北师大版高中三年级数学2026上学期测试卷

北师大版高中三年级数学2026上学期测试卷姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

北师大版高中三年级数学2026上学期测试卷

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若复数z=a+bi(a,b∈R)的模为√5，且arg(z)=π/3，则a的值为

A.√5/2

B.5/2

C.3/2

D.-√5/2

3.抛掷两个均匀的六面骰子，记事件A为"两个骰子的点数之和为7"，事件B为"第一个骰子的点数为偶数"，则P(A|B)等于

A.1/6

B.1/4

C.1/3

D.1/2

4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值是

A.2

B.3

C.4

D.5

5.直线y=kx+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相交于两点，则k的取值范围是

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.(-1,1)

C.[-1,1]

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

6.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n，则a_5的值为

A.16

B.32

C.64

D.128

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则cosC的值为

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

8.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为

A.e

B.e^2

C.1/e

D.1/e^2

9.在等差数列{a_n}中，a_1=2，公差d=3，则S_20的值为

A.1140

B.1150

C.1160

D.1170

10.若函数f(x)=log_a(x+1)在x→-1时极限存在且为-1，则a的值为

A.1/2

B.2

C.3

D.4

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为m，则m=______

2.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c=______

3.已知直线l:ax+by+c=0与圆O:x^2+y^2=1相切，则a^2+b^2=______

4.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于y轴对称的函数表达式为______

5.若复数z=1+i的平方根为α+βi(α,β∈R)，则αβ=______

6.在等比数列{a_n}中，a_2=6，a_4=54，则a_6=______

7.已知事件A的概率P(A)=1/3，事件B的概率P(B)=1/4，且P(A∪B)=1/2，则P(A∩B)=______

8.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的积分为______

9.在直角坐标系中，点P(a,b)到直线x+y=1的距离为√2，则a^2+b^2=______

10.若函数f(x)=x^2-ax+1在x=1时取得最小值0，则a=______

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,π)上单调递增的是

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=e^x

2.下列命题中，正确的是

A.若z₁,z₂为复数，则|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|

B.若数列{a_n}单调递增，则其极限一定存在

C.若函数f(x)在区间I上连续，则其在该区间上必有界

D.若事件A的概率为0，则事件A一定不可能发生

3.下列直线中，与直线x-2y+3=0平行的有

A.2x-4y-5=0

B.x+2y-1=0

C.3x-6y+7=0

D.4x+8y-2=0

4.下列函数中，在定义域内处处可导的有

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=e^x

D.f(x)=sin(x)

5.下列数列中，是等差数列的有

A.a_n=2n+1

B.a_n=3^n

C.a_n=n^2

D.a_n=5n-2

6.下列不等式中，成立的有

A.log₂3>log₂4

B.e^2>e^3

C.sin(π/6)>cos(π/6)

D.(0.5)^(-2)>(0.5)^(-3)

7.下列函数中，以x=π/2为对称轴的有

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=x^2

8.下列命题中，正确的是

A.若数列{a_n}收敛，则其子数列也收敛

B.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0

C.若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

D.若复数z的模为0，则z=0

9.下列直线中，与圆(x-1)^2+(y+2)^2=4相切的有

A.x-y=0

B.2x+y=1

C.x+2y=0

D.2x-y=5

10.下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的有

A.f(x)=-x^2

B.f(x)=-x

C.f(x)=1/x

D.f(x)=log(x)

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=cos(x)在区间[0,2π]上是单调递减的

2.若复数z₁,z₂满足z₁²=z₂²，则z₁=z₂

3.在等比数列中，任意两项的比是常数

4.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0

5.直线y=x与直线y=-x关于原点对称

6.若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

7.数列{a_n}单调递增且有界，则其极限一定存在

8.函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的导数恒大于0

9.若直线l与圆O相切，则直线l到圆心O的距离等于圆的半径

10.对任意实数x，有|sin(x)|≤1

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数f'(x)

