高考数学一轮复习 讲义 微专题（9） 与球有关的切、接、截面问题

研究与球有关的切、接、截面问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心．常以选择题、填空题的形式出现，考查球的体积、表面积，以及截面形状、面积等．类型一外接球(多角度探究)角度1外接球的长方体模型(1)(2026·山东青岛模拟)在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝eq\r(3)，PA，PB，PC两两垂直，则三棱锥P－ABC外接球的体积为()A.eq\f(3π,2) B.eq\f(9π,2)C.eq\f(15π,2) D．9π答案：B解析：由于PA＝PB＝PC，PA，PB，PC两两垂直，将该三棱锥放入正方体中，如图，故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故该三棱锥外接球的半径R＝eq\f(\r(PA2＋PB2＋PC2),2)＝eq\f(\r(3),2)PA＝eq\f(3,2)，所以外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(9π,2).故选B.(2)如图，在四面体P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则四面体P－ABC外接球的表面积为()A．3π B．9πC．36π D．48π答案：B解析：将四面体P－ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2，1，2，四面体P－ABC的外接球即为长方体的外接球，而长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为R，故2R＝eq\r(22＋12＋22)＝3，所以四面体P－ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝9π.故选B.(3)已知三棱锥A－BCD，三组对棱两两相等，且AB＝CD＝1，AD＝BC＝eq\r(3)，若三棱锥A－BCD外接球的表面积为eq\f(9π,2)，则AC＝________．答案：eq\r(5)解析：根据题意可将三棱锥A－BCD放置于长方体中，如图，则长方体的外接球就是三棱锥A－BCD的外接球，设AC＝BD＝x，∵AB＝CD＝1，AD＝BC＝eq\r(3)，且三组对棱两两相等，∴长方体的体对角线长为eq\r(\f(1,2)[12＋（\r(3)）2＋x2])＝eq\r(\f(1,2)（4＋x2）)，可得外接球的直径2R＝eq\r(\f(1,2)（4＋x2）)，∴半径R＝eq\f(\r(2（4＋x2）),4).∵三棱锥A－BCD外接球的表面积为eq\f(9π,2)，∴4πR2＝eq\f(9π,2)，解得R＝eq\f(3\r(2),4)，即eq\f(\r(2（4＋x2）),4)＝eq\f(3\r(2),4)，解得x＝eq\r(5)(负值舍去)，因此AC＝BD＝eq\r(5).可以补成长方体的三大模型(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两垂直，如图1.(2)(鳖臑模型)三棱锥的四个面均是直角三角形，如图2.(3)(对棱相等模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图3.1.(2026·福建漳州模拟)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则三棱锥A－BCD外接球的体积为()A.eq\r(6)π B．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)π D．4eq\r(6)π答案：A解析：设AB，AC，AD的长分别为a，b，c，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,bc＝\r(3)，,ca＝\r(6)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝1，,c＝\r(3)，))因为三条侧棱两两垂直，所以以a，b，c为棱长的长方体的体对角线长就是该三棱锥外接球的直径，所以R＝eq\f(1,2)×eq\r(2＋1＋3)＝eq\f(\r(6),2)，故所求外接球的体积为eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\r(6)π.故选A.2．在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，PB＝AC＝eq\r(41)，PC＝AB＝eq\r(34)，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是()A．50π B．100πC．150π D．200π答案：A解析：因为PA＝BC＝5，PB＝AC＝eq\r(41)，PC＝AB＝eq\r(34)，所以可以将三棱锥P－ABC放置于一个长方体中，如图所示．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝41，,a2＋c2＝25，,b2＋c2＝34，))整理得a2＋b2＋c2＝50，则该三棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，所以有a2＋b2＋c2＝50＝(2R)2⇒R2＝eq\f(25,2)，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝4×π×eq\f(25,2)＝50π.故选A.角度2外接球的圆柱模型(1)(2026·安徽亳州模拟)已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为eq\f(20\r(5)π,3)的球面上，则该圆柱的侧面积为()A．8π B．6πC．5π D．