高中数学选修一 导学案 第二章 单元质量测评

第二章单元质量测评基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考点由两直线平行求参数椭圆方程中的参数问题由两直线交点的位置求参数的取值范围圆上一点到直线的距离的最值抛物线的实际应用双曲线与椭圆的综合问题双曲线与抛物线的几何性质圆的弦长问题；与圆上动点有关的距离最值问题圆上一点到直线的距离的最值双曲线的几何性质；直线与双曲线的公共点个数题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点抛物线的焦点弦；直线与圆相切直线的平移变换；由两直线垂直求直线的方程两圆相交的公共弦问题；直线过定点问题求双曲线的离心率求直线的方程；求点到直线的距离由直线与圆的位置关系求参数的取值范围；由两圆的位置关系求参数的取值范围直线与双曲线的位置关系的综合问题与抛物线有关的定值问题；与抛物线有关的定直线问题与椭圆有关的探索性问题eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线2x＋my－3＝0与mx＋8y－6＝0互相平行，则m＝()A．4 B．－4C．±4 D．±2答案：B解析：因为直线2x＋my－3＝0与mx＋8y－6＝0互相平行，所以m2＝16，得m＝±4.当m＝4时，两直线重合，不符合题意；当m＝－4时，符合题意．综上，m＝－4.2．“1<m<3”是“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：当m＝2时，方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1为x2＋y2＝1，该方程表示圆，即充分性不成立；若方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示椭圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1>0，,3－m>0，,m－1≠3－m，))解得1<m<3且m≠2，即必要性成立．故选B.3．若直线2x－y＋m＝0和直线3x－y＋3＝0的交点在第二象限，则m的取值范围为()A．(－∞，3)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(2，3)答案：D解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋m＝0，,3x－y＋3＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m－3，,y＝3m－6，))所以交点为(m－3，3m－6)，由于点(m－3，3m－6)在第二象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－3<0，,3m－6>0，))得2<m<3，所以m的取值范围为(2，3)．故选D.4．已知定点A(3，4)，P为圆x2＋y2＝4上的动点，Q为直线x＋y－4＝0上的动点．当|PQ|取最小值时，设△PAQ的面积为S，则S＝()A.eq\f(4＋\r(2),2) B.eq\f(4－\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D.eq\f(2－\r(2),2)答案：D解析：圆x2＋y2＝4的圆心为原点，半径为2，过原点且与直线x＋y－4＝0垂直的直线的方程为x－y＝0，则点A(3，4)到直线x－y＝0的距离为eq\f(|3－4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又因为原点到直线x＋y－4＝0的距离为eq\f(|－4|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以|PQ|的最小值为2eq\r(2)－2，则S＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2)－2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2－\r(2),2).故选D.5．如图1是两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的内侧曲线呈抛物线型，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线的顶端O到连桥AB的距离为()A．240m B．220mC．200m D．180m答案：C解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝ny，D(15，y0)，B(30，y0－150)，将点D，B的坐标分别代入抛物线方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ny0＝225，,ny0－150n＝900，))解得n＝－eq\f(9,2)，故抛物线方程为x2＝－eq\f(9,2)y，当x＝30时，y＝－200，即此抛物线的顶端O到连桥AB的距离为200m.6．设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,169)－eq\f(y2,25)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,169)－eq\f(y2,144)＝1答案：A解析：对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，又其离心率e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(5,13)，∴c1＝5.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1同焦点，∴c2＝5，又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝eq\r(ceq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,2))＝3.又焦点在x轴上，故曲线C2的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.故选A.7．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝eq\r(2)|AB|，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3答案：A解析：设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为(c，0)，则抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－c，令x＝－c，则eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(b2,a)，所以|AB|＝eq\f(2b2,a)，又因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，所以|CD|＝eq\f(2bc,a)，所以eq\f(2bc,a)＝eq\f(2\r(2)b2,a)，即c＝eq\r(2)b，所以a2＝c2－b2＝eq\f(1,2)c2，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).故选A.8．已知A，B为圆O：x2＋y2＝4上的两动点，|AB|＝2eq\r(3)，点P是圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上的一点，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值是()A．