高等数学知识点

大学高等数学知识点整理

公式，用法合集

极限与连续

一.数列函数：

1.类型：

⑴数列：*q=/(〃)；*<%]=/0)

(2)初等函数：

⑶分段函数：*F(x)=[?*尸(幻=["幻尸/；*

[f2Mx>%ax=x0

(4)复合(含f)函数:y=/(w),u=(p(x)

(5)隐式(方程):尸(x,y)=O

(6)参式(数-，二)：

(7)变限积分函数：F(x)=j7(.r,/)Jr

(8)级数和函数(数一，三):SQ)=£aH”C

n=0

2.特性(几何)：

⑴单调性与有界性(判别);(«外单调=>V%,。一天)(/(幻-/(%))定号)

(2)奇偶性与周期性(应用).

3.反函数与直接函数：y=f[x}ox=f-\y)=y=

二.极限性质：

1.类型：*lima;*lim/(工)(含_¥—>±00);*1淅/(工)(含x->与士)

/tT<XnX»XT4

2.无穷小与无穷大(注：无穷量)：

3.未定型：—,—,V\CO—03,()-00,0°,00°

08

4.性质：*有界性，，保号性，*归并性

三.常用结论:

।21

n"fl,an(a>0)1,(a"+b"+c")n—>max(a,b,c),；(a>0)->0

1rd\n"x

一(x-8,iimxr=l,lim—=0,lim--=0,

xx->o*X->-HCe上x

0XT~^

limxhi'x=0,er—(，

x->0+[+OOX—>+CO

四.必备公式：

1.等价无穷小:当-0时，

sinw(x)“(x);tanu(x)〃(x);l-cosw(x)-w2(x);

2

eu'x)-1-M(X);ln(l+〃(x))〃(x);(1+〃(x))“-1-au(x);

arcsin"(x)M(X);arctan〃(x)

2.泰勒公式：

1,,

⑴e*=l+x+-x+o(x);

2!

(2)ln(l+jr)=x--A:2+f?(.r);

2

(3)sinx=x--x3+o(x4);

3!

(4)COSX=1----x2T——x4+。(丁)；

2!!

(5)(1+x)"=}+ax+x2+<?(x2).

五.常规方法：

前提:⑴准确判断9二,r°,aM(其它如：OO-8,0M,0°,8°)；⑵变量代换(如:'=/)

000X

I.抓大弃小(一),

oo

2.无穷小与有界量乘积(8M)(注：sin，foo)

x

3.1”解决(其它如:0°,8°)

4.左右极限（涉及xfico）:

⑴一(xf0);(2)e'(xf8);0);(3)分段函数：同，[x],max/(x)

x

5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)

6.洛必达法则

(1)先“解决“，后法则(9最后方法);(注意对比：lim^Y与lim史))

0Il-xTT-x

IIIJ__I

(2漏指型解决：〃(*尸幻=/枷心)(如:“埼一>=>()不；一1))

(3)含变限积分；

(4)不能用与不使用

7.泰勒公式(皮亚诺余项)：解决和式中的无穷小

8.极限函数:/a)=lim尸(％〃)(=>分段函数)

六.非常手段

1.收敛准则：

(【)”“=/(〃)=>lim/(x)

X->4<O

(2)双边夹：<c〃？，*d，c〃一>a?

(3)单边挤:an+[=f(a„)」*4?*|小”?*/(幻)。？

2.导数定义(洛必达?)：lim"=/'(x0)

・

XT0AX

3.枳分和：lim,"d)+/(2)+,•+/(")]二1/3公，

nnnnJo

4.中值定理：lim"*+a)—/(x)]=alim/'©)

x->+x>X->-HO

5.级数和(数一三):

«2”“I*

收敛nlim4=().(如lim--^)(2)lim(q+a,+•••+%)=Z%,

公"f"…neTt

⑶口｝与力(4-1)同敛散

"■1

七.常见应用：

1.无穷小比较(等价，阶)：*/(X)-履”,(x->0)?

