清华附中高中数学精练 集合、函数、三角与向量答案

预备知识 1第一章集合 3第二章函数 30第四章基本初等函数(Ⅱ) 38 54第六章三角恒等变换 64 750.1因式分解基础因式分解：0.2因式分解进阶(3)(x-1)²(x+2);(4)(x-1)²数解.3.x=0,y=3;x=3,y=0;x=1,y=1x=-5,y=-2;x=-2,y=-5.提示：原式可化为(x+1)(y+1)=4.可得3xy-14x-7y=0,因式分解得(3x-7)(3y—14)=98,即或或2y-4=0时，有解；当x+2y+3=0时，无解.故x+2y=4.0.3立方公式与根式1.(1)x³-2x²+5x;(2)x³2.(1)(x—3y)(x²+3xy+9y²);(a+b)(a²—ab+b²+1).4.(1)x-1+2-x=1;(2)2x-1-x+欲证欲证a+b-2√ab<a—b,b<√ab,b²<ab,b<a,该不等式0.4韦达定理2.7;1.0.5直线与抛物线的位置关系基础a>0,b>0时，函数y=ax²的图像开口向上，顶点在原点；函数y=ax+b的图像经过第一、三、四象限，故选项A,B错误，不符合题意；当a<0,b<0时，函数y=ax²的图像开口向下，顶点在原点，函数y=ax+b的图像经过第二、三、四象限，故选3-6,解得a=1,所以y=x²+x—6,对称轴直线为,故A错误；令y=0,x²+x-6=0,解得x₁=-3,x₂=2,所以AB=2—(一3)=5,所以A,B两点之间的距离为5,故C正确；由图像可知当时，y的值随x值的增大而增大，故D错误.3.D.提示：因为抛物线y=ax²—a(a≠O)与直线y=kz交于A(z₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，所以kx=az²-a,ax²-答案详解综上，直线y=ax+k一定经过第一、四象限.故选D.4.C.提示：平移后得到的二次函数的解析式为y=—(x—5.B.提示：对于①,因为直线y₁=mx+n与抛物线y₂=ax²+bx-3相交于点A,B,所以由图像可知：当-2<x<3时，直线y₁=mx+n在抛物线y₂=ax²+bx-3的上方，所以y₁>y₂,所以①正确.对于②,由图像可知：抛物线y₂=ax²+bx-3有两个交点，所以方程ax²+bx-3=0有两个不相等的实数根.所以x=3是方程ax²+bx-3=0的一个解，所以②正确.对于③,将点(-2,5)和点(3,0)代入y=ax²+bx-3得解得所以抛物线解析式为y=x²-2x-3.对于④,由③可知(-2,5)与点(4,5)关于对称轴x对称，所以对称轴将x=1代入抛物线解析式得时，一4≤y<5.所以④错误.6.分析：第(2)问要分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点.提示：(1)把点A的坐标代入解析式得,所以抛物线的解析式为所以点C的坐标为(0,4),点B的坐标为(1,0).(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①若AC为对角线，设AC的中点为F,则根据中点坐标公式可得F的坐标为,设点D的坐标为(a,b),则有解得a=—4,b=4,此时点D的坐标为(-4,4).②若以AB为对角线，设AB的中点为F,则F的坐标为(-1,0),设点D的坐标为(a,b),则有解得a=-2,b=-4,此时点D的坐标为(-2,-4).③若以BC为对角线，设BC的中点为F,则点F的坐标解得a=4,b=4,此时点D的坐标为(4,4),综上所述，点D的坐标为(-4,4)或(-2,-4)或(4,4).7.提示：(1)由题意得，抛物线的表达式为y=a(x+1)物线的表达式为y=-x²+2x+3.(2)由点B和点C的坐标得，y轴的平行线交CB于点H,设点P(x,-x²+2x+3),面积的最大值为,此时点0.6直线与抛物线的位置关系进阶1.B.提示：一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象的图像开口方向向下，对称轴在y轴右侧，交坐标轴于(0,0)点.2.C.提示：从图像可以看出，两个交点坐标分别为(-2,0),(1,3),所以当y₂>y₁时，有-2<x<1.3.C.提示：如图所示，直线y=m与x轴重合或位于顶点A的下方时，直线与新图像有2个交点，当直线y=m不与x轴重合时，由y=-x²+x+6=4.B.提示：因为经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的为自变量)与x轴有交点，所以第一章集合所以b=c+1=2,所以AB=|(4b+c-1)一(2—3b)|=12.5.C.提示：一次函数Y₃过点A(一1,—2),B(2,1),则解析式为Y₃=x—1.对于①,当x<-1时，Y₁,Y₂,Y₃中最小的函数值为Y₁,对于②,当-1<x<0时，Y₂<Y₃<Y₁,故②正确；对于③,当0<x<2时，M无最小值和最大值，故③错误；对于④,当x≥2时，Y₁,Y₂,Y₃中最小的函数值为Y₁,则M最大值是1,无最小值，故④正确.6.提示：(1)因为抛物线与x轴交于A(1,0)和B(一5,0)两点，所以抛物线对称轴为直线在y=(一2,9).设抛物线函数解析式为y=a(z+2)²+9,将A(1,0)代入得0=9a.+9,解得a=-1,所以抛物线解析5).由B(-5,0),C(0,5)得直线BC解析式为y=x+5,所以E(m,-m²—4m+5),F(.当时，EF取最大值,所以m的值为一,EF的最大值为7.提示：(1)因为直线6与x轴交于点A,y轴交于点B,(2)设则可设抛物线的解析式为,因为抛物线M经过点B,将B(0,6)代入得：6,因为m≠0,所以,即,所以将,整理得y=(p,0),因为点C,B分别平移至点P,D,所以点B,点C向下平移的距离相同，所以,解得m=-4.由(2)知,所以,所以抛物线N的解析式以抛物线N的解析式为：(x+4√2)².1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.D.提示：集合的元素具有“确定性”“互异性”“无序性”,选2.A.