安徽师范大学附中2024届数学高二年级上册期末达标检测模拟试题含解析

安徽师范大学附中2024届数学高二上期末达标检测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题，木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（x）=21nx—x+幺在定义域内单调递减，则实数。的取值范围是（）

X

A.（-<»/]B.（-00,1）

C.D.[1,+co）

2.是“，>1”的（）

b

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.“夕=3”是“直线（：奴—2），+3=0与直线4：（。-l）x+3y-5=0垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若“1WXW4”是“。工不工。+4”的充分不必要条件，则实数。的取值范围为

A.«<0B.〃<0或

C.O<«<1D.O<6/<1

5.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参

加同一个兴趣小组的概率为

6.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件4="第一枚硬币正面朝上％事件&="第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中

正确的为（）

A.A与4互为对立事件B.4与人互斥

C.4与4相等D.P（A）=P（A2）

7.曲线y=lnx上的点到直线y=x+2的最短距离是（）

R3a

A.y/2D.-----------

2

C.—D.1

2

8.函数y=/(x)的导函数/'(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)在(一双0)上单调递增

B.函数y=/(x)的递减区间为(3,5)

C.函数y="力在x=3处取得极大值

D.函数)，=/("在X=4处取得极小值

9.若函数/(x)的导函数为偶函数，则/")的解析式可能是()

A.y(x)=x2B./(^)=cosx

C./(x)=sinxD./(x)=ef

10.总体有编号为01,02,…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数

表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为。

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.02

C.63D.14

11.抛物线V=4x的焦点为广，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则局的

最大值是()

A.2B，V2

C空D.且

32

12.已知集合A<16,,8={x|f_4x+机=0卜若1£A「3,则AJ8=（）

A.{1,2,3}B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2}D.{（）,1,2,3}

二、填空题：木题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知P为曲线C：工=3后，上一点，T0,-,A（3,3）,则1MHp川的最小值为

QJ

14.已知双曲线E:二一马=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为《，生，点A是圆C:f+J+4x—8y+16=0上

a~b~

一个动点，且线段AF2的中点8在后的一条渐近线上，若帆6|=4,则E的离心率的取值范围是

15.若等比数列{q}的前〃项和为S”，且率=3,则金=.

16.若“*eR,/=〃?,，是真命题，则实数的取值范围_______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）己知数列a}的前〃项和为S“，2s〃+2〃=a,用一2,%=8,其中〃wN*.

（D记瓦=%+1,求证：也}是等比数列；

⑵设丁，数列{qj的前〃项和为7；,求证：7；,<-.

18.（12分）如图所示，四棱锥尸—A8C。的底面为矩形，PA=PB=PC=PD=BC=DA=a,AB=CD=®a，

过底面对角线AC作与相平行的平面交PD于点E

（1）求二面角E—AC-O的余弦值;

（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.

22.（10分）已知函数/。）=一/+④2+云―5在x=_1处有极值—1.

（1）求常数”，力的值；

（2）求函数/*）在J2.0］上的最值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】由题意转化为r（x）W0,x〉0恒成立，参变分离后转化为。2（-犬+2,皿，求函数

8（%）=一父+2用（%>0）的最大值，即可求解.

【题目详解】函数的定义域是（0,+8）,

、2,a-x1+2x-a

f（切=-1一_r=-----；-----'

Xx~X

若函数/G）在定义域内单调递减，即+2x—a<0在（0,y）恒成立，

所以〃之一/+2工，x〉0恒成立，即“N（-V+2x）

\'max

设g（x）=-f+2x=-（x-l『+1'A>0,

当x=l时，函数g"）取得最大值1,所以aNl.

故选：D

2、B

【解题分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【题目详解】解：由。>〃>0,得反之不成立，如。=一2,b=-\f满足/>1,但是不满足

bb

故"a>b>0”是“f〉1”的充分不必要条件

b

故选：B

3、A

【解题分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断.

