北师大版2025-2026高二数学期末卷子

北师大版2025-2026高二数学期末卷子姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

北师大版2025-2026高二数学期末卷子

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域是()

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-∞,1]∪[3,+∞)D.R

2.若向量a=(1,k),b=(2,-1),且a⊥b,则k的值为()

A.-2B.2C.-1/2D.1/2

3.已知等差数列{aₙ}中,a₁=5,公差d=2,则a₅的值为()

A.11B.13C.15D.17

4.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是()

A.πB.2πC.π/2D.4π

5.抛掷一枚质地均匀的骰子,出现点数为偶数的概率是()

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6

6.已知圆O的方程为(x-1)²+(y+2)²=4,则圆心坐标为()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(-2,1)

7.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上,且顶点在x轴上,则下列说法正确的是()

A.a>0,b²-4ac=0B.a<0,b²-4ac>0C.a>0,b²-4ac<0D.a<0,b²-4ac=0

8.已知点A(1,2),B(3,0),则向量AB的坐标表示为()

A.(2,-2)B.(-2,2)C.(3,-2)D.(-2,3)

9.不等式|2x-1|<3的解集是()

A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-4,1)

10.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0平行,则a的值为()

A.-2B.1C.-1D.2

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若函数f(x)=√(x-1)的定义域为[2,m],则m的值为________

2.已知向量a=(3,4),b=(x,2),且2a-b=(5,8),则x的值为________

3.等比数列{bₙ}中,b₁=2,公比q=-3,则b₄的值为________

4.函数f(x)=cos(π-x)的图像关于哪条直线对称________

5.从5名男生和4名女生中任选3人参加比赛,则选出的3人中恰好有2名女生的概率是________

6.圆(x-2)²+(y+3)²=9的圆心到直线3x-4y+5=0的距离是________

7.已知函数f(x)=x³-3x+1,则f(x)在x=1处的导数f'(1)的值为________

8.不等式组{x|x>1}∩{x|x<4}的解集是________

9.已知直线l₁:y=kx+1与直线l₂:y=-2x+3相交于点P,且∠OPP₁=90°,则k的值为________

10.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,边a=√3,则边b的值为________

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中,在其定义域内是增函数的有()

A.y=-2x+5B.y=x²+1C.y=log₁/2(x+1)D.y=sin(x+π/6)

2.已知点A(1,2),B(3,-2),C(2,1),则下列说法正确的有()

A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是直角三角形C.AB的垂直平分线方程为x=2D.BC的斜率为-3

3.关于x的不等式ax²+bx+c<0的解集为(-1,2),则下列说法正确的有()

A.a>0B.b²-4ac>0C.c=0D.a<0

4.下列命题中,真命题的有()

A.若a>b,则a²>b²B.若sinα=sinβ,则α=βC.若直线l₁⊥l₂,则l₁的斜率与l₂的斜率之积为-1D.若|a|=|b|,则a=±b

5.已知圆C₁:(x-1)²+(y+1)²=4与圆C₂:(x+1)²+(y-1)²=9,则下列说法正确的有()

A.两圆相交B.两圆相切C.两圆相离D.两圆的公共弦所在直线方程为x-y=0

6.下列函数中,是奇函数的有()

A.y=-xB.y=x³C.y=sin(x)D.y=x²+1

7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|,则下列说法正确的有()

A.f(x)的最小值为2B.f(x)是偶函数C.f(x)的图像关于x=0对称D.f(x)在x=0处取得最小值

8.从6名男生和4名女生中任选5人参加比赛,则选出的5人中至少有3名男生的概率是()

A.1/2B.3/5C.2/3D.4/5

9.已知直线l₁:y=kx+1与直线l₂:y=-2x+3相交于点P,且∠OPP₁=90°,则下列说法正确的有()

A.k=2B.k=-2C.OP=OP₁D.P的横坐标为2/3

10.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,边a=√3,则下列说法正确的有()

A.边b=2B.边c=2√2C.△ABC是直角三角形D.角C=75°

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=|x|在定义域内是偶函数()

2.若a²=b²,则a=b()

3.数列1,3,5,7,...是等差数列()

4.直线y=x与直线y=-x互相垂直()

5.已知点A(1,2),B(3,0),则向量AB的模为√8()

6.不等式|3x-1|>2的解集为(-∞,-1/3)∪(1,+∞)()

7.函数f(x)=sin(2x)的最小正周期是π()

8.圆(x-1)²+(y+2)²=4的圆心到原点的距离为√5()

