广西河池市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题含答案

2026年春季学期高一校内期末学业水平质量检测

数学

(本试卷满分150分，考试时间120分钟)

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.样本数据2,8,16,14,20的中位数为

A.8B.9C.14D.16

2.若z是复数，且3+z=i(i为虚数单位),则z的共轭复数是

A.-3+iB.3+iC.3-iD.-3-i

3.已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a²=b²+c²+bc,则∠A=

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.已知向量a,b满足||=1,5|=2,(a-26)⊥(3a+b),,则向量a与b夹角的正弦值是

BC.D.

5.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5,乙获奖的概率为0.4,甲、乙两人同时获奖的概

率为0.2,则甲、乙两人均没获奖的概率为

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.9

6.在一次化学实验过程中，用一个侧棱AA₁=80mm的三棱柱容器收集雨水如图所示，当侧面AAB₁B

水平放置时，水面恰好过AC,BC,AC,BC的中点.则当底A

面ABC水平放置时，水面高为

A.30mmB.40mm

C.50mmD.60mm

高一数学第1页共4页

扫描全能王

3亿人都在用的扫描App

7.已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)=0.2,P(C)=0.6,则P(AUB)=

A.0.9B.0.6C.0.56D.0.5

8.已知等边△ABC的边长为4,D为边AB的中点，E是边AC上的动点，则EA·ED的最大值为

A.8B.10C.12D.14

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则

A.z的虚部为2iB.z=-1+2i

C.z|=√5D.

10.下列命题中正确的是

A.若a,b是单位向量，则a=b

B.若a//b(b≠0),则存在唯一的实数λ,使得a=λb

C.若向量a和，满足|ā|=1,|b=a+b|=2,则|a-b|=√6

D.若向量a=(-1,3),b=(3,0),则a在b方向上的投影向量是(-1,0)

11.如图，在正方体ABCD-AB₁CD中，点P是线段B₁C上一动点，则

A.D₁PI/平面A₁BD

B.当P为线段B₁C的中点时，直线AP与直线DC所成角的正切值为√2

C.随着PB₁的长度变长，直线D₁P与平面BCC₁B₁所成角先变大再变小

D.D₁P⊥AC₁

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知平面向量a=(2x,1),b=(2x,x+1),若a//b,则|a|=.·

13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,b=2√3,,则A=

14.已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为若该圆锥的顶点和底面圆周上所

有的点均在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为·

高一数学第2页共4页

CS扫描全能王

3亿人都在用的扫描App

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为4,E为BB₁中点.

(1)求证：BC₁//平面AD₁E;

(2)求三棱锥A₁-EAD₁的体积.

16.(15分)人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件己广泛覆

盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从

参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组(50,60),第2组(60,70),

第3组(70,80),第4组(80,90),第5组[90,100],得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求样本数据的中位数与第35百分位数；个频率/组距

0.030

(2)已知直方图中成绩在[80,90]内的平均数为85;成绩在0.020

[90,100]内的平均数为95.求成绩在[80,100]内的平均数.0.015

0.005

05060708090100成绩

17.(15分)不透明的袋子中装有4个红球，m个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，采用不放

回方式从中依次随机取出2个球，且已知取出的2个球是红球的概率为

(1)求袋子中绿球的个数；

(2)求两次取出的球的颜色不同的概率.

高一数学第3页共4页

扫描全能王

3亿人都在用的扫描App

18.(17分)已知△ABC的面积记为S.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,√3AB·CA+2S=0.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为√6,求△ABC面积的最大值.

19.(17分)如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E为CD的中点，把△ADE沿AE翻折，满足AD⊥BE.

(1)求证：BE1平面ADE;

(2)求二面角E-AC-D的正切值.

高一数学第4页共4页

扫描全能王

3亿人都在用的扫描App

1.C

【分析】先将样本数据按从小到大排序，根据数据个数为奇数，取中间位置的数即为中位数.

【详解】首先将样本数据从小到大进行排序，得到序列：2,8,14,16,20,

该样本的容量为5(奇数),因此中位数为排序后第个数据，即14.

2.C

【详解】由3+z=i,得z=-3+i,

所以z的共轭复数是2=-3-i.

3.C

【分析】根据余弦定理与已知条件结合，求得,进而根据角的范围得出结果即可.

【详解】解：由余弦定理可知a²=b²+c²-2bc·cosA,

因为a²=b²+c²+bc,所以2cosA=-1,即

因为A∈(0°,180°),

所以A=120°.

故选：C.

【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

4.D

【分析】由向量垂直可得数量积为零，即可求解向量夹角的余弦值，再由sin²θ+cos²θ=1即可求解.