【题目详解】由《，加得。(。一1)-6=0,即。=3或。=一2

所以。=3n4,/?,反之,则不然

所以“4=3”是“直线4：aE—2)，+3=()与直线4：(〃_1)1+3》_5=0垂直”的

充分不必要条件.

故选:A

4、D

【解题分析】“10大04”是“。工工工。+4”的充分不必要条件，结合集合的包含关系，即可求出。的取值范围.

【题目详解】•・・“1工/44”是“々工犬4。+4”的充分不必要条件

/.a<\或彳ia<\

。+424［。+4>4

故选：D.

【题目点拨】本题考查充分必要条件，根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为

集合间的关系，由此得到不等式(组)后再求范围.解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,

不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

5、A

【解题分析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所

31

求的概率为P=d=｝选A

6、D

【解题分析】利用互斥事件和对立事件的定义分析判断即可

【题目详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二

枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，4种情况，

其中事件A包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件

4包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，

所以A与人不互斥，也不对立，也不相等，p(A)=p(4)=J,

所以ABC错误，D正确，

故选：D

7、B

【解题分析】先求与y=%+2平行且与y=lnx相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.

【题目详解】设与V=x+2平行的直线与），=Iru一相切,

则切线斜率k=L

*•*y~Inx,/.y'——f

x

由y'=」=1,得尤=1.

A

当x=1时,y=In1=（）,即切点坐标为P（l,0）,

则点（1,0）到直线的距离就是线y=liu,上的点到直线y=X+2的最短距离,

,|1-0+213及

，点（1,0）到直线的距离为：d=Jf+（F=-

・・・曲线y=lux•上的点到直线/：y=2的距离的最小值为逑.

2

故选：B

8、C

【解题分析】根据函数单调性与导数之间的关系及极值的定义结合图像即可得出答案.

【题目详解】解：根据函数y=/（x）的导函数广（到的图象可得，

当x<—l,3<x<5时，/'（»<（）,故函数/（九）在（-00,-1）和（3,5）上递减，

当一I<xv3,x>5时，尸（">0,故函数在（一1,3）和（5,+oo）上递增，

所以函数“X）在x=T和x=5处取得极小值，在工=3处取得极大值，

故ABD错误，C正确.

故选：C.

9、C

【解题分析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案.

【题目详解】对A,r（x）=2x,为奇函数；

对B,/（x）=-sinx,为奇函数；

对C,/（x）=cosx,为偶函数；

对D,/（x）=e\既不是奇函数也不是偶函数.

故选；c.

10、D

【解题分析】由随机数表法抽样原理即可求出答案.

【题目详解】根据题意，依次读出的数据为65（舍去）,72（舍去），08,02,63（舍去）,14,即第三个个体编号为14.

故选：D.

【解题分析】设直线P4的倾斜角为仇设P尸'垂直于准线于尸，由抛物线的性质可得|PP|二|尸修，则

爵鼎二£当直线以与抛物线相切时，期。最小，需取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线

相切时的点尸的坐标，然后进行计算得到结果.

【题目详解】设直线Q4的倾斜角为仇设尸尸'垂直于准线于尸',

所以I则PAI高\P=A\扇=就i，

当cos。最小时，则行两值最大,

\PF\

所以当直线与抛物线相切时，0最大,即cos。最小,

由题意可得A（—1,0）,

设切线印的方程为：x=my-\,

x=my-\.

）2_4（，整理可得/一4/町，+4=0,

△=16w2-16=0,可得〃?=±1,

将加=±1代入），2-4〃少+4=0,可得y=±2,所以R=1,

即尸的横坐标为1,即尸的坐标（1,±2）,

所以|公二也?+22=2血,户用=1一（一1）=2,

2a厂

所以廿\PA4\的最大值为：—=72,

\PF\2

故选：B

【题目点拨】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质.解题的关键是利用了抛物线的定义.一般和抛物线有关

的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用.尤其和焦半径联系的题目,

一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化

12、D

【解题分析】根据题意，解不等式求出集合A={0,1,2},由得58,进而求出机=3,从而可求出集合

3={1,3},最后根据并集的运算即可得出答案.

