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文档简介

2026年中国科学技术大学新生入学考数学试题

一、填空题每空5分

1.设正整数n≤2026,并且n的3进制形式不含数码0,这样的n共有个.

2.设多项式f₀=x,f+1=f²-1(k∈N),则方程f₂026=0共有个实数解.

3.实数1.001²⁰026的整数部分=

4.化简和式

5.设函数f(x)=ax²-a与g(x)=Inx的定义域都是(0,+c∞o).若它们的图像有唯一公共点，

则实数a的取值范围是_·

6.设实数a,b,c满足a²+b²+c²+ab+ac=1,则a²+b²+c²的取值范围是

7.设某圆锥的展开图是半径为1、圆心角为θ的扇形，当θ=_时，此圆锥的体积

最大.

8.在平面中，设O是定点，动点P,Q满足OP+0Q=1,OP-0Q=2,则Q的轨迹所成平

面区域的面积=

9.设空间平面π与正八面体相交所得截面是n边形，则n的最大值=

10.经竖直向下光线的完全照射，长4、宽3、高2的长方体砖块在水平地面上留下阴影，此

阴影面积的取值范围是_

11.设随机变量X₁,X₂,…,X₂026独立同分布，

可被3整除的概率=·_

二、解答题每题仅可给0分(全错)、5分(小部分对)、10分(大部分对)、15分(全对).

12.证明Heron公式：设a,b,c是△ABC的三边长，,则△ABC的面积.

S=√p(p-a(p-b)(p-c).

13.设x∈(0,π),求函数的取值范围.

14.某蓄水池恰有一个进水口和一个出水口，进水口在每天的时刻t以f(t)=|t-12|立方米/

小时的瞬时流量向池中进水，t∈[0,24](单位：小时).出水口以a立方米/小时的恒定瞬时

流量向池外出水，假设池中的水永远不会溢出，也不会干涸(至少有1立方米水),并且没

有其他补水或失水方式.求常数a和水池容量的最小值.

参考答案和评分标准

一，填空题.每空5分，没有部分分，结未化闭给0分.

1.222

2.2027

3.7

5.a≤0或

6.[2-√2,2+√2

8.2m

9.6

10.[6.2√61

11.

二、解签题，每题仅可给0分(全锵)、5分(小部分对)、10分(大部分对)、15分(全对),

(5分)

很盈余弦定理，(10分)

cost

13.

(10分)

由sinx+casx的取值范眉是(-1.√2,得f(o)的取值范围是(5分)

14.由每天的总建水璧等于总出水量，(5分)

设f()=n,则t=6或18.当6≤t≤18时，油中水照减少，其他时间水聚坩加.

水地荐册至少

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