提示：对于①,集合N中的最小数为0,所以①错误；③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2,因为当a=b=0④所有小的正数组成一个集合错误，违背集合中元素的确定性，所以④错误.5.D.提示：由集合中元素的互异性，可知a,b,c互不相等，故选D.6.D.提示：对于①,x,y,z全部为负数时，则xyz也为负对于②,x,y,z中有一个为负数时，则xyz为负数，则对于③,x,y,z中有两个为负数时，则xyz为正数，则对于④,x,y,z全部为正数时，则xyz也正数，则7.①④⑤.提示：①不超过2π的正整数的全体是确定的，能构成集合，所以选项①正确；②高一数学课本中的所有难题是不确定的，所以构不成答案详解③中国的大城市是不确定的，所以选项③不正确；④平方后等于自身的实数是0和1,所以选项④正确；⑤高一(2)班中考500分以上的学生的全体是确定的，能构成集合，所以选项⑤正确.8.(1)丈；(2)∈;(3)丈；(4)∈;(5)∈;(6)∈.几个实数均为0;当x<0时，它们分别是x,一x,一x,一x,故元素最多有10.(3,+∞).提示：关于x的不等式x-a≥0的解集为A,11.分析：由已知2是集合M的元素，分类讨论列出方程，求出x的值，将x的值代入集合，检验集合的元素需满足互x—2=0,x=-2或x=1.经检验，x=-2,x=1均不合题意.x=-3或x=2均合题意.12.8.提示：当a=0时，由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;当a=2时，由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;当a=5时，由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.由集合元素的互异性可知，P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.因为-1∈A,所以因为,所以所以A中另外两个元素为-1,无实数解.所以,所以A不可能为单元素集.1.1.2集合的表示方法集合{0}中有一个元素0,所以B不正确；{1,2}与{2,1}是相等的两个集合，所以D不正确.2.A.提示：在A中，{x|x是不大于9的非负奇数},表示的是集合{1,3,5,7,9},故A正确；在B中，{x|1≤x≤9},表示的集合是1≤x≤9的实数集，在C中，{x|x≤9,x∈N},表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故C错误；在D中，{x∈Z|o≤x≤9},表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D错误.3.C.提示：在x轴上的点(x,y),必有y=0;在y轴上的点(x,y),必有x=0.所以xy=0.所以直角坐标系中，x轴上的点的集合{(x,y)ly=0},y轴上的点的集合{(x,y)|x=0},所以坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|y=0}U{(x,y)|x=0}={(x,y)|xy=0}.4.D.提示：根据集合的定义和表示方法分别进行判断.5.D.提示：设A={1,2},B={0,2},则集合A*B中的元素可能为：0,2,0,4,又由集合元素的互异性，可知A*B={0,2,4},故所有元素之和为6.6.B.提示：A两个集合的元素不相同，点的坐标不同，C中元素为数，B两个集合的元素相同.7.③⑤⑥.提示：由题意可知方程组的解为8.0,1,2.提示：因为A={(x,y)lax-y≤3}且(2,1)∈A,9.9.提示：因为集合M={x∈N|8-x∈N},所以x≥0且8-x≥0,且x为整数，所以0≤x≤8,且x为整数，所以M中元素是0,1,2,3,4,5,6,7,8,共9个.10.1.提示：由集合相等的概念得解得a=1,经检验成立.11.(答案不唯一)提示：(1){能被3整除，且小于10的正数}={3,6,9}.(2){x|x=lxl,x<5,且x∈(3){(x,y)|x+y=6,x∈N",y∈N*}={(1(4){-3,-1,1,3,5}={x|x=2k—1,-1≤k≤3,k∈Z}.13.提示：(1)因为a∈A,b∈B;所以分别存在n₁,n₂∈z使得：a=3n₁+1,b=3n₂+2;而集合C中的条件是x=6n+3=3·2n+3,(2)要使a+b∈C,则n₁+n₂=2n,这显然不一定；所以不一定有a+b=c且c∈C.1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；在④中，若A,则A≠,故④正确.因为M={-1,0,1},所以NM.3.A.提示：因为集合A={xlx≥0},且BSA,所以集合B是集合A的子集，当集合B={1,2}时，满足题意，当集合B={x|x≤1}时，-1∉A,不满足题意，当集合B={-1,不满足题意.5.B.提示：因为集合A={xla-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},又A≥B,所以解得3≤a≤4.6.B.提示：依次对六个关系式判断，注意集合符号的应用.点(x,y)为直线y=x上的所有点.,可知x≠0,因此B中的点(x,y)为直线y=x上去掉(0,0)后剩下的所有点.所以a=2k,k∈Z;又{x|2x-a=0,x∈Z}{xl-1<x<3};所以—2<a<6,又a=2k,k∈所以a=0,2,4;所以a的所有取值组成的集合为{0,2,4}.10.6.提示：因为集合A{0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数，所以满足条件的集合A可以为{0},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2},共6个.11.a=-1,b=0.提示：因为集合A={1,a,b},B={a,a²,则a=-1,b=0,此时A=B={-1,0,1}满足条件；若1=ab且b=a²,则a=b=1不满足条件，综上所述：a=-1,b=0.12.0或1或—1.