4π答案：A解析：球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(20\r(5)π,3)，可得其半径R＝eq\r(5)，圆柱的底面直径为2，半径为r＝1，在轴截面中，可知圆柱的高为h＝2eq\r(R2－r2)＝4，所以该圆柱的侧面积为2πrh＝8π.故选A.(2)(2026·云南昆明模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的高为4，正三棱锥P－ABC的高为2，若点P，A，B，C，A1，B1，C1均在同一个球面上，则△ABC的边长为()A．2 B．2eq\r(3)C．6 D．6eq\r(3)答案：C解析：正三棱柱ABC－A1B1C1的高为4，正三棱锥P－ABC的高为2，且点P，A，B，C，A1，B1，C1均在同一个球面上，则点P在三棱柱的外部，如图所示，设等边三角形ABC的边长为a，取正三棱柱ABC－A1B1C1上、下底面的中心分别为O1，O2，再取O1O2的中点O，则O为外接球的球心，连接PO1，O1O2，则P，O1，O2三点在一条线上，且PO1＝2，O1O2＝4，设外接球的半径为R，则R＝PO1＋O1O＝4，在等边三角形ABC中，由O1为中心，可得AO1＝eq\f(\r(3),3)a，在直角三角形AO1O中，可得AO2＝AOeq\o\al(2,1)＋O1O2，即42＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋22，解得a＝6，即△ABC的边长为6.故选C.如图1，圆柱的底面半径r，高h和球的半径R满足r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up12(2)＝R2，除了标准的圆柱模型外，还有一些模型也可转化为圆柱模型处理．(1)线面垂直的三棱锥：如图2，SA⊥平面ABC，若△ABC是直角三角形，则按长方体模型处理最方便，若不是直角三角形，则可先将三棱锥S－ABC放入圆柱，按圆柱模型处理．(2)直三棱柱：如图3所示的直三棱柱也可按圆柱模型处理，本质上和图2的模型相同．3.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝4，∠BAC＝eq\f(2π,3)，则球O的表面积为()A．16π B．20πC．28π D．32π答案：B解析：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，且∠BAC＝eq\f(2π,3)，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝1＋1－2×1×1×coseq\f(2π,3)＝3，所以BC＝eq\r(3)，设上底面三角形A1B1C1外接圆的圆心为O2，下底面三角形ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，由正弦定理，得2r＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝2，即O1A＝1，再设直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的球心为O，半径为R，在直角三角形OO1A中，可得R＝eq\r(O1A2＋OOeq\o\al(2,1))＝eq\r(O1A2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(O1O2,2)))\s\up12(2))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×(eq\r(5))2＝20π.故选B.4．(2026·四川眉山模拟)已知在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝eq\r(3)，∠BAC＝30°，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为________．答案：16π解析：如图1所示，设圆柱的底面半径为r，母线长为h，圆柱外接球的半径为R，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R，则O为圆柱外接球的球心，由勾股定理可得(2r)2＋h2＝(2R)2.∵SA⊥平面ABC，设△ABC的外接圆为圆O1，∴可将三棱锥S－ABC内接于圆柱O1O2，如图2所示，设△ABC外接圆的直径为2r，SA＝h＝2，又BC＝eq\r(3)，∠BAC＝30°，由正弦定理可得2r＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝2eq\r(3)，该三棱锥外接球的直径为2R，则2R＝eq\r(（2r）2＋h2)＝4.因此三棱锥S－ABC外接球的表面积为4πR2＝π×(2R)2＝16π.角度3外接球的圆锥模型(1)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为eq\f(32π,3)，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为()A．3π B．4πC．9π D．12π答案：B解析：如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，设球的半径为R，则eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为CD⊥AB，则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，所以∠CAD＝∠BCD，又因为∠ADC＝∠BDC，所以△ACD∽△CBD，所以eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BD)，所以CD＝eq\r(AD·BD)＝eq\r(3)，因此这两个圆锥的体积之和为eq\f(1,3)π·CD2·(AD＋BD)＝eq\f(π,3)×3×4＝4π.