三.各类求导（方法环节）：

1.定义导：⑴/（。）与/'（刈『；（2）分段函数左右导；⑶如JW

（注：/（幻=/（2求/（%）,/'（幻及/'5）的连续性）

ax=x0

2.初等导（公式加法则）：

（1）〃=/凶（创，求:〃口0）（图形题）；

⑵F（x）=「f⑺力，求:尸⑴（注：（［/。"）力）'，（『/"/）（〃）'，（『/⑺力）'）

JaJaJaJa

（3）y=|坐求£以），£（与）及尸（与）（待定系数）

［人（幻00

3.隐式（/（X,），）=0）导:孚

dxdx~

（I）存在定理；

（2）微分法（一阶微分的形式不变性）.

（3）对数求导法.

4.参式导（数一二）：产吗求孚噌

［）'=）'⑺dxdx~

5.高阶导/w（x）公式：

（*）＜"）=；（―!—）＜n）='"山;

a-bx（a-bx严

式冗

（sinar）＜M）=a"sin（ar+—x〃）；（cosat）""=/cos3+—x〃）

22

in）

注：f（0）与泰勒展式：/（.V）=%+ayx+a^x.+••+ax''+=an=------

〃！

四.各类应用：

1.斜率与切线（法线）；（区别：y=/（X）上点M。和过点M。的切线）

2.物理:（相对）变化率-速度;

3.曲率(数一二)：p=1(曲率半径,曲率中心，曲率圆)

Ql+/'2(X))3

4.边际与弹性(数三)：(附:需求，收益，成本,利润)

五.单调性与极值(必求导)

1.判别(驻点/'(%)=0)：

(1)/'W>O=>/(X)Z;/V)<0=>/(x)\；

(2)分段函数的单调性

⑶/(幻>0n零点唯一；r'(幻>0=>驻点唯一-(必为极值，最值).

2.极值点：

⑴表格(尸⑴变号);(由lim工0,lim华^*。，师/空工0nx=0的特点)

XT&XXT为\x\1"X~

⑵二阶导(/(%)=0)

注⑴f与尸J”的匹配(尸图形中包含的信息);

(2)实例：由f\x)+A(x)f(x)=g(x)拟定点“X=X。”的特点.

(3羽1域上最值(应用例：与定积分几何应用相结合,求最优)

3.不等式证明(/*)20)

(1)区别：*单变量与双变量？例与xe[〃,+8),XG(YQ,+OO)?

(2)类型:*/*>0,/(a)>0;*/'40JS)N0

*/"<0J(a)J(6)NO;*f'\x)>O,/Vo)=0J(M)>0

⑶注意:单调性㊉端点值㊉极值㊉凹凸性.(如：f(x)<M

4.函数的零点个数：单调㊉介值

六.凹凸与拐点(必求导!)：

1.)，”=表格;(〃(%)=0)

2.应用：(1)泰勒估计；(2)/'单调；(3)凹凸.

七.罗尔定理与辅助函数：(注:最值点必为驻点)

I.结论：产(»=「(〃)=>产'(§)=/©)=0

2.辅助函数构造实例：

⑴/⑹n尸(x)=1/W

(2)尸e)g《)+f8gG)=o=F(x)=f(x)g(x)

(3)/e)gC)-/C)g&)=o=>F(x)=用

g(x)

(4)/4)+〃4)/4)=0nF(x)=』"'"/(幻；

3.〃)C)=0of(x)有〃+1个零点o/n-0(x)有2个零点

4.特例：证明=a的常规方法:令F(x)=/(x)—EQ)有〃+1个零点(待定)

5.注：含刍，与时,分家!(柯西定理)

6.附(达布定理)：/(%)在［a,b］可导,Vce［f\a),f\b)］，*w&切，使:/⑷=c

八.拉格朗日中值定理

1.结论：/S)-/(〃)=/©(力一0；(奴。)<%)=>*,3夕&)>0)

2.估计：“二/'(g)N

九.泰勒公式(连接之间的桥梁)

，2，，，

1.结论：/W=/(x0)+/,U0)(x-jr0)+^/'U0)U--v0)+^/(^)U--v0)^

2.应用：在已知/(a)或/(〃)值时进行积分估计

十.积分中值定理(附:广义)：［注:有定积分(不含变限)条件时使用］

第三讲：一元积分学

一.基木概念：

1.原函数人幻：

(l)F'(x)=/(x);⑵f[x)dx=dF(x);⑶Jf(x)dx=F(x)+c

注⑴尸")=「f⑺力(连续不一定可导);