提示：若集合A有且仅有两个子集，则方程A的子集是A和空集，a≠0时，方程ax²+2x+a=0是一元二次方程，△=4-4a²=0,解得：a=±1,所以A={1},或A={-1},A的子集是A和空集.1.2.2集合的运算(一)故②正确；若ASB,则AUB=B正确；若AUB=A,则BSA,A∩B=B,2},所以AUB={x|x<0,或x≥1}.4.A.提示：因为全集U=R,A={x∈N|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={x|x²+x-6=所以A∩B={2}.5.C.提示：因为集合A={x|x≤-1或x≥3},B={xla<x<4},且AUB=R,所以a∈(-∞,-1).6.B.提示：满足条件MU{1}={1,2,3}的集合M,M必须包含元素2,3,所以不同的M集合，其中的区别就是是否包含元素1.那么M可能的集合有{2,3}和{1,2,3}.7.A∩B={(2,1)}.提示：由题意得解得8.[-1,+∞].提示：由交集的运算可得答案.x²},所以x²=0,或x²=2,或x²=x时，得x=0或x=1,集合A均违背元素互异性，所以x²≠x.x=±√6,A∩B={1,5}.16-4a<0,所以a>4.答案详解当△>0时，若1,2是方程x²-4x+a=0的根，由根与系综上所述，a的取值范围是[4,+∞].1.2.3集合的运算(二)1.C.提示：集合的交集运算.2.D.提示：用集合的交集运算可求得结果.N=N,所以NSM,则CuMCuN.4.A.提示：因为全集U={xl-1≤x≤3},A={x∈UI-1<x<3},B={x∈R|x²—2x-3=0}={-1,3},所以集合5.B.提示：图中阴影部分左边部分是集合M与集合P的补集的交集，图中阴影部分右边部分是集合P与集合M的补集的交集，所以图中的阴影部分，可用集合符号表示为((CuM)∩P)U(M∩(CUP)).6.C.提示：因为A={x|x2,所以a的范围为{ala≥2}.7.{2,5,6,7,8,9},{1,2,4,8,9}.提示：用集合的补集运算可求得结果.8.(一∞,0)U[1,+∞].提示：因为全集U=R,A=[0,2],B=[1,3],所以CuA=(-以集合M表示的是直线y=x+1上去掉点(2,3)后的所有点.由N={(x,y)ly≠x+1}可知集合N表示的是坐标平面内不在直线y=x+1上的点.10.8.提示：若CuPES,则P包含U中不属于S的全部元素，S中的元素可包含，也可不包含，故有8种.得到限制p的不等式，解不等式即得p的取值范围.所以实数p的取值范围为(4,+∞).12.分析：先求出CA与CuB,然后结合集合的交集并集的定义即可得到答案.又因为B={x|x<-3或x≥1},13.14.提示：根据题意，英语、日语至少会一门的人数为50一8=42人，设既会英语又会日语的为x人，则只会英语为(36—x)人，只会日语的有(20-x)人，则(36—x)+x+(20-x)=42,得x=14.集合复习课1.D.提示：因为全集I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合M={3,4,5},集合N={1,3,6},所以MUN={1,2,3,6,7,8},M∩N={3};C₁MUCN={1,2,4,5,6,7,C₁N={2,7,8}.2.D.提示：因为集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|a≤3.4.C.提示：两个集合中被包含的集合的补集与包含的集合的并集是全集.5.B.提示：①③错误，②正确.集合A中的元素去掉B中的元素，即A-B是集合A中的元素去掉A∩B.a=-2.为A∩B,另外一部分是C,则对应的关系为(A∩B)U10.5,16.提示：根据题意，若A={1,2,3},B={1,2},则A*B={2,3,4,5},则集合A*B中最大的元素是5,其所有子集的个数为2⁴=16.程x²+(p+2)x+1=0无实数解，即△=(p+2)²-4<0,得—4<p<0;(2)当方程x²+(p+2)x+1=0只有非正根，设方程的两p≥0.满足题意的p的取值范围为(-4,十∞).(2)B={2,3},C={x|x²+2x-8=0}={-4,2},Ø(A∩B),A∩c=x,所以—4∉A,2∈A,3∈A,所以3²-3a+a²—19=0,即a²-3a-10=0,解得a=-213.12.提示：由题意分类讨论可得：若A={1},则B={2,3,4,5,6};若A={2},则B={1B={1,2,4,5,6};若A={45,1},舍去.若A={1,3},则B={2,4,5,6};若A={13,5,6};若A={1,5},则B={2,3,4,6};若A={2,4},则B={1,3,5,6若A={3,5},则B={1,2,4,6};综上可得：有序集合对(A,B)的个数为12.1.3简易逻辑1.3.1全称命题与特称命题的否定1.C.提示：结合量词的定义分别检验各选项.2.B.提示：对于A利用锐角三角形的定义即可判断出真假；对于B,取实数x=0,即可判断出命题的真假；对于C,取—√2+√2=0为实数，即可判断出命题的真假；对于D,利用实数的性质、不等式的性质即可判断出命题的真假.a-1≠0,由1-a≠x在x>0a≥1.6.A.提示：3x₀∈R,x?+axo-4a<0”为假命题，等价于0,解得—16≤a≤0.②真命题，1既不是合数，也不是质数；③真命题，如x=√5,x²=√5为无理数.8.Vn∈N,n²≤2”.提示：利用特称命题与全称命题的否定关系化简即可求出答案.9.3x∈R,x²-2x+4>0.10.答案不唯一.B≠,所以,解得2≤m≤3,即m的取值范围是[2,3].提示：直接利用集合间的关系，空集的应用和不等式组的解法的应用，利用恒成立问题的应用求出结果.12.分析：(1)根据题意，由全称量词命题的否定方法分析可得答案；(2)根据题意，分析P为假命题，q为真命题时m的取值范围，求其交集可得答案.