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_n+a_{n+1}=2S_n，求a_3的值

3.求直线y=2x+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=5的交点坐标

4.若复数z=a+bi(a,b∈R)的模为√2，且arg(z)=π/4，求z的平方根

5.求函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期

6.在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，求c的值

7.求等差数列{a_n}的前20项和，其中a_1=3，公差d=2

8.求函数f(x)=e^x-x在x=0处的导数

9.求直线x+2y-3=0到原点的距离

10.若函数f(x)=log_a(x+1)在x→-1时极限存在且为-1，求a的值

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为√2sin(x+π/4)，其最小正周期为2π/1=2π。

2.C

解析：复数z的模为√5，即√(a^2+b^2)=√5，arg(z)=π/3，即a/b=tan(π/3)=√3。联立方程组解得a=√5/2，b=√15/2。

3.D

解析：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。P(A)=6种情况中有6种(1+6,2+5,3+4)，共36种，P(A∩B)=3种(2+5,4+4,6+2)，P(B)=18种(偶数出现在第一个骰子)。故P(A|B)=3/18=1/6。

4.C

解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-2，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=3。最大值为max{-2,2,0,3}=4。

5.B

解析：圆心(1,2)，半径2。直线与圆相交，则圆心到直线的距离d<2。d=|k*1-1*2+1|/√(k^2+1)=|k-1|/√(k^2+1)<2。两边平方得(k-1)^2<4(k^2+1)。解得k∈(-1,1)。

6.C

解析：a_n+a_{n+1}=2S_n。n≥2时，a_{n-1}+a_n=2S_{n-1}。两式相减得a_{n+1}-a_{n-1}=2a_n。故数列{a_n}从第二项起为等差数列。a_2=6，a_4=54，故公差d=a_4-a_2=48。a_3=a_2+d=54。a_1+a_2=2S_1=2a_1，a_1=6。a_3+a_4=2S_3=2(a_1+a_2+a_3)，代入a_1=6，a_3=54得6+54=2(6+a_2+54)，解得a_2=12。a_5=a_4+d=54+48=102。或直接用a_n=a_1+(n-1)d+(n-2)d/2=6+(n-1)48+(n-2)24=6+24n-72=24n-66。a_5=24*5-66=120-66=54。此处推导有误，重新推导a_5：a_1=6，a_2=12，a_3=54。a_3=a_1+2d=6+2d=>54=6+2d=>d=24。a_4=a_3+d=54+24=78。a_5=a_4+d=78+24=102。故a_5=102。

7.A

解析：a^2+b^2-c^2=ab=>(a^2+b^2)/2=(a+b)^2/4。由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=ab/(2ab)=1/2。

8.A

解析：f'(x)=e^x-a。x=1处取得极值，则f'(1)=e-a=0=>a=e。

9.A

解析：S_20=20/2*(2*2+(20-1)*3)=10*(4+57)=10*61=610。

10.B

解析：lim(x→-1)log_a(x+1)=-1=>lim(x→-1)(log_a(x+1)+1)=0=>log_a(0)=0。故a=2。

二、填空题

1.2

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|={x-1+x+1|x<0;1-x+x+1|0≤x≤1;-x+1-x-1|x>1}={2x|x<0;2|0≤x≤1;-2x|x>1}。在x=0时取得最小值2。

2.5

解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3^2+4^2-2*3*4*cos60°=9+16-24*1/2=25-12=13=>c=√13。

3.1

解析：直线ax+by+c=0到原点的距离为d=|c|/√(a^2+b^2)。由题意d=1=>|c|/√(a^2+b^2)=1=>a^2+b^2=c^2。又圆x^2+y^2=1的半径为1，故a^2+b^2=1。

4.f(x)=sin(2(-x)+π/3)=sin(-2x+π/3)

解析：函数y=sin(x)的图像关于y轴对称的函数为y=sin(-x)。故f(x)=sin(2x+π/3)关于y轴对称的函数为f(x)=sin(-2x+π/3)=sin(π/3-2x)。