9.已知函数f(x)=x³-ax+1,若f(1)=0,则a=2()

10.从6个不同元素中任取3个元素的组合数为20()

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=√(x-1)+√(3-x)的定义域()

2.已知向量a=(3,-2),b=(1,k),若a平行于b,求k的值()

3.写出等比数列{bₙ}的前n项和公式Sₙ,其中b₁=2,公比q=-2()

4.求函数f(x)=cos(π/3-x)的最小正周期()

5.从5名男生和3名女生中任选2人参加比赛,求选出的2人中恰好有1名女生的概率()

6.求圆(x-2)²+(y+1)²=9的圆心到直线3x+4y-5=0的距离()

7.已知函数f(x)=x²-4x+3,求f(x)在x=2处的导数f'(2)()

8.解不等式2x-3>x+1()

9.已知直线l₁:y=2x+1与直线l₂:y=kx-3相交于点P,且P在x轴上,求k的值()

10.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,边a=√6,求边b的长度()

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域要求x²-2x+3>0。解不等式(x-1)²+2>0，该不等式恒成立，所以定义域为R。但题目选项有误，正确答案应为R。

2.A

解析：向量a=(1,k),b=(2,-1)垂直，则a·b=1×2+k×(-1)=0，解得k=-2。

3.D

解析：等差数列{aₙ}中，a₁=5,公差d=2，则a₅=a₁+4d=5+4×2=13。

4.A

解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.A

解析：抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为偶数（2,4,6）的概率为3/6=1/2。

6.A

解析：圆O的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，标准形式为(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)是圆心坐标，r是半径。所以圆心坐标为(1,-2)。

7.A

解析：函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，则a>0。顶点在x轴上，则判别式△=b²-4ac=0。所以a>0且b²-4ac=0。

8.A

解析：向量AB的坐标表示为终点B的坐标减去起点A的坐标，即(3-1,0-2)=(2,-2)。

9.C

解析：解绝对值不等式|2x-1|<3，转化为-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2。解集为(-1,2)。

10.B

解析：直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0平行，则斜率相等。l₁的斜率为-ax/2，l₂的斜率为-x/(a+1)。所以-ax/2=-x/(a+1)，且a+1≠0。解得a=1。

二、填空题答案及解析

1.3

解析：函数f(x)=√(x-1)的定义域要求x-1≥0，即x≥1。题目给出定义域为[2,m]，所以m≥1。又因为定义域为[2,m]，所以m=3。

2.1

解析：向量a=(3,4),b=(x,2),2a-b=(6-x,8-2)=(5,8)。根据向量相等，有6-x=5且8-2=8。解得x=1。

3.-54

解析：等比数列{bₙ}中，b₁=2,公比q=-3，则b₄=b₁q³=2×(-3)³=2×(-27)=-54。

4.x=0

解析：函数f(x)=cos(π-x)=-cos(x)。cos(x)的图像关于y轴对称，即x=0对称。所以f(x)=-cos(x)的图像关于x=0对称。

5.8/39

解析：从5名男生和4名女生中任选3人，总的选法数为C(9,3)=9×8×7/(3×2×1)=84。选出的3人中恰好有2名女生，则选法数为C(4,2)×C(5,1)=6×5=30。所以概率为30/84=15/42=5/14。题目选项可能有误，正确概率为5/14。

6.5

解析：圆(x-2)²+(y+3)²=9的圆心为(2,-3)，半径为√9=3。直线3x-4y+5=0的距离公式为|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)，其中(x₀,y₀)是圆心，A、B、C是直线方程系数。距离为|3×2-4×(-3)+5|/√(3²+(-4)²)=|6+12+5|/√(9+16)=23/√25=23/5。题目选项可能有误，正确距离为23/5。

7.-2

解析：函数f(x)=x³-3x+1，求导得f'(x)=3x²-3。所以f'(1)=3×1²-3=3-3=0。题目选项可能有误，正确导数为0。

8.(1,4)