10 B．12C．14 D．16答案：C解析：设M是AB的中点，因为|AB|＝2eq\r(3)，所以|OM|＝eq\r(4－3)＝1，即M在以O为圆心，1为半径的圆上．因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|.又|PO|max＝|OC|＋1＝eq\r(32＋42)＋1＝6，所以|PM|max＝|PO|max＋1＝6＋1＝7，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|max＝2×7＝14.故选C.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则()A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)答案：ACD解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与点N重合，|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋（5－2）2－42)＝3eq\r(2)，当∠PBA最大时，点P与点Q重合，|PB|＝3eq\r(2)，故C，D正确．故选ACD.10．已知双曲线C过点(3，eq\r(2))且渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是()A．双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1B．双曲线C的离心率为eq\r(3)C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点D．直线x－eq\r(2)y－1＝0与双曲线C有两个公共点答案：AC解析：对于A，由已知y＝±eq\f(\r(3),3)x，可得y2＝eq\f(1,3)x2，从而设所求双曲线的方程为eq\f(1,3)x2－y2＝λ，又由双曲线C过点(3，eq\r(2))可得eq\f(1,3)×32－(eq\r(2))2＝λ，即λ＝1，故双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1，故A正确；对于B，由双曲线C的方程可知a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，从而双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，故B错误；对于C，因为双曲线C的右焦点的坐标为(2，0)，满足y＝ex－2－1，故C正确；对于D，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)y－1＝0，,\f(x2,3)－y2＝1，))整理，得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，由Δ＝(－2eq\r(2))2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个公共点，故D错误．故选AC.11．已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px(p>0)上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的是()A．△PMF周长的最小值为2eq\r(5)B．若eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FQ,\s\up6(→))，则|PQ|的最小值为4C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2D．若△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的面积为eq\f(9π,4)答案：BD解析：因为F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，F(1，0)，|MF|＝eq\r(（2－1）2＋（2－0）2)＝eq\r(5)，准线l：x＝－1.对于A，过P作PN⊥l，垂足为N，则|PF|＋|PM|＝|PN|＋|PM|≥3(当且仅当P，M，N三点共线时取等号)，所以△PMF周长的最小值为3＋eq\r(5)，故A不正确；对于B，若eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FQ,\s\up6(→))，则弦PQ过F，过P作l的垂线，垂足为P′，过Q作l的垂线，垂足为Q′，设PQ的中点为G，过G作GG′⊥l，垂足为G′，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝|PP′|＋|QQ′|＝2|GG′|≥2×2＝4，即|PQ|的最小值为4，故B正确；对于C，若直线PQ过点F，设直线PQ：x＝my＋1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消去x得y2－4my－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以kOP·kOQ＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(4,y1)·eq\f(4,y2)＝eq\f(16,－4)＝－4，故C不正确；对于D，因为OF为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为eq\f(1,2)，因为△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以该圆的面积为π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9π,4)，故D正确．故选BD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上)12．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，请写出一条与l垂直的直线的方程：________．答案：y＝3x(答案不唯一)解析：设直线的方程为Ax＋By＋C＝0，变换后得A(x＋3)＋B(y－1)＋C＝0，即Ax＋By＋C＋3A－B＝0，故3A－B＝0.一条与l垂直的直线的方程为Bx－Ay＝0，即y＝3x.13．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在的直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上(m>0，n>0)，则mn的最大值是________．答案：eq\f(1,4)解析：由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0，将两圆的方程相减可得kx＋(k－2)y－4＝0，即公共弦所在直线的方程为kx＋(k－2)y－4＝0，又kx＋(k－2)y－4＝0可变形为k(x＋y)－2(y＋2)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))则公共弦所在的直线恒过定点(2，－2)，即P(2，－2)，又点P在直线mx－ny－2＝0上，则m＋n＝1，则mn≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时取等号，即mn的最大值为eq\f(1,4).14．