高中数学选修一 导学案 2.3.4　 圆与圆的位置关系

2.3.4圆与圆的位置关系(教师独具内容)课程标准：能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系．教学重点：圆与圆的五种位置关系及其判定方法．教学难点：用坐标法探求圆与圆的位置关系的过程．核心素养：通过根据给定的两圆的方程判断圆与圆的位置关系及利用圆与圆的位置关系解决一些简单问题培养直观想象素养、数学抽象素养和数学运算素养．知识点一圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为eq\x(\s\up1(01))外离、eq\x(\s\up1(02))外切、eq\x(\s\up1(03))相交、eq\x(\s\up1(04))内切、eq\x(\s\up1(05))内含．知识点二圆与圆位置关系的判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系图示d与r1，r2的关系外离d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2内切d＝|r1－r2|内含d<|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含[点拨](1)圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆与圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．[拓展]两圆的公切线两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线．两圆的公切线有如图所示的五种情况：(1)外离时，有4条公切线；(2)外切时，有3条公切线；(3)相交时，有2条公切线；(4)内切时，有1条公切线；(5)内含时，无公切线．1．(圆与圆内切)圆O1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是()A．外离 B．内含C．外切 D．内切答案：D2．(圆与圆外离)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与圆C2的位置关系是()A．内含 B．相交C．外切 D．外离答案：D3．(圆与圆外切)两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r＝()A.eq\r(5) B．5C.eq\f(\r(5),2) D．2eq\r(5)答案：C4．(圆与圆相交)已知两圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0和C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为________．答案：2x＋1＝0题型一圆与圆位置关系的判定例1已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程经配方后，得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝eq\r(（a－2a）2＋（1－1）2)＝a.(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交．(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．(4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含．【感悟提升】判断两圆位置关系的方法(1)几何法：判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)代数法：判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果．【跟踪训练】1．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1与圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1与圆C2内含？解：(1)当m＝1时，圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，则C1(1，－2)，半径r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，则C2(－1，0)，半径r2＝1，∴两圆的圆心距d＝eq\r(（1＋1）2＋（－2－0）2)＝2eq\r(2)，又r1＋r2＝4，r1－r2＝2，∴r1－r2<d<r1＋r2，故圆C1与圆C2相交．(2)不存在．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，则C1(m，－2)，半径r1＝3，而C2(－1，0)，半径r2＝1.假设存在实数m，使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d＝eq\r(（m＋1）2＋（－2－0）2)<3－1，即(m＋1)2<0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1与圆C2内含．题型二两圆相交的公共弦问题例2求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解]联立两圆的方程得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))所以|AB|＝eq\r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(5)，即公共弦长为2eq\r(5).解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5eq\r(2)，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq\f(|1－2×（－5）＋4|,\r(12＋（－2）2))＝3eq\r(5).设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3eq\r(5))2＋l2，解得l＝eq\r(5)，故公共弦长2l＝2eq\r(5).【感悟提升】1．两圆相交时，公共弦所在直线的方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，在一个圆中利用圆的半径、弦长的一半、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．【跟踪训练】2．已知圆C的圆心为(2，1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．解：设圆C的半径为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以5＋2×(－2)－5＋r2＝0，解得r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.题型三圆系方程问题例3求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0与圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．