解析：集合{x|x>1}表示所有大于1的实数，即(1,+∞)。集合{x|x<4}表示所有小于4的实数，即(-∞,4)。它们的交集为(1,4)。

9.-2

解析：直线l₁:y=kx+1与直线l₂:y=-2x+3相交于点P，则P点的坐标(x,y)满足两直线方程。联立方程得kx+1=-2x+3，解得x=(3-1)/(k+2)=2/(k+2)。又因为∠OPP₁=90°，其中P₁(0,1)是l₁在y轴的截距点，P(x,kx+1)。向量OP=(x,kx+1)，向量PP₁=(-x,-kx)。OP·PP₁=x(-x)+(kx+1)(-kx)=0，即-x²-k²x²-kx=0，x²(k²+1)+kx=0。因为x≠0，所以x(k²+1)+k=0，x=-k/(k²+1)。比较两种x的表达式，2/(k+2)=-k/(k²+1)。两边乘以(k+2)(k²+1)得2(k²+1)=-k(k+2)，2k²+2=-k³-2k。移项得k³+4k²+2=0。尝试k=-2，(-2)³+4(-2)²+2=-8+16+2=10≠0。尝试k=-1，(-1)³+4(-1)²+2=-1+4+2=5≠0。尝试k=0，0³+4(0)²+2=2≠0。尝试k=-3，(-3)³+4(-3)²+2=-27+36+2=11≠0。题目条件可能有误，无法解出k。或者题目意为两条直线垂直，则k×(-2)=-1，解得k=1/2。但k=1/2时，交点P坐标为(2/3,5/3)，OP=(2/3,5/3),PP₁=(-2/3,-1/3)，OP·PP₁=(2/3)(-2/3)+(5/3)(-1/3)=-4/9-5/9=-9/9=-1，垂直条件成立。但k=1/2与选项-2矛盾。题目条件或选项可能有误。如果题目条件为两条直线垂直，则k×(-2)=-1，解得k=1/2。如果题目条件为∠OPP₁=90°且P在x轴上，则P坐标为(x,0)，OP=(x,0),PP₁=(-x,-1)，OP·PP₁=0，解得x=0，P(0,0)，此时l₁过原点，l₁方程为y=1/2x+1，l₂方程为y=-2x+3，相交于(2/3,5/3)，垂直条件不成立。题目条件复杂且可能存在矛盾或错误。

10.2

解析：在△ABC中，角A=60°,角B=45°,边a=√3。由内角和定理，角C=180°-60°-45°=75°。由正弦定理，a/sinA=b/sinB，即√3/sin60°=b/sin45°。sin60°=√3/2,sin45°=√2/2。所以√3/(√3/2)=b/(√2/2)，2=b√2/2，b=2√2/√2=2。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：函数y=-2x+5是直线，斜率为-2<0，在其定义域R内是减函数。函数y=log₁/₂(x+1)是指数函数底数为1/2<1，在其定义域(-1,+∞)内是减函数。函数y=x²+1是二次函数，开口向上，对称轴为x=0，在(-∞,0)内减，在(0,+∞)内增。函数y=sin(x+π/6)是正弦函数的平移，周期为2π，在其定义域R内不单调。所以只有A和C在其定义域内是减函数。

2.A,B,C

解析：点A(1,2),B(3,-2),C(2,1)。计算向量AB=(3-1,-2-2)=(2,-4)，向量BC=(2-3,1-(-2))=(-1,3)。向量CA=(1-2,2-1)=(-1,1)。向量模|AB|=√(2²+(-4)²)=√20=2√5，|BC|=√((-1)²+3²)=√10，|CA|=√((-1)²+1²)=√2。AB²=20,BC²=10,CA²=2。AB·BC=2×(-1)+(-4)×3=-2-12=-14。AB·CA=2×(-1)+(-4)×1=-2-4=-6。BC·CA=(-1)×(-1)+3×1=1+3=4。因为AB·BC≠0，所以AB和BC不垂直。因为AB·CA≠0，所以AB和CA不垂直。因为BC·CA≠0，所以BC和CA不垂直。检查边长关系，|AB|²+|BC|²=20+10=30，|CA|²=2²+1²=2，30≠2，所以不是直角三角形。检查边长关系，|AB|²+|CA|²=20+2=22，|BC|²=10，22≠10，所以不是直角三角形。检查边长关系，|BC|²+|CA|²=10+2=12，|AB|²=20，12≠20，所以不是直角三角形。因此△ABC不是直角三角形。AB的垂直平分线过AB中点(1+3)/2,(2-2)/2=(2,0)，垂直于AB，斜率为-1/(AB的斜率)=-1/(2/(-4))=-1/(1/2)=-2。所以方程为y-0=-2(x-2)，即y=-2x+4。整理为2x+y-4=0。与x=2比较，不相等。所以C不正确。BC的斜率为(1-(-2))/(2-3)=3/(-1)=-3。所以B正确。综上所述，正确选项为A和B。注意：题目判断B选项为“直角三角形”是错误的，根据计算，△ABC不是直角三角形。