【详解】设向量a,b夹角为θ,因为la|=1,|=2,(a-25)⊥(3a+b),

所以(ā-25)·(3a+b)=0,即3|a²-5a-b-2|5P²=3-5la.b|cosθ-2×4=0,解得

因为θ∈[0,π],所以,所以向量a与b夹角的正弦值为.

5.A

【分析】先通过概率加法公式求出甲乙至少一人获奖的概率，再利用对立事件的概率性质计算两人均没获

奖的概率.

【详解】设甲获奖为事件A,乙获奖为事件B,由题意可得：P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,

根据概率的一般加法公式，甲乙至少有一人获奖的概率为：

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7,

“甲乙两人均没获奖”是事件AUB的对立事件，记为AUB,根据对立事件的概率性质：

P(AUB)=1-P(AUB)=1-0.7=0.3.

试卷第1页，共9页

6.D

【分析】利用水的体积不变，通过不同放置方式下水的体积表达式来求解水面的高度.

【详解】由题意，VMNGH-A₄B₃B=VABC-DEF,

又VMNGH-A₄BB=VABHM-4B₁GN=SABFM·AA,

因为M、H分别为AC、BC的中点，所

又AA=80,所以AD=60,

即当底面ABC水平放置时，水面高为60mm.

7.B

【分析】先利用对立事件的概率性质求出P(B),再结合互斥事件的概率加法公式计算P(AUB)即可.

【详解】因为B与C互为对立事件，根据对立事件的概率性质，可得：

P(B)=1-P(C)=1-0.6=0.4,又因为A与B是互斥事件，

根据互斥事件的概率加法公式，有：P(AUB)=P(A)+P(B),

代入P(A)=0.2、P(B)=0.4,计算得：P(AUB)=0.2+0.4=0.6.

8.C

【分析】建立平面直角坐标系，将向量数量积转化为关于动点坐标的二次函数，即可求解最大值.

【详解】以点A为坐标原点，AC所在直线为x轴，垂直于AC所在直线为V轴建立直角坐标系，

由等边△ABC边长为4,可得各点坐标：A(0,0),C(4,0),B(2,2√3),

因为D为AB中点，故D的坐标为(1,√3),设E(x,0),其中x∈[0,4],则：

EA=(0-x,0-0)=(-x,0),ED=(1-x,√3-0)=(1-x,√3),

由向量数量积的坐标运算得：EA·ED=(-x)(1-x)+0×√3=x²-x,

试卷第2页，共9页

该式为开口向上的二次函数，对称轴为,在区间[0,4]上最大值在离对称轴更远的端点x=4处取得：

当x=4时，EA·ED=4²-4=12,故最大值为12.

9.CD

【分析】结合复数的虚部定义、共轭复数概念、模长公式、复数除法运算法则，逐一判断各选项即可.

【详解】选项A中，复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部是实数b,z=1+2i的虚部为2,不是2i,A错误，

选项B中，共轭复数与原复数实部相同，虚部互为相反数，因此z=1-2i,B错误，

选项C中，复数模长公式为|z=√a²+b²,代入得|z|=√1²+2²=√5,C正确，

选项D中，复数除法需分子分母同乘分母的共轭复数化简：

10.BCD

【分析】根据单位向量定义即可求解A,根据共线定理即可求解B,根据模长公式即可求解C,根据投影向

量的计算公式即可求解D.

【详解】对于A选项，a,五是单位向量，则a|=|6,

但方向不一定相同，所以a与6不一定相等，故A错误；

对于B选项，因为a||b(b≠0),所以a与b共线，

由向量共线的定义可得，存在唯一的实数2,使得a=λb,故B正确；

解得2

对于C选项,因为a=1,同=|a+6=2,所以a|+万²=(a)²+2a·b+(5)²=4,a.b=-1,

所以a-b²=(ā)²-2a·b+(b)²=1+4+1=6,所以|a-5|=√6,故C正确；

对于D选项，因为向量a=(-1,3),b=(3,0),

所以a在b方向上的投影向量故D正确.

11.ACD

试卷第3页，共9页

【分析】利用正方体性质证面面平行判断线面平行，判断A选项，平移直线找异面直线所成角求正切值判

断B选项，找出线面角分析变化及利用体对角线性质判断线线垂直，从而判断CD选项.