【题目详解】解：由题可知，A='＜16/，

而3＜2加＜16,即2马＜2川＜23解得：一2cx＜3,

又由于XGN,得人={0,1,2},

因为则le8,所以1-4+加=0,解得：m=3,

所以4={工卜2-4工+3=()}={1,3},

所以Au3={0,l,2,3}.

故选：D.

【题目点拨】本题考查集合的交集的定义和并集运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解题分析】曲线。是抛物线9)，的右半部分，丁是抛物线的焦点，作出抛物线的准线，把归丁|转化为P到准线

的距离，则A到准线的距离为所求距离和的最小值

9

【题目详解】易知曲线。是抛物线x?=9y的右半部分，如图，因为抛物线/=9)，的准线方程为＞，=-

Q

7是抛物线的焦点，所以|PT|等于尸到直线/：），=-^的距离1A过A作该直线的垂线，垂足为H,则

Q71

|PT|+|PA|=|R4|+|PM|的最小值为忸叫=3+彳=亍

21

故答案为：v

4

14、[2,-KO）

【解题分析】设8（x,），），因为点8是线段AFz中点，所以有04+0^=208,代入坐标求出点8的

轨迹为圆，因为点B在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率，数

形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.

【题目详解】解：设以式,），），4（$,%）,因为点6是线段人工的中点，所以有。4+06=208,即有

%=2x—2,），。=2），，因为点A在圆上，所以满足：（X+2『+（），-4）2=4,代入可得：（2工一2+2）2+（27一4）2=4,

即Y+（y—2）2=1,所以点8的轨迹是以（0,2）为圆心，以1为半径的圆，如图所示：

因为点〃在渐近线上，所以圆一+（y—2『=1与渐近线有公共点，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，贝!]；圆心

（0,2）到渐近线bx-ay=。的距离为d=j俨,=1

因为忻£|=4,所以2c=4,即。=2,且户+/=。2=4,所以〃=1,此时-=5/3,当百时，渐

aa

近线与圆有公共点,

故答案为：［2,+8）.

15、5

【解题分析】根据题意和等比数列的求和公式，求得/=2,结合求和公式，即可求解.

SS

【题目详解】因为U=3,若q=l时，可得U=2工3,故。工1,

4（〜4）

所以一7V=手?=3,化简得l-—

少（1二右）

1-q

整理得/-3/+2=（）,解得“2=1或夕2=2,

因为9工1,解得/=2,所以口■==4=gW=5・

S4\-q1-2

故答案为：5.

16、｛m\m>Q｝

【解题分析】由于“玉©R,/=〃产是真命题，则实数机的取值集合就是函数）,=/的函数值的集合，据此即可求

出结果.

【题目详解】由于“±eR,V=机，，是真命题，则实数机的取值集合就是函数y=X2的函数值的集合，即｛，川m>0）.

故答案为：｛w|w>0）

【题目点拨】本题主要考查了存在量词命题的概念的理解，以及数学转换思想，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解题分析】（D应用为,S”的关系，结合构造法可得。向+1=3（4+1）,根据己知条件及等比数列的定义即可证结

论.

（2）由（1）得（?〃=丁，再应用错位相减法求，，即可证结论.

【小问1详解】

证明：对任意的〃£N"2s“+2〃=。向-2,4=8,

72=1时，2S]+2=/-2=6,解得q=2,

2时，因为2S”+2〃=q川一2,25“_】+2n-2=an-2,两式相减可得：2an+2=an+l-a/t,即有aH+l=3atl+2,

：,4用+1=3（q+1）,又〃=%+1,则=aH+i+1,

b、c

因为々=q+1=3,b2=a2+\=91所以才=3,

对任意的〃eN",b“>0,所以步一3,

因此，他｝是首项和公比均为3的等比数列

【小问2详解】

.〃+1〃+1

由（1）得：a=3x3〃T=3",贝！1。〃=丁二『

〃+1

丁

22I〃+1_52〃+5

两式相减得：/于士

3向=6~2-3n+l

3

八田一加,52〃+5E2〃+5八

化简可得，％=^一寸，又寸、°，

・T<-

“4

憎⑴2后

11

2、幅

33

【解题分析】（1）设连接P。、0E,证明出P01平面ABC。，推导出E为PD的中点，然后以

点。为坐标原点，AB、0P的方向分别为工、）'、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求

得二面角E-AC-D的余弦值；

（2）利用空间向量法可求得AE与PC所成角的余弦值；

（3）利用空间向量法可求得8。与平面E4C所成角的正弦值.