Ja

⑵⑺力=>[/⑺力=>fix)(fM连续)

2.不定积分性质：

(D(JfMdx)'=/(x);c/(Jf(x)dx)=

⑵^f'(x)dx=f(x)+c;\df(x)=f(x)+c

二.不定积分常规方法

1.熟悉基本积分公式

2.基本方法:拆(线性性)

J(4/(x)+k2g(x))dx=%J/'(x)公+他jgWdx

3.凑微法(基础)：规定巧，简，活(l=sii?x+cos2%)

,.1Iz,.,l.odx..dx、i[―

如：dx=—d(ax+b),xdx=-dx~,——=alnx,—F=-2d\lx

a2xyJx

-----dx=djl+』,(1+Inx)dx=d(xInx)

VI+x2

4.变量代换：

(1)常用(三角代换，根式代换，倒代换)：x=sinf,y]ax+b=t,-=/,V7+T=r

X

(2)作用与引伸(化简)：石-x=t

5.分部积分(巧用):

(1)含需求导的被积函数(如Inx,arctanxj：/")力)；

(2)“反对富三指“：卜"*&.fxf,Inxdx.

(3)特别：[xf{x}dx产已知/(©的原函数为f(x);*己知fM=F(x))

6.特例:(1)产sin，+18S”公；⑵r〃(幻卢公」〃(x)sina":快速法;⑶j去

Jasinx+bcosxJJJu(x)

三.定积分:

1.概念性质:

⑴积分和式(可积的必要条件布界，充足条件:连续)

(2)几何意义(面积，对称性，周期性，枳分中值)

*£yjcix-x2dx(a>0)=^/2;*£(x-§^)公=0

⑶附:口)(幻公<M(b-a),|£7(x)g(xkZr(琲*)

(4)定积分与变限积分，反常积分的区别联系与侧重

2:变限枳分①")=「/⑺力的解决(重点)

Ja

(I)/可积=中连续，/连线=中可导

(2)(£7(/Mr)'=/(x);=[/(，)力；[j(x)dt=(X-a)fM

(3)由函数F(x)=[参与的求导，极限,极值,枳分(方程)问题

3.N—L公式：//。""(加一/⑷附外在忆封上必须连续!)

Ja

注:(1)分段积分,对称性(奇儡),周期性

(2)有理式，三角式,根式

⑶含£7。)力的方程

4.变量代换：J：fWdx=「/(〃«))〃'(r)力

⑴J；(幻公=f(a-x)dx(x=61-1),

⑵[jMclx=f(-x)clx[x=-/)=£[/(x)+f(-x)]dx(如:J；]+：(dx)

(4)JJ/(sinx)tZv=£2/(cosx)dx;£/(sinx)dx=2/(sinx)dx,

⑸£xf(sinx)(lx=y|J/(sinx)clx,

5.分部积分

(1)准备时“凑常数”

=J:时，求f/(x)公

(2)已知/(幻或/(x)

6.附:三角函数系的正交性:

「2》.2k.2k

J。sinnxdx=cosnxdx=sinztrcosmxdx=0

.2厅...2内

J。sin几isinmxdx=cosnxcosfnxdx(nHm)=0

f2ff2产农2

Isinnxclx=cosfctudx=万

JoJo

四.反常积分:

1.类型：⑴-7(x)dr,『/(x)女「7(幻公(f(x)连续)

JaJ-xJ-»

(2)£/(X)^V：(/(x)在x=a,x=b,x=c(a<c<。)处为无穷间断)

2.敛散；

3.计算：枳分法㊉N—L公式㊉极限(可换元与分部)

4.特例:⑵

五.应用：(柱体侧面积除外)

1.面积，

⑴s=fl/(x)-g*)ka；⑵s=J：/T()，)力；

(3)5=11r2{0}(10-.(4)恻面积:S=J：24f(x)Jl+jQ(x)dx

2.体积：

2

(1)匕=乃J：1尸(幻-g2(xy\dx；⑵咚=江J：[广(y)]dy=2句:xf(x)dx

⑶―

3.弧长：杰二。公)2+(4)2

(l)y=/(x),x&[a,b]J：J1+尸2(X)4Y

⑵“;二；；；，/£用出]§=『卜0)+")小

(3)r=厂(夕),0e[a,j3]:$=J'J产(夕)+尸

4.物理(数一，二)功，引力，水压力，质心,

5.平均值(中值定理)：

(D/3,b]=—『fMdx;

b-aJa

-P7(/w/-⑺力

(2)/[0+8)=lim"-------，(/认为7周期:/=虫-------)