故选B.(2)(2026·安徽阜阳模拟)若三棱锥P－ABC的四个顶点都在表面积为676π的球的表面上，△ABC所在的小圆面积为25π，则该三棱锥以△ABC为底面的高的最大值为()A．25 B．16C．49 D．1答案：A解析：如图所示，外接球的球心为O，点P在△ABC所在的小圆面上的投影为Q，当P，Q，O三点共线时，高最大，设球的半径为R，由表面积4πR2＝676π，解得R＝13，△ABC所在小圆的面积为25π，设小圆的半径为r，则πr2＝25π，解得r＝5，所以AQ＝5，OA＝OP＝13，在△OAQ中，OQ＝eq\r(OA2－QA2)＝eq\r(132－52)＝12，则高的最大值为12＋13＝25.故选A.如图1和图2，圆锥的高PO1＝h，底面半径AO1＝r，球的半径为R，则OO1＝|h－R|，在△AOO1中，有|h－R|2＋r2＝R2，故圆锥的外接球相关计算抓住△AOO1即可．除了标准的圆锥模型，对于侧棱相等的棱锥，也可放到圆锥中考虑，如图3的三棱锥P－ABC.5.(2026·江苏南京模拟)已知高SO1＝2，底面半径O1A＝4的圆锥内接于球O，则经过S和O1A中点的平面截球O所得截面面积的最小值为()A.eq\f(25π,2) B.eq\f(25π,3)C.eq\f(25π,4) D．5π答案：A解析：如图，设球O的半径为R，线段O1A的中点为E，因为AOeq\o\al(2,1)＋OOeq\o\al(2,1)＝AO2，所以42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5，设经过S和O1A中点E的平面截球O所得截面圆的圆心为O2，半径为r，球心O到截面的距离OO2＝d，则r2＝R2－d2，要使截面面积最小，则r要最小，即d要最大，当d为点O到SE的距离时最大，此时d·SE＝SO·EO1，又SE＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以d＝eq\f(SO·EO1,SE)＝eq\f(5×2,2\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，所以req\o\al(2,min)＝52－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,\r(2))))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,2)，故截面面积的最小值为πreq\o\al(2,min)＝eq\f(25π,2).故选A.6．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2eq\r(3)，AB＝2AC＝6，∠BAC＝eq\f(π,3)，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________．答案：48π解析：因为AB＝2AC＝6，∠BAC＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝36＋9－2×6×3×eq\f(1,2)＝27，解得BC＝3eq\r(3)，所以BC2＋AC2＝AB2，所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形，因为PA＝PB＝PC＝2eq\r(3)，所以点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心，即斜边AB的中点，且平面PAB⊥平面ABC，于是△PAB的外心即为三棱锥P－ABC外接球的球心，因此△PAB外接圆的半径等于三棱锥P－ABC外接球的半径．因为PA＝PB＝2eq\r(3)，AB＝6，所以cos∠APB＝eq\f(PA2＋PB2－AB2,2PA·PB)＝eq\f(12＋12－36,2×12)＝－eq\f(1,2)，于是sin∠APB＝eq\f(\r(3),2)，根据正弦定理知△PAB外接圆的半径R满足2R＝eq\f(AB,sin∠APB)＝eq\f(6,\f(\r(3),2))＝4eq\r(3)，所以三棱锥P－ABC外接球的半径为R＝2eq\r(3)，因此三棱锥P－ABC外接球的表面积为4πR2＝48π.角度4外接球的台体模型(1)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与外接球的表面积之比为()A．3∶4 B．1∶2C．3∶8 D．3∶10答案：C解析：令外接球的半径为2R，依题意，得O2A＝2R，O2B＝2R，O1B＝R.如图，过点B作BC⊥O2A，垂足为C，则O2C＝O1B＝R，所以AC＝O2C＝R，又BC＝O1O2＝eq\r(（2R）2－R2)＝eq\r(3)R，所以AB＝eq\r(R2＋（\r(3)R）2)＝2R，所以圆台的侧面积S1＝π(R＋2R)·2R＝6πR2，外接球的表面积S2＝4π×(2R)2＝16πR2，所以圆台的侧面积与外接球的表面积之比为S1∶S2＝(6πR2)∶(16πR2)＝3∶8.(2)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(3)和4eq\r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100π B．128πC．144π D．192π答案：A解析：设正三棱台上、下底面外接圆的半径分别为r1，r2，所以2r1＝eq\f(3\r(3),sin60°)，2r2＝eq\f(4\r(3),sin60°)，即r1＝3，r2＝4.设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R(R≥4)，所以d1＝eq\r(R2－9)，d2＝eq\r(R2－16)，由|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|eq\r(R2－9)－eq\r(R2－16)|＝1或eq\r(R2－9)＋eq\r(R2－16)＝1，解得R2＝25，符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A.