提示：(1)根据题意，命题P:Vx∈R,2x≠-x²+m,是(2)根据题意，若命题P为假命题，所以-P:3x∈R,2x=-x²+m为真命题，即—x²—2x+m=0有实数根，则△=4+4m≥0,所以m≥-1,若命题q为真命题，所以x²+2x-m-1=0有实数根所以△=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2,所以m的取值范围是(-1,+∞).13.分析：(1)分别化简集合A,B,根据命题p为真命题，可得BSA.命题p:“Vx∈B,都有x∈A”,若命题p为真命题，则BSA.通过对B分类讨论即可得出a.(2)若“x∈A是“x∈C”的必要条C分类讨论，进而得出m的取值范围.p:“Vx∈B,都有x∈A”,若命题p为真命题，则BA.①若B={1},则a-1=1,解得a=2.②若B={1,2},则a-1=2,解得a=3.所以a的值为2或3.的值不存在.的值不存在.④C=ø,此时△=m²-8<0,解得-2√2<m<2√2.综上可知：m的取值范围是{m|m=3或-2√2<m<1.3.2充分必要条件1.B.提示：用集合的包含关系进行判断.2.B.提示：利用充分条件和必要条件的定义进行判断.3.A.提示：利用充分条件和必要条件的定义进行判断.4.D.提示：例如，1>-2满足a>b,但不满足a²>b²,再例如(-2)²>1²,满足a²>b²,但不满足a>b,所以“a一b>0”是“a²-b²>0”的既不充分也不必要条件.b”的充分不必要条件.6.B.分析：不等式的性质结合充分必要条件的定义判断得答案.7.必要不充分.提示：不等式结合充分必要条件的判断得答案.答案详解q:x>a,若p是q的充分不必要条件，则a<1.命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.不必要条件.b=0;②a+b=0⇔a=-b;③a(a²+b²)=0⇔a=0a²+b²=0;④ab>0⇔a>0,b>0或a<0,(1)若a,b都为0,则①②③成立，所以使a,b都为0的必要条件是①②③;(2)当④ab>0时，使a,b都不为0,所以使a,b都不为0的充分条件是④;(3)使a,b至少有一个为0的充要条件是①.11.必要不充分；必要不充分；充分不必要；必要不充分.提示：不等式的性质结合充分必要条件的定义判断得答案.12.证明：先证必要性.因为a+b=1,所以b=1-a,所以a³+b³+ab-a²-b²=(a²+b²—ab)(a+b—1).再证充分性.综上所述，a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.13.分析：要证明方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx有公共根的充要条件是A=90°,我们要分充分性和必要共根为m,证明A=90°,两部分均成立才能得结论.于是x²+2ax+b²=0台x²+2ax+a²—c²=0⇔[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,该方程有两根x₁=—(a+c),T₂=—(a—c).该方程亦有两根x₃=—(c+a),x₄=—(c-a).显然x₁=x₃,两方程有公共根.必要性：设方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0的公共根为m,则①+②得m=-(a+c)(m=0舍去).将m=-(a+c)代入(1)式，得[一(a+c)]²+2a·[-(a+c)]+b²=0,整理得a²=b²+c².故结论成立.1.4不等式1.4.1不等关系及不等式证明1.B.分析：利用“作差法”和不等式的性质即可得出.所以—a-a²=-a(1+a)>0,a²-(-a³)=a²(1+a)>0.所以—a>a²>-a³.故选B.2.C.分析：由不等式的性质逐一正确；,故C错误；ab²,故D正确.故选C.3.D.分析：根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.b>c,所以a>c,b>c,所以a+b>2c,故D正确.故选D.4.C.分析：根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.提示：根据题意，依次分析选项：对于C,a>b>0,则ab>0,则有,即,C正确；成立，D错误；故选C.1)²+2>0,然后即可得出x,y的大小关系.(a+1)²+2>0,所以x>y.故选A.7.分析：作差配方即可比较出大小.8.分析：作差即可得出大小关系.提示：因为a≠b,a<0,所以0,所以.故答案为<.9.提示：因为,β∈,所以,所以则的取值范围是.故答案为后根据a的取值范围得出答案.11.(1)a²+b²≥2(2a—b)-5,当且仅当a=2,b=-1时，等号成立；(2)证明详见提示.分析：(1)根据已知条件，结合作差法，即可求解.(2)根据已知条件，结合作差法，即可求解.b=-1时，等号成立.4a²b²=a⁴+b⁴-2a²b²=(a²-b²)²≥0,当且仅当a²=成立，故(a²+b²)²≥4a²b²,当且仅当a=b时等号成立.12.分析：对a分类讨论和利用作差法即可比较出其大小.13.[3,8].分析：直接用x+y,x-y表示出2x-3y,然后由不等式性质得出结论.提示：2x—3y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-,即3≤2x-3y≤8,故答案为[3,8].1.4.2不等式的证明1.D.分析：根据不等式的性质依次判断各个选项即可.对于B,取a=-2,b=1,满足a²>b²,但是a<b,故B错误，对于C,若a>b,根据不等式的性质可知a+c>b+c,故C错误，b,故D正确，故选D.2.A.分析：由不等式的基本性质逐一判断即可.对于B,a>b,则-a<一b,所以3-a<3-b,求解.对于B,0<a<1,则a³-a=a(a²-1)<0,即a³<对于D,令c=-1,b=0,a=1,满足c<b<a且ac<0,但cb²=ab²,故D错误.故选B.4.分析：作差法逐个选项比较大小可得.所以ax+by+cz—(az+by+cx)所以ax+by+cz>az+by+cx;所以ay+bz+cx<ay+bx+cz;所以az+by+cx<ay+bz+cx,所以最低费用为az+5.B.