―也xT

第四讲:微分方程

一.基本概念

I.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)

2.变换方程：

⑴令x=*/)=>y'="〃、严:如欧拉方程)

(2)令〃=“(x,y)=>y=y(A,〃)=>)」(如伯努利方程)

3.建立方程(应用题)的能力

二.一阶方程：

1.形式:⑴)」=/(x,y);⑵M(X,y)dx+N(x,y)dy=0-(3)y(a)=b

2.变量分离型：y,=f(x)g(y)

⑴解法：J—=jf(x)dx=>G(y)=?(x)+C

(2)“偏”微分方程：?=/*,)，)；

dr

3.一阶线性(重点)：)，'+p(x)y=q(x)

fp(.v)</v1px

⑴解法(积分因子法)：M(x)=e%=>)，=------知(幻式成小+)，0]

M(x)J

(2)变化：x'十p(y)x=夕(y)；

(3)推广:伯努利(数一)y'+pWy=q(x)ya

4.齐次方程：)，'=①(工)

x

.y।~、rducdx

(I)解法：u=—=>11+XU=①(〃)，--------=一

XJ①(〃)一"JX

⑵特例:以纶ds.

dxa2x+b2y+c:

BN

5.全微分方程(数i):加(工,)，)公+77。,丁)小，=0且不一=二一

dxdy

dU=Mdx+NdynU=C

f0v=ccis

6.一阶差分方程(数三)：丫⑺一。”"n,：

gp(x)”=xQ(x)b

三.二阶降阶方程

1.y"=fW：y=FM+CIX+C2

2.)严=/(x,)，)：令)，'=p[x)=>y”=半=/(x,p)

dx

3.y''=f(y,)」)：令y'=p(y)=y"=〃半=f(y>p)

dy

四.高阶线性方程:a(x)y"+Z?(x)y'+c(x)y=f(x)

1.通解结构：

(1)齐次解：%(%)=clyl(x)+c2y2(x)

(2)非齐次特解：y(x)=cj(x)+c2y2(刈+丁*J)

2.常系数方程：ay,,+by'+cy=fM

(1)特性方程与特性根：。力+以+。=0

(2)非齐次特解形式拟定：待定系数；(附：/(.v)=Y的算子法)

(3)由己知解反求方程.

3.欧拉方程(数一)：orR'+"y'+cy=/(x),令x=e'=>x2y'=D[D-^y.xy'=Dy

五.应用(注意初始条件)：

1.几何应用(斜率,弧长，曲率,面积,体积):

注：切线和法线的截距

2.积分等式变方程（含变限积分）;

可设fMclx=F(x),F(a)=0

3.导数定义立方程:

含双变量条件/*+y）=…的方程

4.变化率（速度）

5.i即如

dtdr

6.途径无关得方程（数-）孚=注

dxdy

7.级数与方程:

（1）品级数求和；（2）方程的瑞级数解法:十…，），（0）,卬_y'（0）

8.弹性问题（数三）

第五讲：多元微分与二重积分

一.二元微分学概念

1.极限,连续,单变量连续，偏导，全微分，偏导连续（必要条件与充足条件）,

(l)A/=/(%+AX,%+”)，AJ=+AX,>'o),△"=/(,%,%+2)

A△J,..△J

(…2)hmV-，A=hrm—,=hm

AAv

(3)/ex+f^y-#,lim,^~df=：(判别可微性)

22

VUx)+(Ay)

注：（0,0）点处的偏导数与全微分的极限定义:

人(0,0)=.八—,A0,0)=Hm・—°。

A->0x,)T0y

2.特例:

2”，、。(0,0)

(1)/(x,y)=lx2+y2:(0,0)点处可导不连续；

I0,=(0,0)

Iy2工(°。

(2)/(.)，)=«+),2：(0,0)点处连续可导不可微；

0,=[0,0)

二.偏导数与全微分的计算：

1.显函数一，二阶偏导：Z=f(x.y)

注:⑴炉型；(2)zvl-(3)含变限积分

2.复合函数的一，二阶偏导(重点)：z=f[u(x,y),v(x,y)]

纯熟掌握记号，'，，；，4,A2的准确使用

3.隐函数(由方程或方程组拟定)：

(1)形式：*F(x,y,z)=0；4""，z)二°(存在定理)

G(x,y,z)=0

(2)微分法(纯熟掌握一阶微分的形式不变性)：F、dx+F、dy+Edz=0(规定：二阶导)

(3)注：(与，)’0)与z°的及时代入

(4)会变换方程.