[解]解法一：联立两圆的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－12x－2y－13＝0，,x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，))相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－2＝0，,x2＋y2－12x－2y－13＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－6，))即两圆的交点坐标分别为(－1，2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径为eq\f(1,2)eq\r(（5＋1）2＋（－6－2）2)＝5.∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.解法二：由解法一可知，公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.设圆C的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)，可求得圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－6λ,1＋λ)，\f(1－8λ,1＋λ))).∵圆心C在公共弦所在直线上，∴4·eq\f(6－6λ,1＋λ)＋3·eq\f(1－8λ,1＋λ)－2＝0，解得λ＝eq\f(1,2).∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.【感悟提升】圆系方程(1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2x＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆圆心连线垂直的直线．(2)过直线与圆交点的圆系方程设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程．【跟踪训练】3．求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：(1)过原点；(2)面积最小．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.(1)∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0，∴λ＝－eq\f(1,4)，故所求圆的方程为x2＋y2＋eq\f(3,2)x－eq\f(17,4)y＝0.(2)将圆系方程化为标准方程得(x＋1＋λ)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(λ－4,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(8,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4,5).要使其面积最小，则圆的半径取最小值，此时λ＝eq\f(8,5).故所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(13,5)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(6,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,5).1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的位置关系是()A．相交 B．相切C．外离 D．不确定答案：C解析：圆C1：x2＋y2＝1的半径r1＝1，圆心C1(0，0)，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝4的半径r2＝2，圆心C2(3，4)，两圆心的距离d＝eq\r(32＋42)＝5，因为d>r1＋r2，所以两圆外离．故选C.2．圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2与圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的公切线共有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条答案：C解析：圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2，圆心为O1(1，－1)，半径r＝eq\r(2)，圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2，圆心为O2(－1，1)，半径R＝eq\r(2)，∵两圆心距离为|O1O2|＝eq\r(（－1－1）2＋（1＋1）2)＝2eq\r(2)＝r＋R，∴两圆外切，有3条公切线．故选C.3．(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有()A．公共弦AB所在直线的方程为x＋y＝0B．线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0C．公共弦AB的长为eq\f(\r(2),2)D．若P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为eq\f(\r(2),2)＋1答案：BD解析：圆O1：(x－1)2＋y2＝1的圆心为O1(1，0)，半径r1＝1，圆O2：(x＋1)2＋(y－2)2＝5的圆心为O2(－1，2)，半径r2＝eq\r(5)，显然|O1O2|＝2eq\r(2)∈(r2－r1，r2＋r1)，即圆O1与圆O2相交．对于A，将方程x2＋y2－2x＝0与x2＋y2＋2x－4y＝0相减，得公共弦AB所在直线的方程为4x－4y＝0，即x－y＝0，A错误；对于B，由A知，线段AB的斜率kAB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为－1，而线段AB的垂直平分线过点O1(1，0)，于是线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝－1×(x－1)，即x＋y－1＝0，B正确；对于C，点O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝eq\f(|1－0|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2)，因此|AB|＝2eq\r(req\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，C错误；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝eq\f(\r(2),2)，因此点P到直线AB距离的最大值为d＋r1＝eq\f(\r(2),2)＋1，D正确．故选BD.4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2＋25(r∈N＋)，M(－1，0)，N(1，0)，若以线段MN为直径的圆与圆C有公共点，则r的值可能为________．(写出一个即可)答案：1(答案不唯一)解析：由题意得，圆x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2＋25有公共点，∴eq\r(r2＋25)－1≤eq\r(32＋42)≤eq\r(r2＋25)＋1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(r2＋25)≥4，,\r(r2＋25)≤6，))且r>0，解得0<r≤eq\r(11)，又r∈N＋，故r＝1，2，3均可．