知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点M(x0，y0)在圆上|MC|eq\x(\s\up1(01))＝r(x0－a)2＋(y0－b)2eq\x(\s\up1(02))＝r2点M(x0，y0)在圆内|MC|eq\x(\s\up1(03))<r(x0－a)2＋(y0－b)2eq\x(\s\up1(04))<r2点M(x0，y0)在圆外|MC|eq\x(\s\up1(05))>r(x0－a)2＋(y0－b)2eq\x(\s\up1(06))>r21．(圆的标准方程)若圆的圆心坐标为(－1，3)，半径为eq\r(3)，则此圆的标准方程为________________________．答案：(x＋1)2＋(y－3)2＝32．(对圆的标准方程的理解)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝(－5)2，则圆的圆心坐标为________，半径为________．答案：(－2，2)53．(点与圆的位置关系)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1，0)与圆的位置关系是____________．答案：点A在圆上题型一对圆的标准方程的理解例1(1)已知一个圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1，0)，4 B．(－1，0)，2eq\r(2)C．(0，－1)，4 D．(0，－1)，2eq\r(2)[解析]根据题意，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，即(x－0)2＋[y－(－1)2]＝(2eq\r(2))2，其圆心为(0，－1)，半径为2eq\r(2).故选D.[答案]D(2)若方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是________________．[解析]由m2－m－2>0，得m>2或m<－1.[答案](－∞，－1)∪(2，＋∞)【感悟提升】几种特殊位置的圆的标准方程条件圆的标准方程过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)【跟踪训练】1．(1)(多选)下列说法错误的是()A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为bC．圆(x－eq\r(3))2＋(y＋eq\r(2))2＝2的圆心为(eq\r(3)，－eq\r(2))，半径为eq\r(2)D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为eq\r(5)答案：ABD解析：圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为eq\r(5)，A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为|b|，B错误；易知C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为eq\r(5)，D错误．故选ABD.(2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称答案：D解析：该圆的圆心(－a，a)在直线x＋y＝0上，故该圆关于直线x＋y＝0对称．故选D.题型二判断点与圆的位置关系例2已知点A(1，2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．[解]∵点A在圆C的内部，∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2且a≠0，∴2a＋5<0且a≠0，∴a<－eq\f(5,2)，∴实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2))).eq\a\vs4\al([条件探究])将本例改为：已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．解：解法一：由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－eq\f(5,2)，又a≠0，∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))∪(0，＋∞)．解法二：由例2知点A在圆C的内部时，a<－eq\f(5,2)，∴点A不在圆C的内部时，a≥－eq\f(5,2)，又a≠0，∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))∪(0，＋∞)．【感悟提升】1．判断点与圆的位置关系的方法(1)几何法：计算该点与圆心的距离，与半径作比较．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．【跟踪训练】2．若点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则实数a的取值范围为()A．[1，5] B．[2，5]C．[3，5] D．[4，5]答案：B解析：点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则点A(a，2)在该圆的内部或圆上，故(a－1)2＋(2＋1)2≤5a且a>0，解得2≤a≤5，故实数a的取值范围为[2，5]．故选B.题型三求圆的标准方程例3求过点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程．[解]解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（0－a）2＋（5－b）2＝r2，,（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－3－a）2＋（－4－b）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1，,r2＝25.))所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.解法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，又直线AB的斜率kAB＝eq\f(－2－5,1－0)＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－eq\f(3,2)＝eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0.同理，得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0，))得圆心的坐标为(－3，1)．又圆的半径r＝eq\r(（－3－0）2＋（1－5）2)＝5，所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.【感悟提升】求圆的标准方程的常用方法(1)直接法：求出圆心和半径，直接写出方程．(2)待定系数法：一般步骤为(3)几何法：确定圆心坐标和半径，常用到圆的以下几何性质：①弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心；③圆心与切点的连线长是半径；④圆心与切点的连线必与切线垂直．【跟踪训练】3．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解：解法一：如图所示，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝eq\r(|AC|2－|AO|2)＝eq\r(52－42)＝3.