三.二元极值(定义?)；

1.二元极值(显式或隐式)：

(1)必要条件(驻点);

(2)充足条件(判别)

2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)

(1)目的函数与约束条件:z=f(x,y)数或x,y)=0,(或:多条件)

(2)求解环节:L(x,y,2)=f(x,y)+A(p(x,y),求驻点即可.

3.有界闭域上最值(重点).

(l)z=/(x,y)㊉M€。={(x,y)\(p(x,y)<0}

(2)实例:距离问题

四.二重积分计算：

1.概念与性质(“积”前工作):

D

(2)对称性(纯熟掌握)：*。域轴对称；*/奇偶对称；*字母轮换对称；京重心坐标；

(3)“分块”积分：*。=AJP2；*f(x,y)分片定义；*/(x,y)奇偶

2.计算(化二次积分)：

(I)直角坐标与极坐标选择(转换)：以为主；

(2)互换枳分顺序(纯熟掌握).

3.极坐标使用(转换)：/(/+)，2)

22

附：D:(x-a)2+(y-b)2<R2,+

a

双纽线，+/)2=〃2(»一丁)D：|X|+|J|<I

4.特例:

(1)单变量：f(x)或/()，)

(2)运用重心求积分:规定:题型^k.x+k.y)dxdy,且已知£>的面积SD与重心Uy)

D

5.无界域上的反常二重积分(数三)

五:一类积分的应用(J7(A/)db=>。：。;Q：L;「;X):

Q

1.“尺寸”：(l)JJdboS。；(2)曲面面积(除柱体侧面)；

D

2.质量,重心(形心),转动惯量;

3.为三重积分，格林公式，曲面投影作准备.

第六讲:无穷级数(数一，三)

••级数概念

1.定义：（1）{q},⑵S,=q+/+•••+/；

t…7t（/?+1）!

注:⑴则4;⑵wy（或2十）；⑶“伸缩”级数：£«1-4）收敛={/}收敛.

2.性质：（1）收敛的必要条件：lim^=0;

X>

（2）加括号后发散,则原级数必发散（交错级数的讨论）；

（3）$2”->$，%->°n$2”+i->$=>%->$;

二.正项级数

1.正项级数：⑴定义:an>0;（2）特性:5“/;（3）收敛oS“WM（有界）

2.标准级数：（i）zj⑵z吗1,⑶

n'nn\nn

3.审敛方法:（注:2ab<a2+b2.a]nb=b'na）

⑴比较法（原理）q与（估计），如口/（.r）dr;Y—

IlJoQ（n）

（2）比值与根值：*lim-*lim值（应用：基级数收敛半径计算：）

n->»〃n-xo丫

三交错级数（含一般项）：»1严与4>0）

1.“审”前考察：⑴4>0?（2）4-0?;（3）绝对（条件）收敛?

注：若lim-=2>1,则Yw发散

9Cl

2.标准级数：⑴Z（-l严：；⑵Z（T严3；⑶Z（T）""6

3.莱布尼兹审敛法（收敛?）

⑴前提：Z⑷发散；⑵条件：/凡->0：⑶结论：Z（T）"”条件收敛.

4.补允方法：

（1）加括号后发散，则原级数必发散；（2）与〃-s,f0=52n+1—s=/fs.

5.注意事项：对比»〃；£（—i）Z；WEI；之间的敛散关系

四.某级数：

1.常见形式：

⑴WX，x"，⑵工可。一小)"，⑶WX(XTO)2"

2.阿贝尔定理：

⑴结论:x=x"敛x=x"散=>R4卜"一引

(2)注：当x=x”条件收敛时=>/?=|x-xx|

3.收敛半径，区间，收敛域(求和前的准备)

注(1)2〃/父，z誓"与£可亡同收敛半径

⑵与一九0)2”之间的转换

4.累级数展开法：

⑴前提：熟记公式(双向，标明敛域)

ex=l+x+—x2+—xy+,Q=R

2!3!

sinx=x---x3+—x5,Q=/?cosx=1----x2+—x4+•,Q=R；

3!5!2!4!