分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可.不是充分条件，所以A错误；对于B,若a>b+1,则a>b成立，即充分性成立，反之若a>b,则a>b+1不一定成立，所以B正确；不是充分条件，所以C错误；对于D,因为a³>b³⇔a>b,则a³>b³是a>b成立的充要条件，所以D错误.故选B.答案详解7.>.分析：由不等式的基本性质即可判断大小.4c>b-4d.故答案为>.8.<.分析：根据分析法即可求解.√7—√5,故答案为<.9.<.分析：作差法比较大小.提示：P-Q=x²-1-2x²+x=-x²+x-1=10.1,2,-1(答案不唯一).分析：直接利用不等式的性质判提示：“若ac>bc,则a>b”为假命题的一组a,b,c的值依次为1,2,-1(答案不唯一).11.分析：利用作差法比较大小即可证明.,原命题得证.(2)左边一右边=a²+2b²—(2ab+4b-5)=(a²—2ab+b²)+(b²—4b+4)+1≥1>0,原命题得证.12.证明：要证√11+2√3>√10+√13,只需要证(√11+2√3)²>(√10+√13)²,即证23+4√33>23+2√130,即证2√33>√130,即证132>130,显然上式成立，原命题得证.13.证明：(分析法)由于x>0,要证,即证,即证,即为显然成立.则有当x>0时，有成立.(反证法)假设存在x>0,,即1+x≥矛盾!则有当x>0时，有成立.1.4.3不等式的解集1.C.分析：通过二次项的系数为负，不等号为正，判断出①解集不为R;通过二次项的系数为正，判别式大于0,判断出②的解集不是R;通过二次项的系数为正，判别式小于0,判断出③解集为R;通过二次项的系数为正，判别式小于0,不等号小于0,判断出④解集不是R.提示：对于①,①-x²+x+1≥0由于二次项的系数为负，所以解集不可能为R;对于②,x²-2√5x+√5>0的判别式为△=20-4√5>0,所以解集不可能为R;对于③,x²+6x+10>0的判别式为△=36-40<0,所以解集为R;对于④,2x²-3x+4<1即为2x²—3x+3<0由于二次项的系数为正，所以解集不可能为R.故选C.2.A.分析：先求出方程6x²+x-2=0的实数根为和,再求出它的解集即可.提示：因为方程6x²+x-2=0的实数根为,所的解集为以不等式6x²+x-2≤0故选A.的解集为3.A.分析：问题转化为二次函数y=x²+ax+4的图像与x轴有两个不同交点，再由判别式大于0求解.提示：因为不等式x²+ax+4<0的解集不是空集，所以二次函数y=x²+ax+4的图像与x轴有两个不同交点，即△=a²-16>0,解得a<-4或a>4.所以实数a的取值范围是{ala<-4或a>4}.故选A.4.B.分析：由定义运算化简不等式x◎(x-2)<0,然后直接求解一元二次不等式得答案.提示：由定义运算◎:a◎b=ab+2a+b,得x◎(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x²+x-2.x²+x-2<0,解得-2<x<1.所以满足x◎(x—2)<0的实数x的取值范围为{x|-2<x<1}.故选B.5.B.分析：根据题意可得日销售金额=(t+10)(-t+35),只需(t+10)(-t+35)≥500,解一元二次不等式即可求解.(一t+35)≥500,解得解集为{t|10≤t≤15,t∈N}.故6.B.分析：设矩形的高为y,由三角形相似可得y=40—x,代人xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案.提示：设矩形的高为y,由三角形相似得·,且40—x,所以x(40-x)≥300,解得10≤x≤30.故选B.7.{x|-7<x<1}.分析：根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.提示：由题意得7—6x-x²>0,即x²+6x-7<0,解得-7<x<1.故答案为{xl-7<x<1}.8.(-∞,—1)U(3,+∞).分析：根据函数的零点与函数的图像与x轴交点的横坐标以及对应方程的实数根，不等式的解集之间的关系，得出结论.提示：根据题意，抛物线f(x)=ax²+bx+c与(af(x)=ax²+bx+c=0的两个实数根是-1和3,所以不等式ax²+bx+c<0(a<0)的解集为(一∞,-1)U(3,十∞).故答案为(-∞,-1)U(3,+∞).9.2.分析：根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程求出m的值.提示：不等式ax²-6x+a²<0的非空解集为{xl1<x<m},所以1和m是方程ax²-6x与系数的关系知，解得m=2或m=-3(不合题意，舍去),所以m=2.故答案为2.10.分析：根据一元二次不等式以及]的定义即可得到结论.提示：不等式4[x]²-36[x]+45<0等价为(2[x]-则2≤x<8,故不等式的解集为(2,8),故答案为(2,8).11.请直接写出下列不等式的解集：(1)(-6,1);(2)(一∞,—1)U(2,+∞);(3)[-1,4];(10)(-∞,0)U(2,1.4.4解含参不等式1.A.分析：由a<-1,把不等式化为,求出该不等式的解集即可.提示：因为a<-1,所以所以关于x的不等所以原不等式的解集是故选A.2.A.分析：根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用判别式，即可得出该不等式的解集情况.(-a)²—4m·(一1)=a²+4m>0,所以关于x的不等式对应的方程有两个不等的实数根，不妨设为x₁,x₂,且x₁<x₂;所以关于x的不等式mx²—ax-1>0(m>0)的解集为{x|x<x₁或x>x₂};故该不等式的解集可能3.A.分析：把不等式化为(x-3a)(x-3a²)≤0,根据0<a<1知3a>3a²,写出不等式的解集即可.提示：不等式x²-3(a+a²)x+9a³≤0可化为(x-3a)(x-3a²)≤0,且不等式对应方程的两根为3a和3a²,由0<a<1知，3a>3a²,所以不等式的解集为{x|3a}.