5.1/4

解析：设z=1+i的平方根为α+βi。则(α+βi)^2=1+i=>α^2-β^2+2αβi=1+i。比较实部和虚部得α^2-β^2=1，2αβ=1=>αβ=1/2。α^2+β^2=(√2)^2=2。α^2β^2=(αβ)^2=(1/2)^2=1/4。

6.162

解析：a_2=6,a_4=54。设公比为q，则a_4=a_2*q^2=>54=6*q^2=>q^2=9=>q=3。a_6=a_4*q^2=54*3^2=54*9=486。或用通项公式a_n=a_1*q^(n-1)。a_2=a_1*q=6。a_4=a_1*q^3=54。a_1=6/q,a_1*q^3=54=>(6/q)*q^3=54=>6q^2=54=>q^2=9=>q=3。a_6=a_1*q^5=(6/3)*3^5=2*243=486。注意题目要求a_6。

7.1/12

解析：P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=>P(A∩B)=1/3+1/4-1/2=4/12+3/12-6/12=1/12。

8.8/3

解析：∫[-2,2](x^3-3x)dx=[x^4/4-3x^2/2]evaluatedfrom-2to2=[(2^4/4-3*2^2/2)-((-2)^4/4-3*(-2)^2/2)]=[4-6-(4-6)]=-2-(-2)=0。

9.5

解析：点P(a,b)到直线x+y=1的距离为√2=>|a+b-1|/√(1^2+1^2)=√2=>|a+b-1|/√2=√2=>|a+b-1|=2=>a+b=3或a+b=-1。a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2ab=9-2ab=9-2(-1)=9+2=11或a^2+b^2=(-1)^2-2ab=1-2ab=1-2(3)=1-6=-5。a^2+b^2=11。

10.2

解析：f(x)=x^2-ax+1在x=1处取得最小值0=>f(1)=1^2-a*1+1=2-a=0=>a=2。

三、多选题

1.C,D

解析：f(x)=sin(x)在(0,π/2)单调递增，但在(π/2,π)单调递减。f(x)=cos(x)在(0,π)单调递减。f(x)=tan(x)在(0,π)内除x=π/2外处处可导且单调递增。f(x)=e^x在(0,π)上单调递增。

2.A,C,D

解析：|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|是三角不等式，正确。数列单调递增不一定有界，如a_n=n，错误。连续函数不一定有界，如f(x)=1/x在(0,1)连续但无界，错误。P(A)=0，P(A)可以是0或接近0，但A发生的可能性极小，但不能绝对不可能，错误。若A的概率为0，则A是几乎不可能事件，即发生的概率为0，但不能说绝对不可能发生，如连续随机变量取任一特定值的概率为0，但该值仍可能发生。严格来说，若P(A)=0，则A是不可能事件，但题目可能指概率论中的几乎不可能事件。根据标准概率论，若P(A)=0，则A是几乎不可能事件，意味着A几乎不会发生，但不能绝对说A不可能发生。但在高中阶段，通常理解为不可能事件。题目中"一定不可能发生"表述过于绝对，更准确的说法是"发生的概率为0"。如果题目考察的是标准概率论，则D错误。如果题目考察的是高中阶段对概率的理解，则D正确。根据高中数学教材通常对概率0的理解，P(A)=0意味着A几乎不可能发生，但不是绝对不可能。因此，D项表述有误，更准确的说法是"发生的概率为0"。题目要求选出正确的命题，A和C是正确的。B项错误，因为单调递增数列可能无界。D项错误，因为概率为0的事件不一定是绝对不可能事件。因此，正确的选项是A和C。但题目要求选出所有正确的，如果按标准概率论，则D错误。如果按高中常见理解，则D正确。鉴于高中阶段对概率0的理解可能存在模糊，且题目未明确标准，倾向于选择更基础且不易出错的A和C。然而，在严格的概率论中，P(A)=0意味着A是几乎不可能事件，但不能等同于A绝对不可能发生。因此，D项在严格意义上是错误的。题目要求选出正确的命题，A和C是正确的。如果必须选择一个选项作为"最可能正确"的，A是最基础的三角不等式，C是圆的基本性质，D是对概率0的常见误解，但标准定义上错误。在高中阶段，A和C通常被认为是基本且正确的，D被认为是错误或至少不严谨的。题目没有提供足够的信息来明确区分A、C和D，但A和C是最不容易出错的。如果必须选择一个，A是最基础的。但题目要求选择所有正确的，根据严格的概率论，D是错误的。如果题目考察的是高中阶段对概率0的常见理解，D可能被认为是正确的。由于题目没有明确说明，存在歧义。为了提供一个确定的答案，根据高中数学的常见考点和难度，选择A和C作为最可能的正确选项。然而，题目要求选择所有正确的，在严格定义下，只有A和C是明确正确的，D是错误的。考虑到高中阶段可能存在的模糊理解，D可能被部分认为是正确的。由于题目没有明确，无法给出绝对确定的答案组合。但根据最基础和最不容易出错的考点，A和C是首选。如果必须给出一个选项，A是最可能的。但题目要求选择所有正确的，因此A和C是最可能的组合。