3.B,D

解析：关于x的不等式ax²+bx+c<0的解集为(-1,2)。首先解集不是无穷或空集，所以a≠0。解集为开区间，说明二次函数图像开口向下，即a<0。解集为(-1,2)，说明二次方程ax²+bx+c=0有两个实根x=-1和x=2。根据韦达定理，根的和为-1+2=1=-b/a，根的积为(-1)×2=-2=c/a。所以-b/a=1且c/a=-2。b²-4ac=(-b/a)²-4(c/a)=1²-4(-2)=1+8=9>0。所以B正确。因为a<0，所以c/a=-2>0，说明c>0。所以D正确。a<0，所以A正确。综上，A、B、D正确。但题目要求选出“正确的有”，选项只给了B和D。

4.D

解析：A.若a>b,则a²>b²。反例：a=1,b=-2，a>b但a²=1,b²=4，a²>b²不成立。所以A是假命题。

B.若sinα=sinβ,则α=β。反例：sin30°=sin150°=1/2，但30°≠150°。所以B是假命题。

C.若直线l₁⊥l₂,则l₁的斜率与l₂的斜率之积为-1。条件是两条直线垂直，l₁斜率为k₁，l₂斜率为k₂。如果l₁或l₂中有一条垂直于x轴（斜率不存在），则另一条水平（斜率为0），它们的乘积是0，不为-1。所以C是假命题。

D.若|a|=|b|,则a=±b。绝对值相等，说明a和b到原点的距离相等，所以它们要么相等，要么互为相反数。所以D是真命题。

5.A,D

解析：圆C₁:(x-1)²+(y+1)²=4的圆心为O₁(1,-1)，半径r₁=2。圆C₂:(x+1)²+(y-1)²=9的圆心为O₂(-1,1)，半径r₂=3。计算圆心距|O₁O₂|=√[(1-(-1))²+(-1-1)²]=√(2²+(-2)²)=√(4+4)=√8=2√2。比较圆心距与半径和、差：r₁+r₂=2+3=5，r₂-r₁=3-2=1。因为|O₁O₂|=2√2≈2.83，且1<2√2<5，所以两圆相交。所以A正确。两圆相交，则存在公共弦。设公共弦所在直线为l，圆心O₁到直线l的距离d₁=|1×1+(-1)×1+1|/√(1²+(-1)²)=|1-1+1|/√2=1/√2。圆心O₂到直线l的距离d₂=|-1×1+1×1+4|/√((-1)²+1²)=|-1+1+4|/√2=4/√2=2√2。两圆半径分别为2和3，所以公共弦长不为0。直线l的方程可以通过两圆方程相减得到：(x²-2x+1+y²+2y+1)-(x²+2x+1+y²-2y+1)=4-9，-4x+4y=-5，即4x-4y+5=0。整理为x-y+5/4=0。令x-y=0，得y=x。所以公共弦所在直线方程为x-y=0。所以D正确。综上所述，A和D正确。

6.A,B,C

解析：A.y=-x。f(-x)=-(-x)=x=-f(x)。所以是奇函数。

B.y=x³。f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)。所以是奇函数。

C.y=sin(x)。f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。所以是奇函数。

D.y=x²+1。f(-x)=(-x)²+1=x²+1=f(x)。所以是偶函数。

所以A、B、C是奇函数。

7.A,B,C

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|。当x<-1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2。当-1≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2。当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x。所以f(x)在[-1,1]区间内恒为2，在其他区间内为增函数。最小值为2，当x∈[-1,1]时取到。所以A正确。f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x)。所以是偶函数。所以B正确。偶函数的图像关于y轴对称，即关于x=0对称。所以C正确。f(x)在x=0处取得值f(0)=|0-1|+|0+1|=1+1=2。但最小值在区间[-1,1]上取得，不在x=0处唯一取得。所以D不正确。综上所述，A、B、C正确。

8.A,B,C,D

解析：从6名男生和4名女生中任选5人参加比赛，总的选法数为C(10,5)=10×9×8×7×6/(5×4×3×2×1)=252。选出的5人中至少有3名男生，包含以下情况：3男2女，选法数为C(6,3)×C(4,2)=20×6=120。4男1女，选法数为C(6,4)×C(4,1)=15×4=60。5男0女，选法数为C(6,5)×C(4,0)=6×1=6。所以至少有3名男生的选法数为120+60+6=186。所以概率为186/252。化简：186/252=(2×93)/(2×126)=93/126=(3×31)/(3×42)=31/42。所以概率为31/42。选项A1/2=21/42，B3/5=24/40=48/80=24/40，C2/3=80/120=40/60，D4/5=80/100=80/100。31/42与所有选项都不相等。题目选项可能有误，或者计算有误。但根据计算，正确概率为31/42。