设点C的坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.解法二：由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点A(0，4)，代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.题型四与圆有关的最值问题例4(1)已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，求|AP|的最小值．[解]由于82＋(－6)2＝100>25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为eq\r(82＋（－6）2)－5＝10－5＝5.(2)已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)，求x2＋y2的最大值和最小值．[解]据题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，且1>eq\f(1,2)，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距离为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).因此x2＋y2的最大值和最小值分别为eq\f(9,4)和eq\f(1,4).eq\a\vs4\al([结论探究])在本例(2)条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？解：令t＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1，t表示圆上的点到点(1，0)的距离的平方减1，而圆心C(－1，0)，故t的最大值为eq\f(21,4)，最小值为eq\f(5,4).【感悟提升】与圆有关的最值问题已知点P(x，y)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)上，求圆上的点P到定点M(m，n)的距离d＝eq\r(（x－m）2＋（y－n）2)的最值问题的处理方法如下：(1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)的距离dMO.(2)根据圆的几何性质知：①当M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r；②当M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO.【跟踪训练】4．(1)已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值．解：将实数x，y看作点P(x，y)的坐标，满足(x－2)2＋y2＝3的点P(x，y)组成的图形是以M(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，(x2＋y2)min＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)，求eq\r(（x－2）2＋（y－3）2)的最大值和最小值．解：eq\r(（x－2）2＋（y－3）2)可以看成圆C：x2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)上的点P(x，y)到点A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到点A(2，3)的距离d＝eq\r(（0－2）2＋（1－3）2)＝2eq\r(2).由图可知，圆上的点P(x，y)到点A(2，3)的距离的最大值是2eq\r(2)＋eq\f(1,2)，最小值是2eq\r(2)－eq\f(1,2).题型五与圆有关的实际应用问题例5有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的原则是运费和价格的总费用最低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[解]以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设A(－5，0)，则B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km(a>0)，则从B地运货到P地的运费为a元/km.若P地居民选择从A地购买此商品，则2aeq\r(（x＋5）2＋y2)<aeq\r(（x－5）2＋y2)，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3)))eq\s\up12(2)＋y2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)))eq\s\up12(2)，即点P在圆C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)))eq\s\up12(2)的内部，也就是说，圆C内的居民应从A地购买此商品．同理可推得圆C外的居民应从B地购买此商品，圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购买此商品．【感悟提升】解与圆有关的实际应用问题的方法由于圆具有很好的对称性，在实际应用中，一般通过建立平面直角坐标系，把实际问题转化为圆的半径、弦长等问题来求解，最后不要忘记根据实际意义作答．建立平面直角坐标系时，注意根据垂径定理等找垂直关系．【跟踪训练】5．如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成．已知隧道总宽度AD为6eq\r(3)m，行车道总宽度BC为2eq\r(11)m，侧墙高EA，FD为2m，弧顶高MN为5m．以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1m为单位长度建立平面直角坐标系．(1)求圆弧所在的圆的标准方程；(2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？解：(1)解法一：由题意，有E(－3eq\r(3)，0)，F(3eq\r(3)，0)，M(0，3)．∵所求圆的圆心在y轴上，∴设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(b∈R，r>0)，∵F(3eq\r(3)，0)，M(0，3)都在圆上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3\r(3)）2＋b2＝r2，,02＋（3－b）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,r2＝36.))∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36.解法二：设所求圆的圆心为G，半径为r(r>0)，则点G在y轴上，在Rt△GOE中，|OE|＝3eq\r(3)，|GE|＝r，|OG|＝r－3，由勾股定理，得r2＝(3eq\r(3))2＋(r－3)2，解得r＝6，则圆心G的坐标为(0，－3)，∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36.(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h＋0.5.将点P的横坐标x＝eq\r(11)代入圆的方程，得(eq\r(11))2＋(y＋3)2＝36，得y＝2或y＝－8(舍去)．