3.A,C,D

解析：两条直线平行，其斜率相同。直线x-2y+3=0的斜率为1/2。A:2x-4y-5=0=>-4y=-2x+5=>y=x/2-5/4，斜率为1/2，平行。B:x+2y-1=0=>2y=-x+1=>y=-x/2+1/2，斜率为-1/2，不平行。C:3x-6y+7=0=>-6y=-3x-7=>y=x/2+7/6，斜率为1/2，平行。D:4x+8y-2=0=>8y=-4x+2=>y=-x/2+1/4，斜率为-1/2，不平行。

4.A,C,D

解析：f(x)=x^2在(-∞,∞)处处可导。f(x)=|x|在x=0处不可导。f(x)=e^x在(-∞,∞)处处可导。f(x)=sin(x)在(-∞,∞)处处可导。

5.A,D

解析：A:a_n=2n+1。a_n-a_{n-1}=(2n+1)-[2(n-1)+1]=2n+1-2n+2-1=2。是等差数列。B:a_n=3^n。a_n/a_{n-1}=3^n/3^(n-1)=3。是等比数列。C:a_n=n^2。a_n/a_{n-1}=n^2/(n-1)^2=(n^2-2n+1)/(n^2-2n+1)=1。是等比数列。D:a_n=5n-2。a_n-a_{n-1}=(5n-2)-[5(n-1)-2]=5n-2-5n+5-2=5-2=3。是等差数列。

6.C,D

解析：A:log₂3<log₂4=>log₂3<1=>3<2^1=>3<2，错误。B:e^2<e^3=>2<3，正确。C:sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/2。1/2<√3/2=>1<√3，正确。D:(0.5)^(-2)=1/(0.5)^2=1/(1/4)=4。(0.5)^(-3)=1/(0.5)^3=1/(1/8)=8。4<8，正确。

7.A,B

解析：A:f(x)=sin(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x=πk(k∈Z)，即x=0是其中一个对称轴。B:f(x)=cos(x)的图像关于y轴对称，对称轴为x=πk(k∈Z)，即x=0是其中一个对称轴。C:f(x)=tan(x)的图像关于原点对称，对称轴为x=π/2+kπ(k∈Z)，没有x=π/2的对称轴。D:f(x)=x^2的图像关于y轴对称，对称轴为x=0。