【小问1详解】

解：设工。03。=0,则。为AC、3。的中点，连接P。、0E,

因为P87平面AEC,PBu平面PBD,平面平面AEC=OE,贝!IOE//PB,

因为。为区。的中点，则石为夕。的中点，

因为P4=PC,。为AC的中点，则POJ.AC,同理可证

-ACC\BD=Ot「.POJL平面ABC。，

22

AB=4ia，BC=a,则/二七，/.PO=yJPA-AO=^-t

2222

以点。为坐标原点，DA、AB、OP的方向分别为x、＞、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

设平面诋的法向量为〃z=(x,y,z),AC=(-4&〃,0),AE

4'4'4

m-AC=-ax+41ay=0

,取.也,可得〃=（aJ,2夜）

tn-AE=----XH-----av+-z=0

44-4

m-fi25/225/22

--.-..........

易知平面ACD的一个法向量为〃=（0.0,1）,cos<m,n>=

由图可知，二面角石一AC—。的平面角为锐角，

因此，二面角E—AC—。的余弦值为2座.

【小问2详解】

3aV2aV2

解：AE=,PC=

44

AEPC

cos<AE,PC>=二B

——axa

因此，力E与八C所成角的余弦值为也.

【小问3详解】

—./厂\DnBDm-2\!2a2瓜

解：如卜。，一瓜0），8S<m…阿丁而7r一3

因此，△。与平面打。所成角的正弦值为皂妙.

33

19、（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解题分析】（1）连结30,证明EF〃PD即可；（2）证明BO_L平面HC即可

【小问1详解】

连结4。，则E是的中点，

又F是PB的中点，；.EF〃PD,

又所C平面PC。，PDu面PC。，

.♦.斯〃平面PCD

【小问2详解】

9

：PA±ABtPA±ADtABC\AD=AtAB.AOu平面ABC。，

・・・R4J_平面ABCD,

〈BOU平面：.PA±BDt

ABC。是菱形，:.BD±ACf

又尸八。/9=八，平面尸AC,

又BDu平面PBD,

・•・平面尸8OJ_平面PAC-

20、（1）证明见解析；（2）M为AC的中点，理由见解析.

【解题分析】（1）取8。的中点。，连接40,利用面面垂直的性质定理可得出40_1平面8℃'8'，可得出40,89,

再由88'J_AC,结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点O为坐标原点，OC、。4、3e的方向分别为X、）'、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设点

加（凡&（1-。）,3）,利用空间向量法可得出关于实数。的方程，求出〃的值，即可得出结论.

【题目详解】（1）取8c的中点。，连接A。，如图：

因为三角形A3C是等边三角形，所以AO_L3C,

又因为面3CCB'_L底面ABC,平面BC"平面A3C=3C,A。u面ABC,

所以40_1_平面BCC'R，

又u面BCC'B'，所以

又〈33」AC,AOcAC=A,•..881_L平面A8C；

（2）以点。为坐标原点，OC、04、3ZT的方向分别为“、丁、二轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

则8(-1,0,0)、E(0,6,2)、尸(1,0,1),在4c上找一点M(a,6(1—〃),3),其中OWaWl,

.•.BM=(a+l,G(j),3),BE=(1,"2),BF=(2,0,l),

设面BEF的一个法向量〃=(x,y,z),则LL*八，

'7[BF-/?=()[2x+z=0

不妨令x=l,则〃=(1,"一2),

•.BM和面8跖所成角的余弦值为叵，

8

|2«+2|76123

贝!)cos