1,1,

----=1十人+人~十,xe(-lj);----=\-x+x~,xe(-l,l)

1-x1+x

ln(l+x)=x-—x2+-x3,XG(-1,1]

23

ln(l-x)=-x——x2——d-,xe[-l,l)

23

arctanx=x一一x3+-x5—

35

(2)分解：/(x)=g(x)+〃(x)(注:中心移动)(特别：一」-----,工=/)

ax~+bx+c

(3)考察导函数：n/(x)=J；g(x)公+/(0)

(4)考察原函数：g(x)=「f{x}dx=>/(x)=g'(x)

5.累级数求和法(注：*先求收敛域，*变量替换):

(i)s(x)=Z+£

(2)S'(x)=,(注意首项变亿)

⑶S(x)=(X)'，

(4)S3)n”S(x)”的微分方程

⑸应用:=S(x)=>3⑴・

6.方程的某级数解法

7.经济应用(数三)：

(1)复利:41+〃)"；(2)现值：41+〃)-“

五.傅里叶级数(数一)：(7=2/r)

9

I.傅氏级数(三角级数)：S(x)=?

+V/」a„ncosnx+nbsintxx

/i=!

2.。，极力充足条件(收敛定理):

⑴由/(x)=S(x)(和函数)

⑵S(x)=-[/(%-)+/(x+)]

I1

a=­/(x)cosnxclx

I”nTrJ一k

3.系数公式：4=您(小,,n=1,2,3,

b=—\f(x)sinnxcbc

lt江J-月

4.题型：(注：/(X)=S(X),X6?)

(1)T=2%且f(x)=…，xe(一乃,加(分段表达)

⑵XG(一肛九]或X£[0,2万]

(3)xe[0,7i\正弦或余弦

*(4)XG[0,^](T=万)

*5.T=2I

6.附产品：f(x)nS(x)=&+£〃“cosnx+bnsinnx

2n-\

co।

=>S(/)=乎cosnx+bsin%)=-[/U-)+/(x+)]

23[0n200

第七讲：向量，偏导应用与方向导（数一）

向量基本运算

1.k}a+k2b;(平行=

2.c\\(单位向量(方向余弦)a°=T-：CI=(cosa,cosP，cos/))

a-hab

3.ab;(投影:(b)=下丁；垂直:a_Lbu>a0=O;夹角:rn-i)

4.axb;(法向：〃=ax0_La,0；面枳：S=|^x/;|)

二.平面与直线

1.平面n

⑴特性（基本量）：%（玉）,%,z（））㊉〃=（A8,C）

(2)方程(点法式)：乃：A(x-.%)+8(y-)b)+C(z-Zo)=O=Ax+By+Cz+O=0

（3）其它：*截距式上+义+马=1;*三点式

abc

2.直线L

⑴特性(基本量)：MX%,yQ,%)=(nn,p)

Z-Zo

（2）方程（点向式）：£：±Z^o=2zA

mnp

/4,A4Z?)y+C^z+D1=0

（3）一般方程（交面式）：＜

A2X+B2y+C2z+4=0

x=4+(a2-)t

（4）其它：*二点式；*参数式;［附:线段A3的参数表达y=bi+(b2-bi)t,te[0A])

z=c1+(c2-c1)r

3.实用方法:

(I)平面束方程：7i\A}x+By+C}z+D}+A(A2X+B2y+C2z+D2)=0

^|A¥(J4-By04-Cz0+D|

(2)距离公式：如点M)(x°,%)到平面的距离d

xlA2+B-+C2

(3)对称问题;

(4)投影问题.

三.曲面与空间曲线(准备)

1.曲面

⑴形式Z:尸(x,y,z)=O或z=f(x,y);(注:柱面/(X,)，)=0)

(2)法向〃=(R,g,6)=>(cosa,cos0,cosy)(或〃=(-zx，-zJ))

2.曲线

x=x(t)

F(x,y,z)=0

(1)形式「：《)，=y"),或<

G(x,y,z)=0'

z=z")

(2)切向：5={x'(r),y,(r),z'{0}(或s=S

3.应用

(1)交线，投影柱面与投影曲线；

(2)旋转面计算：参式曲线绕坐标轴旋转;

(3)铢面计算.