5．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为__________，最大值为________．答案：15解析：如图，x轴与圆O交于P1，P2，与圆C交于Q1，Q2，当P在P1处，Q在Q1处时，|PQ|最小，为|P1Q1|＝|OC|－1－1＝1.当P在P2处，Q在Q2处时，|PQ|最大，为|P2Q2|＝|OC|＋1＋1＝5.课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点判断圆与圆的位置关系由两圆的位置关系求参数求公共弦长由直线与圆、圆与圆的位置关系求圆的方程判断圆与圆的位置关系；公共弦所在直线的方程求公切线条数由两圆相交的公共弦过定点求参数题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点公共弦所在直线的方程；两点间距离公式证明两圆相交；公共弦所在直线的方程；求圆的方程由两圆的位置关系求参数的取值范围；求公切线的方程由两圆的位置关系求参数的取值范围由两圆的位置关系求最值由两圆的位置关系求圆的标准方程；直线与圆相交问题由两圆的位置关系求圆的方程；存在性问题一、选择题1．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系为()A．相交 B．外切 C．内切 D．内含答案：B解析：由圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，得圆心为(2，3)，半径r1＝2，由圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，得圆心为(－1，－1)，半径r2＝3，则两圆的圆心距为eq\r(（2＋1）2＋（3＋1）2)＝5＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切．故选B.2．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x＋a)2＋(y＋2)2＝9外切，则a＝()A．±eq\r(15) B．±eq\r(17)C．±eq\r(21) D．±eq\r(23)答案：C解析：由圆C1与圆C2外切，可得eq\r(a2＋4)＝2＋3＝5，即a2＝21，a＝±eq\r(21).故选C.3．圆O1：x2＋y2＝4与圆O2：(x－2)2＋(y＋2)2＝20相交，则公共弦长为()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C.eq\r(5) D．2eq\r(5)答案：B解析：圆O2：(x－2)2＋(y＋2)2＝20，即x2＋y2－4x＋4y－12＝0，两圆方程相减可得公共弦的方程为x－y＋2＝0，圆心O1(0，0)到公共弦的距离为eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，所以公共弦长为2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).故选B.4．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2B．(x－2)2＋(y－2)2＝2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝1答案：B解析：将已知圆的方程化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝eq\f(|6＋6－2|,\r(2))＝5eq\r(2).过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为eq\f(5\r(2)－3\r(2),2)＝eq\r(2)，则圆C2的半径为eq\r(2).设C2的坐标为(x0，x0)，则eq\f(|x0＋x0－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心C2的坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.故选B.5．(多选)已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝16，则下列说法正确的是()A．若r＝1，则两圆外切B．若r＝1，直线x＝－1为两圆的公切线C．若r＝2，则两圆的公共弦所在的直线的方程为6x＋8y＋5＝0D．若r∈(0，1)，则两圆外离答案：ABD解析：若r＝1，则两圆的圆心距为d＝eq\r(32＋42)＝5＝4＋1，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故A正确；若r＝1，则两圆的圆心到直线x＝－1的距离分别为|0＋1|＝1＝r，|3＋1|＝4，即两圆的圆心到直线x＝－1的距离分别为圆的半径，故B正确；若r＝2，则圆O：x2＋y2＝4，圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝16，两式相减，得两圆的公共弦所在的直线的方程为6x＋8y－13＝0，故C错误；两圆的圆心距为eq\r(（0－3）2＋（0－4）2)＝5，因为两圆外离，所以r＋4<5，即0<r<1，故D正确．故选ABD.二、填空题6．圆C1：x2＋y2－2x＋4y－4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x－16y＋31＝0的公切线条数为________．答案：4解析：因为圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝eq\f(1,4)，所以圆心距d＝|C1C2|＝eq\r(（1－2）2＋（－2－2）2)＝eq\r(17)，而两圆的半径之和为3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)<eq\r(17)，故两圆相离，则这两个圆的公切线有4条．7．已知圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0，圆C2：x2＋y2－mx－ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则m＋n＝________．答案：4解析：圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心为C1(1，1)，半径为r＝eq\r(2)，将两圆方程作差可得(m－2)x＋(n－2)y＝0，因为圆C2平分圆C1的周长，则这两圆相交，且公共弦所在直线的方程为(m－2)x＋(n－2)y＝0，由题意可知，直线(m－2)x＋(n－2)y＝0过圆心C1(1，1)，所以m－2＋n－2＝0，解得m＋n＝4.8．已知圆C1：x2＋y2－4kx＋2y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过点P，则点P的坐标为________，|PC1|2＋|PC2|2的最小值为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))eq\f(7,10)解析：由圆C1：x2＋y2－4kx＋2y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋2ky－1＝0，可得两圆公共弦所在直线的方程为2kx－y＋ky－1＝0，即k(2x＋y)＋(－y－1)＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－1，))所以点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1)).