如图1，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高O1O2＝h，球O的半径为R，则它们满足方程eq\r(R2－req\o\al(2,1))＋eq\r(R2－req\o\al(2,2))＝h；若为图2，则满足的方程是eq\r(R2－req\o\al(2,1))－eq\r(R2－req\o\al(2,2))＝h.除了这两种标准的圆台模型外，棱台模型也可转化为圆台模型处理，如图3，这种情况只需求出棱台的上、下底面外接圆的半径，即可放入圆台分析．7.(多选)某正四棱台的上、下底面边长分别为3eq\r(2)和4eq\r(2)，若该正四棱台所有的顶点均在表面积为100π的球面上，则该正四棱台的体积可能为()A.eq\f(70,3) B.eq\f(74,3)C.eq\f(515,3) D.eq\f(518,3)答案：BD解析：设外接球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5.设上底面正方形ABCD的中心为M，下底面正方形EFGH的中心为N.如图1，若球心在正四棱台的内部，连接OA，OE，AM，EN，OM，ON，则MN为正四棱台的高，OA＝OE＝5，可得AM＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(（3\r(2)）2＋（3\r(2)）2)＝3，同理，NE＝4.由勾股定理，得OM＝eq\r(OA2－AM2)＝eq\r(52－32)＝4，ON＝eq\r(OE2－NE2)＝eq\r(52－42)＝3，可得正四棱台的高h＝MN＝4＋3＝7，正四棱台的体积V＝eq\f(1,3)×(18＋32＋eq\r(18×32))×7＝eq\f(518,3).如图2，若球心在正四棱台的外部，可得正四棱台的高h＝OM－ON＝4－3＝1，所以正四棱台的体积V＝eq\f(1,3)×(18＋32＋eq\r(18×32))×1＝eq\f(74,3).故选BD.类型二内(棱)切球(1)(2026·湖北腾云联盟联考)如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为________．答案：168π解析：作几何体的轴截面ABCD，如图所示，设M，N分别是大球和小球的球心，G，H分别是球M和球N与圆台侧面的切点，E是球M与圆台下底面的切点，F是球N与圆台上底面的切点，延长AD和BC，记交点为Q，连接MG，NH，EQ，显然M，N，F均在直线EQ上，则MG⊥AQ，NH⊥AQ，QE⊥AB，QF⊥CD，且GM＝EM＝4，NH＝NF＝2，所以EF＝12.因为△QNH∽△QMG，所以eq\f(QN,QM)＝eq\f(NH,MG)＝eq\f(1,2)，因为MN＝6，所以QN＝6，所以QF＝4，QE＝16.记∠AQE＝α，在Rt△QNH中，sinα＝eq\f(NH,NQ)＝eq\f(1,3)，所以tanα＝eq\f(\r(2),4)，所以在Rt△QFD与Rt△QEA中，tanα＝eq\f(DF,QF)＝eq\f(AE,QE)＝eq\f(\r(2),4)，所以DF＝eq\r(2)，AE＝4eq\r(2)，所以该容器的体积V＝eq\f(1,3)π(AE2＋AE·DF＋DF2)·EF＝168π.(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(3)，其内有一个球与四个面都相切，则该正三棱锥内切球的半径为________．答案：eq\r(2)－1解析：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE.因为四面体P－ABC是正三棱锥，所以D为△ABC的中心，AE是BC边上的高和中线．因为AB＝BC＝2eq\r(3)，所以S△ABC＝3eq\r(3)，DE＝1，在Rt△PDE中，PD2＋DE2＝PE2，因为PD＝1，所以PE＝eq\r(2).所以该三棱锥的表面积S＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＋3eq\r(3)＝3eq\r(6)＋3eq\r(3)，三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×1＝eq\r(3).设内切球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小三棱锥，由eq\f(1,3)S·r＝eq\r(3)，得r＝eq\f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq\r(2)－1.(3)(2025·新课标Ⅱ卷，14)一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm.答案：2.5解析：设两铁球的球心分别为A，B，铁球的半径为r，且r<4，如图为两铁球球心所在的圆柱的轴截面．由圆柱与球的性质得AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，因为r<4，所以r＝2.5.(4)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为________．答案：12解析：如图，不妨设正方体的棱长为2，EF的中点为O，取AB，BB1的中点G，M，侧面BB1C1C的中心为N，连接FG，EG，OM，ON，MN，由题意可知，O为球心，在正方体中，EF＝eq\r(FG2＋EG2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，即R＝eq\r(2)，则球心O到BB1的距离为OM＝eq\r(ON2＋MN2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以球O与棱BB1相切，球面与棱BB1只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，球面与其余各棱也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.