8.A,C,D

解析：A:若数列{a_n}收敛，则其所有子数列都收敛。正确。B:函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0是必要条件，但不是充分条件。例如f(x)=x^3在x=0处取得极值，但f'(0)=0。如果f(x)在x=c处可导且取得极值，则f'(c)=0。如果不可导，则不一定。题目没有说明可导性，故不正确。C:若事件A与B互斥，则A∩B=∅。P(A∪B)=P(A)+P(B)。正确。D:若复数z的模为0，则|z|=0=>z*z̄=0=>a^2+b^2=0=>a=0,b=0。故z=0。正确。

9.A,D

解析：圆心(1,-2)，半径r=2。A:直线x-y=0=>y=x。圆心到直线的距离d=|1-(-2)|/√(1^2+(-1)^2)=|3|/√2=3√2/2。d=r=>3√2/2=2=>3√2=4=>√2=4/3，错误。故A不切。B:2x+y=1=>y=-2x+1。圆心到直线距离d=|-2*1+(-2)|/√(2^2+1^2)=|-2-2|/√5=4√5/5。d=r=>4√5/5=2=>4√5=10=>√5=5/2，错误。故B不切。C:x+2y=0=>y=-x/2。圆心到直线距离d=|1+2*(-2)|/√(1^2+2^2)=|1-4|/√5=3√5/5。d≠r=>3√5/5≠2=>3√5≠2√5=>3≠2，错误。故C不切。D:2x-y=5=>y=2x-5。圆心到直线距离d=|2*1-(-2)|/√(2^2+(-1)^2)=|2+2|/√5=4√5/5。d=r=>4√5/5=2=>4√5=10=>√5=5/2，正确。故D切。

10.A,B,C

解析：A:f(x)=-x^2在(0,1)上导数f'(x)=-2x，在(0,1)上f'(x)<0，故单调递减。B:f(x)=-x在(0,1)上导数f'(x)=-1，在(0,1)上f'(x)<0，故单调递减。C:f(x)=1/x在(0,1)上导数f'(x)=-1/x^2，在(0,1)上f'(x)<0，故单调递减。D:f(x)=log(x)在(0,1)上导数f'(x)=1/x，在(0,1)上f'(x)>0，故单调递增。

四、判断题

1.错误

解析：函数f(x)=cos(x)在区间[0,2π]上不是单调递减的。它在[0,π]上单调递减，在[π,2π]上单调递增。

2.错误

解析：若复数z₁,z₂满足z₁²=z₂²，则(z₁-z₂)(z₁+z₂)=0。因此z₁-z₂=0或z₁+z₂=0。即z₁=z₂或z₁=-z₂。

3.正确

解析：根据等比数列的定义，从第二项起，任意一项a_n与它前一项a_{n-1}的比等于常数q，即a_n/a_{n-1}=q(n≥2)。这可以推广到任意两项a_m与a_n(m<n)，有a_n/a_m=q^{n-m}。因此，任意两项的比是常数q^{n-m}。

4.正确

解析：这是可导函数在取得极值点处导数为零的必要条件。如果函数f(x)在x=c处取得极值，且f(x)在x=c处可导，则根据费马引理，f'(c)=0。

5.正确

解析：直线y=x的斜率为1，直线y=-x的斜率为-1。两条直线的斜率互为相反数，且过原点，因此它们关于原点对称。

6.正确

解析：这是概率论中加法公式的特例。对于互斥事件A和B，它们不能同时发生，即A∩B=∅，其概率P(A∩B)=0。因此，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)。

7.错误

解析：数列{a_n}单调递增且有界，则其必有极限，这是数列收敛的一个充分条件，但不是必要条件。例如，数列a_n=(-1)^n+1/2，在n为偶数时a_n=3/2，在n为奇数时a_n=1/2。这个数列是单调递增的（因为1/2<3/2，且随着n增加，正负号交替但数值趋于1/2和3/2，但整体趋势不明显，更像是摆动而非严格单调递增），且有界（介于1/2和3/2之间）。但是这个数列不收敛，因为它在两个不同的值之间摆动。因此，单调递增且有界不能保证数列收敛。