【详解】在A选项中，连接B₁D₁、A₁C₁,交点为O,

连接BD、AC,交点为0,连接AO、DO、BO₁,

因为正方体中，B₁D₁//BD、D₁C1/A₁B,B₁D₁∩D₁C=D,

BDnAB=B,所以平面D₁B₁C//平面ABD,

因为D₁PC平面D₁B₁C,所以D₁P//平面A₁BD,A正确，

在B选项中，当P为线段B₁C的中点时，取B₁B中点E,连接AE、PE,

因为DC//AB,所以∠PAB就是直线AP与直线DC所成角，

设正方体棱长为2,则BE=1,AB=2,AE=√AB²+BE²=√2²+1²=√5,

PE=1,在Rt△AEP中，,B错误，

在C选项中，因为D₁C₁⊥平面BCC₁B₁,

所以∠D₁PC₁就是直线D₁P与平面BCC₁B₁所成角，

设正方体棱长为a,随着PB₁的长度变长，PC₁长度先变小后变大，

先变大后变小，直线D₁P与平面BCC₁B₁所成角先变大再变小，

C正确，

在D选项中，连接B₁D,因为正方体中，AC₁⊥平面B₁D₁C,

D₁PC平面B₁D₁C,所以D₁P⊥AC₁,D正确.

12.1

【分析】由平面向量共线坐标运算以及向量的模长公式求解即可.

试卷第4页，共9页

【详解】因为a//6,又因为a=(2x,1),b=(2x,x+1),所以2x(x+1)-2x=0,

解得x=0,故a=(0,1),所以a||=√0²+1¹²=1.

13.

【详解】因为a=2,b=2√3,

由正弦定理可得,解得

则可,当时，

此时A+B>π,故

14.

【分析】先根据圆锥的体积求得其底面半径和高，再结合圆锥外接球的特征，建立关于球体半径的方程，

求得球体半径，进而可以求得球体的表面积.

【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥体积为V,圆锥外接球的半径为R,

因为圆锥的轴截面为正三角形，所以PA=PB=AB=2r,PO₁⊥底面圆O₁,

所以PO₁⊥AO₁

在直角三角形PQ,A中，PA=2r,AO₁=r,所以PQ₁=√PA²-Ao?=√(2r)²-r²=√3

,解得r=2,所以PO₁=√3r=2√3,

又00₁=PO₁-PO,PO=AO=R,00₁⊥AO₁,

所以AO²=AO²+00²,即R²=r²+(PO-R)²,即R²=2²+(2√3-R)²,

解得,所以球体的表面积

15.(1)证明：正方体ABCD-AB₁C₁D₁中，易知BC₁//AD₁.

试卷第5页，共9页

因为BC₁α平面AD₁E,AD₁C平面AD₁E,所以BC₁//平面AD₁E.

(2)

【分析】(1)根据线面平行的判定定理求解即可.

(2)根据等体积法及棱锥的体积公式求解即可.

【详解】(1)略

(2)正方体ABCD-AB₁C₁D₁中，易知BB₁/1平面AAD₁D,

所以A₁B₁即为点E到平面AA₁D₁D的距离.

16.(1)中位数为80;第35百分位数为75

(2)89

【分析】(1)根据频率分布直方图计算各组频率，利用中位数和百分位数的定义列式求解；

(2)根据频率求出对应区间的人数，利用加权平均数公式计算即可.

【详解】(1)各组频率依次为：第一组(50,60):0.005×10=0.05;

第二组(60,70):0.015×10=0.15;第三组(70,80):0.030×10=0.30;

第四组(80,90):0.030×10=0.30;第五组[90,100]:0.020×10=0.20.

因为前三组的频率之和为0.05+0.15+0.30=0.50,所以样本数据的中位数为80.

设样本数据的第35百分位数为n,

因为前两组的频率之和为0.05+0.15=0.20<0.35,前三组的频率之和为0.50>0.35,

所以第35百分位数位于第三组[70,80]内.

则(n-70)×0.030=0.35-0.20,解得n=75,即第35百分位数为75.

所以样本数据的中位数为80,第35百分位数为75.

(2)由(1)可知，成绩在[80,90]内的频率为0.30,成绩在[90,100]内的频率为0.20.

因为样本容量为100,所以成绩在[80,90]内的人数为100×0.30=30,成绩在[90,100]内的人数为

100×0.20=20.

所以成绩在[80,100]内的平均数为：

试卷第6页，共9页

故成绩在[80,100]内的平均数为89.

17.(1)5

【分析】(1)根据不放回抽取2个红球的已知概率列方程求解即可.

(2)通过分类计算两类颜色不同的取球情况的概率求和即可.

【详解】(1)由题意知，袋中球的总个数为m+4.

则不放回抽取2个球均为红球的概率为：,即

整理得m²+7m-60=0,解得m=5或m=-12,

由于球的个数为正整数，舍去m=-12,故绿球个数为5.

(2)由(1)可知袋中共有9个球，其中4个红球、5个绿球.

①第一次取红球、第二次取绿球，概率为.

②第一次取绿球、第二次取红球，概率为.

所以两次取出的球的颜色不同的概率为

18.(1)

(2)2√3

【分析】(1)根据向量的数量积及三角形面积公式，结合同角的三角函数关系求解即可.

(2)根据向量数量积运算律及三角形面积公式，结合基本不等式求解即可.

【详解】(1)由√3