故选A.0,因为a>0,所以该不等式的解集为(-2a,4a)依题意4a—(-2a)=15,所以.故选A.5.B.分析：由新定义将不等式进行变形，再利用参变量分离法，得到a²—a-1<x²—x对任意实数x都成立，构造函数t=x²—x,由二次函数的性质求解最值，即可得到答案.a)],即a²—a-1<x²-x对任意实数x都成立，令t=x²-x,则,所以6.B.分析：先求出一元二次不等式组的解集，再由题意利用二次函数的性质求得实数a的取值范围.提示：因为不等式组的解集是{x|2<x<3},关于x的不等式x²-3x+a<0解集包含{x|2<x<a≤0,故选B.次不等式，然后再求简单的绝对值不等式.者，所以不等式的交集为(一∞,-5)U(5,+∞),故答8.1.分析：将不等式|2x-1|<a去绝对值，可得,由于不等式的解集为(0,1),求出a,再结合韦达定理，即可求解.,又因为不等式|2x-1|<a的解集为(0,1),所且,解得a=1,设x₁,x₂为方程x²一(2a-1)x-2=0的两根，所以由韦达定理，可得x₁+x₂=2a-1=1.故答案为1,9.(1,11).分析：根据题意可知，-2和3为方程—x²-ax+b=0的两个根，利用根与系数的关系，可求得a和b的值，从而代人不等式lax+b|<5中，解绝对值不等式即可得解.提示：由不等式-x²-ax+b≥0的解集为[-2,3],可知-2,3是方程一x²-ax+b=0的两个根，所以a=-1,b=6.答案详解11,即所求不等式的解集为(1,11).故答案为(1,11).10.[-√2,0].分析：根据二次函数的性质求出关于a的不等式组，解出即可.11.提示：(1)原不等式化为ax+1<0,当a=0时，1<0,解,解集为0,解集为{0},当a>0时，a≤x≤5a,解集为[a,5a],当什么;再讨论a≠±2a的取值范围即可.时，应满足的条件是什么,求出对应化为4x-1≥0,其解集为,不满足题意；当a=-2时，不等式化为-1≥0,显然不成立，其解集为Ø,满足题意；解得综上，实数a的取值范围是13.解关于x的不等式ax²+(a+1)x+1>0(a≥0).提示：当a>0时，原不等式化为,当0<a<1时，不等式的解为或x>-1;当a=1时，不等式的解为x≠-1;当a>1时，不等式的解为x<-1综上所述，得原不等式的解集为当a=1时，解集为{xlx≠-1};当a>1时，解集1.4.5均值不等式(一)1.B.分析：本选择题利用直接法解决.由a>b>0易知,又作差得ab—b²=b(a-b)>0,从而得出正确选项即可.提示：因为a>b>0易知,又因为ab-b²=√ab>b,故选B.2.D.分析：根据题意，化简,再结合基本不等式求解即可.成立.故选D.3.C.分析：本题先根据题意可得出mn=1,再根据m<0可得n<0.再将m+3n添上两个负号然后可运用基本不等式去解答.所以m+3n=-[-m+3×(-n)]≤-2√(-m)×3(-n)=4.B.分析：充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果.则ab=1≤4,但,即ab≤4推不出a+b≤4,所以ab≤4是a+b≤4的必要不充分条件.故选B.,利用基本不等式可求得3,从而可得答案.,因为(当且仅当x=2时取等号),所6.A.分析：根据均值不等式分别有：a+b≥2√ab;c+d≥2√cd;则a,b,c,d满足a+b=cd=4,进而可得,当且仅当a=b=c=d=2时取等号.第一章集合提示：如果a,b是正数，则根据均值不等式有：a+b≥等式有：c+d≥2√cd;当且仅当a=b=c=d=2时取等号.化简即为：ab≤c+d且等号成立时a,b,c,d的取值唯一.故选A.7.8.分析：由已知结合基本不等式即可直接求解.8.-2.分析：由已知结合基本不等式即可直接求解.当且仅当,即x=1时，等号成立，所以函数y的最小值为-2.故答案为—2.9.-7.分析：由已知结合基本不等式即可直接求解.号成立.故答案为-7.10.6.分析：将函数y化为基本不等式可得所求最小值.提示：由x>2可得x-2>0,以函数y的最小值为6.故答案为6.11.分析：从不等式的左边入手，左边对应的各个分式拆成两项，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到结果.即当且仅当a=b=c时等号成立.12.分析：(1)直接利用重要不等式证明即可.(2)利用“1”的代换结合基本不等式转化证明即可.证明：(1)由基本不等式,a²+b²≥当且仅当a=b取等号；√2,当且仅当取等号.13.分析：(1)由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用1,可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；(2)对(1)利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可.k=2,所以每件产品的销售价格为1.所以利润函数(m≥0).(2)由于,所以当21(万元).所以，该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为211.4.6均值不等式(1.A.提示：①当x>0且y>0时，由基本不等式可得x+y≥2√xy,当且仅当x=y时取等号，所以充分性成立，x+y≥2√xy的充分不必要条件，故选A.2.B.分析：原不等式即,再利用基本不等式的最大值为-,所以,解得a的取值范3.B.分析：利用基本不等式以及“1”的代换即可求解.提示：因为答案洋解y=6时取得最小值为12,故选B.4.B.分析：,利用“乘1法”求解即可.提示：依题意,所以,当且仅当a=1,时等号成立，故,结合基本不等式可求. ,当且仅当,即x=-1时，取最大值—2.故选B.,利用基本不等式，即可求函数的最小值.,当且仅当,即7.30.分析：由题意可得一年的总运费与总存储费用之和=,利用基本不等式的性质即可得出答案.提示：由题意可得一年的总运费与总存储费用之和=),当且仅当x=30时取等号.故答案为30.即可得出不等式恒成立时a的取值范围.当且仅当x=1时9.8.