∴h＝|CP|－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．故车辆通过隧道的限制高度为3.5m.1．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，则圆心C与半径r分别为()A．C(1，－1)，r＝4 B．C(－1，1)，r＝4C．C(1，－1)，r＝2 D．C(－1，1)，r＝2答案：D解析：圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，即圆心C与半径r分别为C(－1，1)，r＝2.故选D.2．已知圆C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝12，则点A(1，6)在()A．圆内 B．圆上C．圆外 D．不确定答案：C解析：圆心为(－1，3)，半径为eq\r(12)＝2eq\r(3)，因为eq\r(（1＋1）2＋（6－3）2)＝eq\r(13)>2eq\r(3)，所以A(1，6)在圆外．故选C.3．已知点P(2，2)，点M是圆O：x2＋(y－1)2＝1上的动点，则|PM|的最大值是()A.eq\r(5)－1 B．3－eq\r(5)C．2－eq\r(5) D.eq\r(5)＋1答案：D解析：因为22＋(2－1)2＝5>1，所以点P为圆外一点，易知圆心为O(0，1)，半径为r＝1，所以|PO|＝eq\r(（2－0）2＋（2－1）2)＝eq\r(5)，则|PM|的最大值为|PO|＋r＝eq\r(5)＋1.4．(多选)已知圆C过点A(1，4)，B(3，2)，且圆心C在直线y＝0上，则()A．圆心坐标为C(－1，0)B．半径r＝5C．点M1(2，3)在圆内D．点M2(2，4)在圆外答案：ACD解析：因为圆C过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为(2，3)，故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝0))的解，即圆心坐标为C(－1，0)，A正确；半径r＝eq\r(（－1－1）2＋（0－4）2)＝2eq\r(5)，B错误；圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20，点M1(2，3)到圆心的距离为eq\r(（2＋1）2＋（3－0）2)＝3eq\r(2)<r，所以点M1在圆内，C正确；点M2(2，4)到圆心的距离为eq\r(（2＋1）2＋（4－0）2)＝5>r，所以点M2在圆外，D正确．故选ACD.5．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．答案：2解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点判断含参数的点与圆的位置关系已知圆心位置求参数已知圆上两点及圆心位置求圆的标准方程直接法求动点的轨迹方程；圆外一点与圆上一点距离的最值已知圆上两点及圆心到直线的距离求圆的标准方程已知两圆关于直线对称求对称圆的标准方程利用点与圆的位置关系求圆的标准方程题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点已知直径两端点求圆的标准方程；已知圆上两点及圆心位置求圆的标准方程已知圆上两点及圆心位置求圆的标准方程；已知圆上一点及圆心求圆的标准方程已知圆上一点及含参数的圆心求圆的标准方程；面积的最值问题圆外一点与圆上一点距离的最值求菱形的内切圆的标准方程圆外一点与圆上一点距离的最值求圆弧的方程；利用函数的单调性求最值一、选择题1．点P(a，10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是()A．在圆外 B．在圆上C．在圆内 D．与a的值有关答案：A解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心C(1，1)，半径r＝eq\r(2)，因为|PC|＝eq\r(（a－1）2＋（10－1）2)＝eq\r(（a－1）2＋81)>eq\r(2)，所以点P(a，10)在圆外．故选A.2．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．－eq\f(1,2) B．0C.eq\f(1,2) D．1答案：C解析：圆(x－a)2＋y2＝1的圆心坐标为(a，0)，因为直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，所以直线2x＋y－1＝0过点(a，0)，所以2a＋0－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).故选C.3．过点A(－6，2)，B(2，－2)且圆心在直线x－y＋1＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y－2)2＝25B．(x＋3)2＋(y＋2)2＝25C．(x－3)2＋(y－2)2＝5D．(x＋3)2＋(y＋2)2＝5答案：B解析：由题设，AB的中点坐标为(－2，0)，且kAB＝eq\f(－2－2,2－（－6）)＝－eq\f(1,2)，∴线段AB的垂直平分线的方程为y＝2(x＋2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2（x＋2），,x－y＋1＝0，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))即圆心为(－3，－2)，而r＝eq\r([2－（－3）]2＋[－2－（－2）]2)＝5，∴所求圆的方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.故选B.4．正方形ABCD与点P在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且|PA|2＋|PB|2＝|PC|2，则|PD|的最大值为()A．2＋eq\r(2) B．2eq\r(2)C．1＋eq\r(2) D．2＋2eq\r(2)答案：A解析：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)．设P(x，y)，根据题意，x2＋y2＋(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋(y－1)2，即x2＋(y＋1)2＝2，于是点P在以M(0，－1)为圆心，eq\r(2)为半径的圆上，因此|PD|的最大值为2＋eq\r(2).故选A.5．(多选)已知圆C经过点A(1，4)，B(3，－2)，圆心C到直线AB的距离为eq\r(10)，则圆C的方程为()A．(x－1)2＋y2＝20B．(x＋1)2＋y2＝20C．(x＋5)2＋(y＋2)2＝20D．(x－5)2＋(y－2)2＝20答案：BD解析：设圆心C(a，b)，半径为r，易得线段AB的中点为M(2，1)．因为CM⊥AB，kAB＝eq\f(－2－4,3－1)＝－3，所以kCM＝eq\f(b－1,a－2)＝eq\f(1,3)，即3b＝a＋1①，又因为|CM|＝eq\r(10)，所以(a－2)2＋(b－1)2＝10②，联立①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝2，))即C(－1，0)或C(5，2)，所以r2＝|CA|2＝20，故圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20.故选BD.二、填空题6．圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于直线y＝x对称的圆C2的标准方程为________．