“切”的问题常用的处理方法(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决．(2)通过体积分割法来求内切球的半径．8.在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝eq\r(3)，若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的表面积为()A．9π B．16πC．25π D．36π答案：C解析：如图，设棱台上、下底面的中心为N，M，连接D1B1，DB，则D1B1＝2eq\r(2)，DB＝4eq\r(2)，所以棱台的高MN＝eq\r(B1B2－（MB－NB1）2)＝eq\r(（\r(3)）2－（2\r(2)－\r(2)）2)＝1.设球O的半径为R，根据正四棱台的结构特征可知，球O与上底面A1B1C1D1相切于N，与棱AB，BC，CD，DA均相切于各边中点处，设BC的中点为E，连接OE，OM，ME，则OE2＝OM2＋ME2，即R2＝|R－1|2＋22，解得R＝eq\f(5,2)，所以球O的表面积为4πR2＝25π.9．已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球(与各面均相切)，则上、下两部分几何体的体积之比是()A．1∶8 B．1∶9C．1∶26 D．1∶27答案：C解析：如图，作出圆锥SO的轴截面SAB，设上、下两部分几何体的内切球的球心分别为E，F，半径分别为r，R，即OF＝FG＝R，EG＝r，根据题意可知△SAB为正三角形，易知SE＝2r，圆锥SO的底面半径OB＝eq\r(3)R，∴SO＝2r＋r＋R＋R＝3r＋2R，又SO＝eq\r(3)OB，∴3r＋2R＝3R，∴R＝3r，∴上部分圆锥的底面半径为eq\r(3)r，高为3r，又圆锥SO的底面半径为OB＝eq\r(3)R＝3eq\r(3)r，高为SO＝3r＋2R＝9r，∴上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，∴上、下两部分几何体的体积之比是1∶26.10．一个正四棱柱底面边长为2，高为eq\r(3)，上底面对角线的交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球的表面积为________．答案：eq\f(4π,3)解析：由题意可知，该几何体为正四棱锥，如图，O为其内切球的球心，PE是棱锥的高，F是CD的中点，连接PF，FE，G是球与侧面PCD的切点，可知G在PF上，连接OG，则OG⊥PF，设内切球的半径为r，则OE＝OG＝r，EF＝1，PE＝eq\r(3)，PF＝2，由△PGO∽△PEF，得eq\f(OG,FE)＝eq\f(PO,PF)，即eq\f(r,1)＝eq\f(\r(3)－r,2)，解得r＝eq\f(\r(3),3)，所以内切球的表面积为S＝4πr2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4π,3).类型三球的截面、截线问题(1)已知OA为球O的半径，M为线段OA上的点，且AM＝2MO，过点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为8π，则OA＝()A．2eq\r(2) B．3C．2eq\r(3) D．4答案：B解析：如图所示，由题意，得πBM2＝8π，则BM＝2eq\r(2).设球的半径为R，则MO＝eq\f(1,3)R，OB＝R，所以R2＝eq\f(1,9)R2＋(2eq\r(2))2，所以OA＝R＝3.故选B.(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，eq\r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案：eq\f(\r(2)π,2)解析：如图所示，取B1C1的中点为E，BB1的中点为F，CC1的中点为G，连接D1E，EF，EG，D1B1，因为∠BAD＝60°，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，所以△D1B1C1为等边三角形，所以D1E＝eq\r(3)，D1E⊥B1C1.又四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E.因为BB1∩B1C1＝B1，所以D1E⊥侧面B1C1CB.设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点，连接D1P，EP，则D1E⊥EP.因为球的半径为eq\r(5)，D1E＝eq\r(3)，所以EP＝eq\r(D1P2－D1E2)＝eq\r(5－3)＝eq\r(2)，所以侧面B1C1CB与球面的交线上的点到E的距离为eq\r(2).因为EF＝EG＝eq\r(2)，所以侧面B1C1CB与球面的交线是扇形EFG的弧eq\o(FG,\s\up8(︵)).因为∠B1EF＝∠C1EG＝eq\f(π,4)，所以∠FEG＝eq\f(π,2)，所以根据弧长公式可得交线长l＝eq\f(π,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2)π,2).(1)球的截面一定是一个圆面．(2)球心和小圆圆心连线垂直于小圆圆面．(3)过球内一点作球的截面，最大截面为过球心的圆面，最小截面为过该点且垂直于球心和该点连线的截面．11.(2026·江西九江模拟)已知球O与正三棱柱ABC－A1B1C1的各个面均相切，记平面ABC1截球O所得截面的面积为S1，球O的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝()A.eq\f(3,13) B.eq\f(9,13)C.eq\f(101,117) D.eq\f(113,468)答案：A解析：如图，设球O