分析：利用基本不等式构造出关于ab的不等式，求出ab的范围.提示：因为a>0,b>0,所以a+2b=ab≥2√2√ab≥2√2,即ab≥8,当且仅当a=2b=4时取等号.故答案为8.10.16.分析：利用基本不等式进行求解，先求出(x+y)的最小值为(Ja+1)²,然后解不等式即可.提示：对任意正实数x,y恒成立，所以(Ja+最小值为16,故答案为16.11.分析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可证明.证明：因为a²+b²≥2ab①,b²+c²≥2bc②,c²+a²≥2ac③,①+②+③可得，2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac,所以a²+b²+c²≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时，等号成立，得证.,由基本不等式可得.且仅当即时取等号.,x∈[50,100];(2)为260元.分析：(1)先确定所用时间，再乘以每小时耗油(2)利用基本不等式求最值即得结果.,所以费用y关于x的表达式是,x∈[50,100]. ,当且仅当即x=60时取得等号，所以当x=60km/h,最低费用为260元.本章复习3,7,11,…},集合A={-1,0,1,2},所以A∩B={-1}.故选A.故选D.3.D.提示：,q:a<x<a+1,又因为p的必要必要不充分条件是q,当时,满足p的必要不充分条件是q,所以.故选D.化为a₁x²+b₁x+c₁>0,则a₁z²+b₁x+c₁<0与a₂x²+b₂x+c₂<0的解集不同，必要性不成立，若aix²+b₁x+c₁<0、a₂x²+b₂x+c₂<0的解集都为空集，如x²+x+1<0、x²+x+2<0,此时两不等式解集都为空集，不满,充分性不成立，综上所述，p是q成立的既不充分又不必要条件.故选D.5.A.提示：设直角三角形的两直角边分别为a,b,则它的面积可得ab=2.因此，该直角三角形的斜边c=√a²+b²<√2ab=√4=2边c有最小值2.故选A.个元素，则1A,5B,此时A={5},B={1,2,3,4,6},故(A,B)有1个，若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则2∉A,4∈B,即2∈B,4∈A,A的另一个元素可以是1,3,5或6,此时有(A,B)有4个；若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3∉A,3∉B,不满足题意，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则4∉A,2∉B,即2∈A,4∈B,4个；若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则4,6},故(A,B)有1个.7.{1,3,5,8}.提示：由A∩(CuB)={1,8},得到元素1,8∈A,且1,8B,由(CuA)∩B={2,6},得到元素2,6∈B,且2,6A,又(CuA)∩(CuB)={4,7},得到4,7∉A,且4,7∉B,综上，得到元素2,4,6,7∉A,由全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},经过检验得到集合A={1,3,5,8}.故答案为A=B,所以或由解得或或或x+y=-4,综上，x+y=4,x+y=-4.故答案为±4.9.提示：因为正数x,y满足x+2y=2,所以 时取等号.故答案为9.2m<x<5m,m>0},因为若q是p的必要不充分条件，则ASB,所以有且不能同时取等号，所以1<答案详解.故答案为ø,AUB={xl-5<x≤2},故,即当t=1时，不等式x²—2tx+1>0的解集为{x|x≠1};当t=-1时，不等式x²-2tx+1>0的解集为{x|x≠-1};当t<-1或t>1时，不等式x²—2tx+1>0的解集为{x|x<t-√t²-1或x>t+√t²-1};提示：(1)由消y得到x²+4(x+1)²=4,整理得到5x²+8x=0,得到x=0或,当x=0即-1<t<1时，不等式x²-2tx+1>0的解集为R,当△=0,即t=1或t=-1,当t=1时，不等式即为x²-2x+1=(x-1)²>0,得到x≠1,当t=-1时，不等式即 √i²-1,综上所述，当-1<t<1时，不等式x²—2tx+1>0的解集为R,当t=1时，不等式x²-2tx+1>0的解√t²-1}.(3)因为不等式ax²+bx+c>0的解集为(1,2),则有a<0,且ax²+bx+c=0的两根为1,2,由韦达定理得得到不等式cx²—bx+a<0可化为0,解得x<-1或,故不等式cx²-bx+a<0的解集为或13.(1)X+X={0,1,2,3,4};提示：(1)因为集合X={0,1,2},Y={1,3,5,7,9},所以(2)集合X={x₁,x₂,…,x1012}满足x₁<x₂<…<X+X中至少有2×1012-1=2023个元素，即|X+X|<2.1.1变量与函数的概念1.D.分析：根据已知条件，列出不等式组，即可求解.4提示：4则解得O≤x≤1,故函数y的定义域为{xlo≤x≤1}.故选D.2.C.分析：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.所以函数y的定义域是(0,1)U(1,+∞).故选C.3.B.分析：根据已知条件，分别代入即可求解.4.B.分析：分别求出四个选项中函数的值域得答案.提示：对于A,函数为值域为(0,+∞),对于B,函数的值域为(0,+∞),对于C,函数的值域为(一∞,0)U(0,十∞),对于D,y=x²+1≥1,故选B.5.C.分析：分别判断两个函数的定义域和对应关系是否一致即可.提示：对于,(x≠3),两个函数的定义域不相同.不是同一函数.对于B,y=lx|-1,两个函数的对应关系不相同.不是同一函数.对于C,y=x⁰=1(x≠0).两个函数的定义域和对应关系相同.是同一函数.两个函数的定义域不相同.不是同一函数.对于D,两个函数的对应关系不相同.不是同一函数.