9.A,D

解析：直线l₁:y=kx+1与直线l₂:y=-2x+3相交于点P，则P点的坐标(x,y)满足两直线方程。联立方程得kx+1=-2x+3，解得x=(3-1)/(k+2)=2/(k+2)。此时y=kx+1=k(2/(k+2))+1=2k/(k+2)+1=(2k+k+2)/(k+2)=(3k+2)/(k+2)。所以P(2/(k+2),(3k+2)/(k+2))。又因为∠OPP₁=90°，其中P₁(0,1)是l₁在y轴的截距点，P(x,kx+1)。向量OP=(x,kx+1)，向量PP₁=(-x,-1)。OP·PP₁=x(-x)+(kx+1)(-1)=-x²-kx-1=0。整理得x²+kx+1=0。根据判别式Δ=k²-4≥0，解得k≤-2或k≥2。将x=2/(k+2)代入x²+kx+1=0得(2/(k+2))²+k(2/(k+2))+1=0。4/(k+2)²+2k/(k+2)+1=0。通分得(4+2k(k+2)+(k+2)²)/(k+2)²=0。4+2k²+4k+k²+4k+4=0。3k²+8k+8=0。因式分解(3k+4)(k+2)=0。解得k=-4/3或k=-2。因为k≤-2或k≥2，所以只有k=-2满足条件。当k=-2时，交点P坐标为(2/(0),(3(-2)+2)/(0))，即(0,-4/0)，无意义。所以k=-2不满足条件。题目条件可能有误。或者题目意为两条直线垂直，则k×(-2)=-1，解得k=1/2。此时交点P(2/3,5/3)。向量OP=(2/3,5/3),PP₁=(-2/3,-1/3)，OP·PP₁=(2/3)(-2/3)+(5/3)(-1/3)=-4/9-5/9=-9/9=-1，垂直条件成立。所以k=1/2可能是题目意图。但k=1/2与选项A-2矛盾。题目条件或选项可能有误。

10.A,B

解析：在△ABC中，角A=60°,角B=45°,边a=√3。由内角和定理，角C=180°-60°-45°=75°。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。a/sinA=√3/sin60°=√3/(√3/2)=2。所以b/sinB=2，c/sinC=2。b=2sinB=2sin45°=2×√2/2=√2。c=2sinC=2sin75°。sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。所以c=2×(√6+√2)/4=(√6+√2)/2。所以边b的长度为√2。边c的长度为(√6+√2)/2。题目选项可能有误，正确边b长度为√2，边c长度为(√6+√2)/2。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：函数y=|x|的定义域为(-∞,+∞)。f(-x)=|-x|=|x|=f(x)。所以是偶函数。

2.×

解析：若a²=b²,则a=±b。例如a=2,b=-2，a²=4,b²=4，但a≠b。

3.√

解析：数列1,3,5,7,...从第二项开始，每一项与前一项的差为3-1=2，5-3=2，7-5=2，...。所以是等差数列，公差为2。

4.√

解析：直线y=x的斜率为1。直线y=-x的斜率为-1。两条直线的斜率乘积为1×(-1)=-1。所以它们互相垂直。

5.√

解析：点A(1,2),B(3,0)。向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)。向量AB的模|AB|=√(2²+(-2)²)=√(4+4)=√8=2√2。

6.√

解析：解绝对值不等式|3x-1|>2。转化为3x-1>2或3x-1<-2。解得x>1或x<-1/3。解集为(-∞,-1/3)∪(1,+∞)。

7.√

解析：函数f(x)=sin(2x)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

8.√

解析：圆(x-1)²+(y+2)²=4的圆心为(1,-2)，半径为√4=2。圆心到原点(0,0)的距离d=√[(1-0)²+(-2-0)²]=√(1+4)=√5。

9.×

解析：函数f(x)=x³-ax+1，若f(1)=0，则1³-a×1+1=0，即1-a+1=0，解得a=2。题目问a的值，但没有问是否满足f(1)=0的条件，所以不能直接断定a=2。如果题目隐含f(1)=0，则a=2。如果题目只问a的值，则无法确定。按题目字面意思，不能