又C1(2k，－1)，C2(0，－k)，则|PC1|2＋|PC2|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(－1＋k)2＝5k2－4k＋eq\f(3,2)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(2,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,10)，所以当k＝eq\f(2,5)时，|PC1|2＋|PC2|2取得最小值，为eq\f(7,10)，经检验，当k＝eq\f(2,5)时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意．三、解答题9．已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.(1)求证：圆C1与圆C2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x＋y－6＝0上的圆的方程．解：(1)证明：圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝16，∴C2(－1，－1)，r＝4.∵圆C1：x2＋y2＝10的圆心坐标为(0，0)，半径为R＝eq\r(10)，∴|C1C2|＝eq\r(2)，∵4－eq\r(10)<eq\r(2)<4＋eq\r(10)，∴圆C1与圆C2相交．(2)将两圆方程相减，可得2x＋2y－4＝0，即两圆公共弦所在直线的方程为x＋y－2＝0.(3)设所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋2y－14＋λ(x2＋y2－10)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋2x＋2y－14－10λ＝0，∴圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,1＋λ)，－\f(1,1＋λ)))，代入直线x＋y－6＝0可得，－eq\f(1,1＋λ)－eq\f(1,1＋λ)－6＝0，∴λ＝－eq\f(4,3)，∴所求圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋2＝0.10．已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝16.(1)若圆O与圆C有两个不同的交点，求r的取值范围；(2)若r＝1，求圆O与圆C的公切线方程．解：(1)圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为O(0，0)，半径为r，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝16的圆心为C(4，3)，半径为4，由圆O与圆C有两个不同的交点，得|r－4|<|OC|<r＋4，而|OC|＝5，因此|r－4|<5<r＋4，解得1<r<9，所以r的取值范围是1<r<9.(2)当r＝1时，|OC|＝r＋4，即圆O与圆C外切，所以圆O与圆C有3条公切线，如图所示，显然切线l，l1，l2的斜率存在，设方程为y＝kx＋t，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|t|,\r(k2＋1))＝1，,\f(|4k－3＋t|,\r(k2＋1))＝4，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(k2＋1)＝|t|，,－5t＝4k－3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(k2＋1)＝|t|，,3t＝4k－3，))解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(k2＋1)＝|t|，,－5t＝4k－3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(4,3)，,t＝\f(5,3)，))解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(k2＋1)＝|t|，,3t＝4k－3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0，,t＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(24,7)，,t＝\f(25,7)，))公切线l的方程为y＝－eq\f(4,3)x＋eq\f(5,3)，即4x＋3y－5＝0；公切线l1的方程为y＝－1；l2的方程为y＝eq\f(24,7)x＋eq\f(25,7)，即24x－7y＋25＝0，所以圆O与圆C的公切线方程为4x＋3y－5＝0，y＝－1，24x－7y＋25＝0.11．A，B是圆C1：(x－2)2＋(y－m)2＝4上两点，|AB|＝2eq\r(3)，若在圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝9上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为()A．[－5，－3]∪[1，3]B．[－4，－2]∪[2，4]C．[1，3]D．[－5，3]答案：A解析：圆C1：(x－2)2＋(y－m)2＝4，圆心C1(2，m)，半径r1＝2，圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝9，圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，由P是弦AB的中点，且|AB|＝2eq\r(3)，则C1P⊥AB，所以|C1P|＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，故点P在以C1(2，m)为圆心，r＝1为半径的圆上．又在圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝9上存在点P恰为线段AB的中点，则两圆有公共点，可得r2－r≤|C1C2|≤r2＋r，即2≤|m＋1|≤4，解得－5≤m≤－3或1≤m≤3，则实数m的取值范围为[－5，－3]∪[1，3]．故选A.12．已知点P是圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的动点，直线l：x－y－3＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥eq\f(π,2)恒成立，则线段AB长度的最小值为________．答案：6eq\r(2)解析：由圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0，得圆心C(1，2)，半径r＝eq\r(2).因为直线l：x－y－3＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥eq\f(π,2)恒成立，则以AB为直径的圆包含圆C，当AB的长度最小时，两圆内切，设AB的中点为E，则此时CE⊥AB，所以|AB|＝2(|CE|＋r)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|1－2－3|,\r(2))＋\r(2)))＝6eq\r(2).13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程．解：圆M的标准方程为(x－6