故代入即可得到答案.提示：因为所以.故选D.9.{0,2,6,12}.分析：由于函数的定义域不连续，故先求出自变量的值再代人函数解析式求出函数值写成集合形式即可.提示：由-1≤x≤4,x∈Z,可得x=-1,0,1,2,3,4,的y的值为0,2,6,12,故函数的值域是{0,2,6,12},故答案为{0,2,6,12}.11.分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域. 提示：(1)要使函数有意义，只须使(-∞,—3)U(-3,3)U[3,5].(2)要使函数y=√x-1+√1-x有意义，只须使即x=1,所以函数的定义域为{1}.,证明见提示.分析：(1)将解析式化简为代人数值计算即可；(2)通过(1)化简的函数解析式求出的解析式，相加化简即可；(3)根据(2)的结论，分析原式中一共有多少项数，进行求和即可.提示：(1)由,所以f(2)=1-(2)由(1)中求得的结果发现证明：(3)由(2)知所以f(1)+f(2)十2.1.2函数的表示方法(一)1.D.分析：根据函数的定义进行判断.主要是利用从自变量x到函数值y的对应为一对一或多对一的关系，而不可出现一对多的情况，由此对四个选项逐个判断.提示：对于A,B,显然出现了一对二的情况.故不满足函对于C,当x=0时，对应两个y值，故C错误.对于D,显然满足函数的定义.故选D.2.C.分析：根据函数的定义进行判断即可.提示：对于A,0既是非负数也是非正数，有两个y值对应，不满足函数对应的唯一性，不能构成函数.对于B,0也是偶数，有两个y值对应，不满足函数对应的唯一性，不能构成函数.对于C,根据函数的定义可以有理数和无理数都有唯一的y对应，满足函数的定义.对于D,0是自然数也是整数也是有理数，由3个y值与03.C.分析：令,求出满足条件的x值，代入提示：,因为4.A.分析：由题意可得函数的解析式，结合函数的解析式的特征要计算f[f(-7)],必须先计算f(-7)进而即可得到答案.提示：由题意可得所以f(-7)=10,所以f(10)=100,所以f[f(-7)]=f(10)=100.故5.B.分析：设出一次函数f(x)的解析式，由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,得关于a,b的方程组，解出即可.答案详解提示：设一次函数f(x)=ax+b,由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,得即解得a=3,b=-2,所以f(x)=3x-2;故6.C.分析：由函数的定义可得，当x在定义域内任取一个值，都有唯一的一个函数值与它对应，当x的取值不在定义域内时，就没有函数值和它对应，由此得出结论.提示：由函数的定义可得，当x在定义域内任取一个值，都有唯一的一个函数值与它对应，当x的取值不在定义域内时，就没有函数值和它对应，故函数y=f(x)的图像与直线x=t的交点个数至多有一个.7.2.分析：由函数的图像先求出g(2)=1,从而f(g(2))=f(1),由此能求出结果.提示：由题意得g(2)=1,f(g(2))=f(1)=2.故答案8.√3.分析：分类讨论，将函数值代入每一段，得出解.提示：依题意，若x≤0,则x+2=3,解得x=1,不合题若0<x≤3,则x²=3,解得x=—√3(舍去)或x=√3.9..分析：由分段函数知f(0)=3×0+2=2,f(f(0))=f(2)=4-2a=a,利用方程求解.提示：f(0)=3×0+2=2,f(f(0综上x≤1.故答案为(-∞,1).4,求解a的值.解法二：根据复合函数的性质，值域相同，则有：3x-2=4,那么:2x+1=a,即可求解a的值.(2)f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,待定系数法求解即可..因为f(a)=4,解得a=5.(2)由题意：f(x)=ax²+bx+c,又因为f(x+1)=f(x)+x+1,所以f(x)的解析式为12.分析：①取得绝对值，即可求出函数的解析式.②画出函数的图像即可.③利用函数的图像，写出函数的值域.②函数的图像如图：③函数值域为：[1,3].)进行化简求值，选出正确选项.提示：因为所以当a>b时，者中的较小的数.故选C.2.1.3函数的表示方法(二)一、画下列函数的图像. 二、画下列给定定义域上的函数的图像.2.1.4函数的单调性1.A.分析：①函数y=x²在(-∞,0)上是减函数，在(0,十∞)上是增函数，可判断①;②由递增函数的概念可判断②;③函数是增函数，在(0,+∞)上是增函数，f(一1)=1>f(1)=-1,故在定义域上不是④的单调递减区间是(一∞,0),(0,+∞),可判断④.①错；对于②,易知②错；对于③,函数),(-∞,0)上是增函数，故③错；④错.2.D.分析：利用特殊值，画一个f(x)在(a,b),(c,d)都是增函数的草图，来进行说明.提示：因为(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间，且z₁∈(a,b),x₂∈(c,d),且x₁<x₂,可以画一个草图，可知当x₂在A点时由图可知：f(x₁)>f(x₂),可知当x₂在B点时由图可知：f(x₁)=f(x₂),可知当x₂在C点时由图可知：f(x₁)<f(x₂),f(x₁)与f(x₂)的大小关系大小不确定，故选D.4.B.提示：二次函数f(x)=x²+2(a-2)x+2是开口向上的二次函数，对称轴为x=2-a,所以二次函数f(x)=x²+2(a-2)x+2在[1-a,+∞]间(4,+∞)上是增函数，所以2-a≤4,解得a≥-2故5.D.分析：先确定变量的大小关系，利用函数的单调性，即可得到函数值的大小关系.f(a²+1)<f(a),故选D.6.D.分析：由f(x)为R上的减函数可知，z≤1及x>1值范围.3③,联立①②③解得，0<a≤2.故选D.7..分析：根据函数单调性的定义和单调性的应用即可得到结论.提示：因为知函数f(x)为区间[-1,1]上的增函数，则满故答案为8..分析：利用零点分段函数将函数解析式化为分段函数的形式，进而结合二次函数的图像和性质，画出函数的图像，数形结合可得答