8.正确

解析：函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的导数为f'(x)=3x^2。当x=0时，f'(x)=3*0^2=0。当x在(-1,0)或(0,1)内时，x^2>0，f'(x)=3x^2>0。因此，在整个区间[-1,1]上，除了x=0点外，f'(x)都大于0。

9.正确

解析：这是直线与圆相切的几何定义。直线与圆相切，意味着它们有且仅有一个公共点。设圆心为O，切点为P，则线段OP就是圆的半径。直线l到圆心O的距离d，就是垂线段OP的长度。因此，直线l到圆心O的距离等于圆的半径。

10.正确

解析：根据正弦函数的性质，|sin(x)|≤1对所有实数x都成立。这是正弦函数定义域和值域的基本属性。

五、问答题

1.解：f'(x)=3x^2-6x

2.解：n≥2时，a_{n+1}=2S_n-a_n。n=1时，a_1+a_2=2S_1=2a_1=>a_2=a_1。n=2时，a_2+a_3=2S_2=2(a_1+a_2)=2a_1+2a_2=>a_3=a_1+a_2=2a_1。n=3时，a_3+a_4=2S_3=2(a_1+a_2+a_3)=2a_1+2a_2+2a_3=>a_4=a_1+a_2+a_3=3a_1。a_1=2,a_2=4,a_3=10,a_4=18,a_5=28。或用公式a_n=a_1+(n-1)d+(n-2)d/2=2+(n-1)2+(n-2)2/2=2+2n-2+n-1=3n-1。a_3=3*3-1=8。此处推导有误，重新推导a_3：a_1=2,a_2=4。a_3=2S_2-a_2=2(a_1+a_2)-a_2=2(a_1+a_2-a_2)=2a_1=4。a_4=2S_3-a_3=2(a_1+a_2+a_3)-a_3=2(a_1+a_2)=2*6=12。a_5=2S_4-a_4=2(a_1+a_2+a_3+a_4)-a_4=2(a_1+a_2+a_3)=2*10=20。a_3=8。

3.解：圆心(1,2)，半径r=2。直线y=2x+1=>-2x+y-1=0。圆心到直线距离d=|-2*1+2-1|/√((-2)^2+1^2)=|-2+2-1|/√5=|-1|/√5=√5/5。d<r=>√5/5<2=>5<4√5=>1<4√5/5=>1<4√5/5=>5<4√5=>√5>5/4。故相交。设交点为(x₁,y₁),(x₂,y₂)。联立方程组{x=1,y=2x+1;(x-1)^2+(y-2)^2=4}=>{x=1,y=3;(1-1)^2+(3-2)^2=4}=>{x=1,y=3;0+1=1}。故交点为(1,3)和(1,3)。错误，重新计算。联立方程组{x=1,y=2x+1;(x-1)^2+(y-2)^2=4}=>{y=2x+1;(x-1)^2+(2x+1-2)^2=4}=>{y=2x+1;(x-1)^2+(2x-1)^2=4}=>x^2-2x+1+4x^2-4x+1=4=>5x^2-6x+2=4=>5x^2-6x-2=0。解得x=(6±√(36+40))/10=(6±√76)/10=(6±2√19)/10=3±√19/5。x₁=3+√19/5,y₁=2x₁+1=2(3+√19/5)+1=6+2√19/5+1=7+2√19/5。x₂=3-√19/5,y₂=2x₂+1=2(3-√19/5)+1=6-2√19/5+1=7-2√19/5。故交点为((3+√19)/5,(7+2√19)/5)和((3-√19)/5,(7-2√19)/5)。

4.解：|z|=√(a^2+b^2)=√2=>a^2+b^2=2。arg(z)=π/4=>tan(π/4)=b/a=1=>b=a。代入a^2+a^2=2=>2a^2=2=>a^2=1=>a=±1。若a=1,b=1，z=1+i。z的平方根为α+βi。α^2-β^2+2αβi=1+