如图，F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2，设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1内切圆的半径为eq\f(1,2)，则|PF1|＋|PA|－|AF1|＝________，双曲线C的离心率为________．答案：12解析：因为PF1⊥PF2，且△APF1内切圆的半径为eq\f(1,2)，所以|PF1|＋|PA|－|AF1|＝2r＝1，所以|PF2|＋2a＋|PA|－|AF1|＝1，所以|AF2|－|AF1|＝1－2a，由图形的对称性，可知|AF2|＝|AF1|，所以a＝eq\f(1,2).又|F1F2|＝2，所以2c＝2，即c＝1，所以双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知△ABC的三个顶点分别是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)．(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．解：(1)设BC边上的高所在的直线为l，由题意知kBC＝eq\f(3－（－1）,2－（－2）)＝1，则kl＝eq\f(－1,kBC)＝－1.又点A(－1，4)在直线l上，所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0，即BC边上的高所在直线的方程为x＋y－3＝0.(2)BC边所在直线的方程为y＋1＝x＋2，即x－y＋1＝0.点A(－1，4)到直线BC的距离d＝eq\f(|－1－4＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2).又|BC|＝eq\r(（－2－2）2＋（－1－3）2)＝4eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|BC|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝8.16．(本小题满分15分)已知圆C与y轴相切，且在x轴上的截距之和是6，圆心在直线2x－3y＝0上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C上恰有两个点到直线x＋y＋m＝0的距离为2，求实数m的取值范围；(3)若圆M：x2＋(y＋2)2＝a2(a>0)与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解：(1)由圆C在x轴上的截距之和是6知，圆心C在直线x＝3上，代入2x－3y＝0，得圆心C(3，2)．又圆C与y轴相切，所以圆C的半径r＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9.(2)圆心C(3，2)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝eq\f(|5＋m|,\r(2)).由题意，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(|5＋m|,\r(2))－3))<2，解得－5－5eq\r(2)<m<－5－eq\r(2)或－5＋eq\r(2)<m<－5＋5eq\r(2).(3)若圆M：x2＋(y＋2)2＝a2与圆C有公共点，则|a－3|≤|MC|≤|a＋3|.又|MC|＝5，所以|a－3|≤5≤|a＋3|，解得2≤a≤8.所以实数a的取值范围是[2，8]．17．(本小题满分15分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(eq\r(3)，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．解：(1)设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由已知，得a＝eq\r(3)，c＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)－y2＝1，))得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝12（m2＋1－3k2）>0，))可得m2>3k2－1且k2≠eq\f(1,3).①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B(x0，y0)．则x1＋x2＝eq\f(6km,1－3k2)，x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3km,1－3k2)，y0＝kx0＋m＝eq\f(m,1－3k2).由题意，知AB⊥MN，∴kAB＝eq\f(\f(m,1－3k2)＋1,\f(3km,1－3k2))＝－eq\f(1,k)(k≠0，m≠0)，整理得3k2＝4m＋1.②将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－eq\f(1,4)，∴实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪(4，＋∞)．18．(本小题满分17分)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO交于点D(O为坐标原点)．(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2交于点N1，与(1)中的定直线交于点N2.证明|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．解：(1)证明：依题意可设直线AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，直线AO的方程为y＝eq\f(y1,x1)x，直线BD的方程为x＝x2.联立直线AO和BD的方程，解得交点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(y1x2,x1))).又x1x2＝－8，xeq\o\al(2,1)＝4y1，则有eq\f(y1x2,x1)＝eq\f(y1x1x2,xeq\o\al(2,1))＝eq\f(－8y1,4y1)＝－2，因此动点D在定直线y＝－2(x≠0)上．(2)依题意，知切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0，得(－4a)2＋16b＝0，化简整理，得b＝－a2，故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2，得N1，N2的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋a，2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)＋a，－2))，则|MN2|2－|MN1|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)－a))eq\s\up12(2)＋42－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋a))eq\s\up12(2)＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.19．(本小题满分17分)如图，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝eq\f(1,2).过F1的直线交椭圆E于A，B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，