四.常用一次曲面

1.圆柱面：x2+y2=R-

2.球面：x2+y2+z2=R2

变形:x2+y2=R--z2,Z=JU，2),

2222222

x+y+z=2az,(x-x0)+(y-3^)+(z-z0)=/?

3.锥面：z=\]x2+y2

22

变形:V+y2=z\z=a-yjx+y

4.抛物面：z=/+.y2,

变形：x2+y2=z,z=a-(x2+y2)

5.双曲面：x2+y2=z2±1

6.马鞍面：z=Y—,或z=Xy

五.偏导几何应用

1.曲面

⑴法向：尸(x,y,z)=On〃=(f；,耳,£),注：z=f(xyy)=>n=(fx,fy-l)

(2)切平面与法线:

2.曲线

(1)切向：x=x(r),y=y(t),z=z(t)=s=(x',yz')

(2)切线与法平面

[F=0

3.综合：r:,s=n,x%

G=0

六.方向导与梯度(重点)

1.方向导(/方向斜率)：

(1)定义(条件)：/=(凡〃,p)=>(cosa,cosB，cos/)

(2)计算(充足条件:可微)：—=cos。+人cos/?+w.cosy

•

附：z=f(x,y\Z°={cos。,sin6}=>—j=fxcos0+fysin0

(3)附：—几cos20+2fsin夕cos0+fsin20

dl2xy>y

2.梯度(取得最大斜率值的方向)G：

⑴计算:

(〃)z=/(x,y)=>G=gradz=(<,/、.);

S)u=/(x,y,z)=G=gradu=(wv,uY,wz)

⑵结论

(a)2=G./。；

dl

(〃)取/=G为最大变化率方向;

(C)|G(M0)|为最大方向导数值.

第八讲:三重积分与线面积分(数一)

一.三重积分

Q

I.C域的特性(不涉及复朵空间域)：

(1)对称性(重点)：含:关于坐标面；关于变量；关于重心

2

(2)投影法：Dq={(x,y)\x+)?4代}㊉z,(x,y)<z<z2(x,y)

(3)截面法：£>(z)={(x,y］卜2+/</?2(Z))©«<Z<Z7

(4)其它:长方体,四周体，椭球

2.f的特性：

(1)单变量/(z),⑵/，+/)，⑶/(.d+V+z>(4)f=ax+by+cz+d

3.选择最适合方法：

⑴“积”前：*JjjtZv;*运用对称性(重点)

(2)截面法(旋转体)：/=，止J)曲小(细腰或中空，/(z),f(x2+y2))

Diz}

(3)投影法(直柱体)：/=j：；fdz

(4)球坐标(球或锥体)：/=J'dO^sin(pd(p^/(•--)p2dp,

(5)重心法(f=ax+by+cz-}-d):I=(ax+by+cz+d)K]

4.应用问题：

(1)同第一类积分：质量，质心，转动惯量，引力

(2)Gauss公式

二.第一类线积分(]a)

1.“积”前准备:

⑴;(2)对称性；(3)代入“L”表达式

X=x{t}

2.计算公式:Ie[a,b]=J,a=£/W0,)&))5/N2。)+)，'2”)小

y=.y(O

3.补充说明:

⑴重心法：j(ar+by+c)ds=(ax+by+c)L;

L

(2)与第二类互换：jA-rJ.v=jA­i/r

4,应用范围

(1)第一类积分

(2)柱体侧面积Jz(x,y)ds

L

三.第一类面积分

z

1.“积”前工作(重点)：

(【)jp/S=Z;(代入X:尸(尤乂2)=0)

I

(2)对称性(如：字母轮换,重心)

(3)分片

2.计算公式：

(1)2=z(x,y),(x,y)e=/=[J/(x,y,z(x,)，))Jl+z：+z沁力

%

(2)与第二类互换：=

四：第二类曲线积分(1):Jp(x,y)公+Q(x,)，)由，(其中L有向)

L

1.直接计算：-X"⑺/1]—＞人=/=「[&'")+Qy\t)]dt

[y=y(O~