答案：(x＋1)2＋(y－2)2＝5解析：由题意知，圆C1的圆心为C1(2，－1)，半径为r＝eq\r(5)，设C2(a，b)，由圆C2与圆C1关于直线y＝x对称，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a－2)×1＝－1，,\f(b－1,2)＝\f(a＋2,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，))所以圆C2的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.7．已知圆M的圆心坐标为(3，4)，且A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为______________．答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25解析：∵|MA|＝eq\r(（－1－3）2＋（1－4）2)＝5，|MB|＝eq\r(（1－3）2＋（0－4）2)＝2eq\r(5)，|MC|＝eq\r(（－2－3）2＋（3－4）2)＝eq\r(26)，∴|MB|<|MA|<|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.8．已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，则周长最小的圆的方程为____________，圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程为____________．答案：x2＋(y－1)2＝10(x－3)2＋(y－2)2＝20解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径为eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(10)，则周长最小的圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－1－a）2＋（4－b）2＝r2，,2a－b－4＝0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.))所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.三、解答题9．分别求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点A(3，2)，B(2，3)，圆心在x轴上；(2)经过直线x＋2y＋3＝0与x－2y＋3＝0的交点，圆心为点C(－2，1)．解：(1)设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3－a）2＋4＝r2，,（2－a）2＋9＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,r2＝13，))所以圆的标准方程为x2＋y2＝13.(2)联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋3＝0，,x－2y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝0，))所以交点为(－3，0)，则圆的半径为eq\r(（－3＋2）2＋（0－1）2)＝eq\r(2)，所以圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2.10．已知圆C的圆心坐标为(x0，x0)，且过点P(4，2)．(1)求圆C的标准方程(用含x0的方程表示)；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程．解：(1)由题意，设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r>0)．∵圆C过点P(4，2)，∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2，∴r2＝2xeq\o\al(2,0)－12x0＋20，∴圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2xeq\o\al(2,0)－12x0＋20.(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2xeq\o\al(2,0)－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小，此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.11．已知点P1(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上，点P2(x2，y2)在函数y＝eq\f(1,x)的图象上，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为()A.eq\r(2)－1 B．3－2eq\r(2)C．2eq\r(2)－1 D．4－2eq\r(3)答案：B解析：(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值就是函数y＝eq\f(1,x)图象上的点到圆x2＋y2＝1上点的最小距离的平方，如图．由对称性，不妨设P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))(x0>0)，则|P1O|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋\f(1,xeq\o\al(2,0)))≥eq\r(2)，当且仅当x0＝1时，等号成立，即当点P1的坐标为(1，1)时，点P1距离圆心O最近，即(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(eq\r(2)－1)2＝3－2eq\r(2).故选B.12．如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，边长为2，一边在x轴的正半轴上，∠BOD＝60°，则菱形内切圆的标准方程为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)解析：如图，连接OC，BD，则OC，BD把菱形分为4个全等的三角形，故菱形对角线的交点到菱形四条边的距离相等，所以菱形对角线的交点即为内切圆的圆心，交点到一条边的距离即为内切圆的半径．设对角线OC，BD相交于点M，又菱形的对角线互相垂直，∠BOD＝60°，所以在Rt△OMB中，∠BOM＝30°，|OB|＝2，所以|OM|＝2×cos30°＝eq\r(3).设M(x0，y0)，则y0＝|OM|sin30°＝eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)，x0＝|OM|·cos30°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，所以圆心Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，半径r＝eq\f(\r(3),2)，所以菱形内切圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4).13．点P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9，0)的对称点为Q，O