高考押题理科数学一

高考押题理科数学一

1.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的圆心。（&,三），半径厂后.

4

（I）求圆c的极坐标方程:

x-2+rcosa（（为参数），直线/交圆c

（11）若。=0,-,直线/的参数方程为•

4y=2+fsina

于A、B

两点，求弦长|AB|的I仅值范围.

2.（本小题满分10分）选修4-5:小等式选讲

已知函数f（x）=\x-3\-¥\x-2\+k.

（I）若/。）23恒成立，求后的取值范围:

（11）当k=l时，解不等式：/（x）＜3x,

3.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.

如图，圆历与圆N交于AB两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和

圆N于C,。两点，延长。3交圆M于点E,延长C8交圆N于点厂.已知

BC=5,DB=\0.

CF

（1）求A3的长；（2）求一.

DE

4.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲.

Ix=3cos0

已知曲线。的参数方程为八（。为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上

y=2sin0

3

的点按坐标变换《得到曲线c.

y'=^y

（1）求曲线c的普通方程；

（2）若点A在曲线C'上，点B（3,0）,当点A在曲线C上运动时，求中点尸的轨

迹方程.

5.（本小题满分1（）分）选修4一1：几何证明选讲

如图，48是圆。的一条切线，切点为B,ADE、CFQ都是圆。的割线，AC=AB,CE

交圆O于点G.

(I)证明：AC-=ADAEx

(II)证明：FG//AC.

6.（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程

已知点〃（-6,0：,点P（0,〃）在），轴上.，点。3,0）在x轴的正半轴上，且满足

而_L?S，点M在直线PQ上，且满足丽=2丽.

（I）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程；

（n）若点M在曲线C：「一'”为参数）上，求点M对应的参数/（OV/V27t）

y=V2sinf,

的值.

7.（本小题满分10分）选修4一5：不等式证明选讲

在aABC中，内角A、从C所对的边的长分别为〃，b,c,证明卜面问题.

1II

(I)+abcNl耳:

8.（本题满分12分）

在三棱柱A8C—口，已知A3=6C=2,NABC=90°,点A在底面48C

的投影为B,且4,8二2百.

(I)证明：平面AA8/1平面34GC：

(2)设P为4G上一点，当尸A=同时，求二面角4—A8—夕的正弦值.吟

9.(本题满分13分)

V\广

如图，设尸是椭圆C：r+K=l(a>〃>0)的左焦点，MN为椭圆的长轴，P为椭圆

a-b~

C上一点，

且|而归2,6].

(I)求椭圆。的方程;

(II)设点。(-8,0),

①求证：对于任意的割线QA8,恒有NAFM=N8FN：

②求三角形AA8b面积的最大值.

10.(本小题满分14分)设函数/(x)=lnx+(x-〃)2-],aeR.

(1)若函数/(x)在[；,2]上单调递增，求实数。的取值范围：

(2)求函数/*)的极值点.

(3)设x=m为函数f(x)的极小值点，/(X)的图象与x轴交于

A(,,0)5：X,炉)(两点，且0VAic吃<〃2,A8中点为。(与,0),比较

/*)与0的大小.

II.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=2sinxcosx+26cos2x-43,XGR.

(I)求函数y=/(-3])+1的最小正周期和单调递减区间；

(H)已知凶4C中的三个内角A,4,C所对的边分别为“b,c,若锐角4满足

<(---)=73,且。=7,sinB+sinC=-^^,求的面积.

2614

12.(本小题满分12分)

B

如图，在四棱锥E-A8C。中，底面A8C。为正方形，

AE_L平面COE,已知A£=Z)£=2,尸为线段。£的中点.

(I)求证：4E〃平面4CF;

(II)求二面角C-E的平面角的余弦值.

13.(本小题满分12分)

已知数列伍“｝中，q=1,%•4+i=《)"，记匕为血｝的前2〃项的和，2=%”+外，

/jeN*.

(I)判断数列｛〃/是否为等比数列，并求出"；

(H)求口”.

14.(本小题满分13分)已知椭圆。：1+斗=1(。＞人＞0)的两个焦点分别为耳，F,,

ab

离心率为:，过"的直线/与椭圆C交于M,N两点，且AMN鸟的周长为8.

(1)求椭圆。的方程；

(II)过原点。的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,求证：点0到直线

AB的距离为定值，并求出这个定值.

15.(本小题满分14分)已知〃?wR,函数f(x)="Li一~--lnx,^(x)=—+lnx.

xx

(I)求g(x)的最小值：

(ID若y=/(x)—g(x)在［1,+8)上为单调增函数，求实数〃?的取值范围：

叶口口In2ln3In4In/?n2.....

(/IITlIlX)证明：——+——+——+...+——<-------QiwN).

234n2(〃+1)

高考押题理科数学一答案

1.解：（I）由。（&,工）得，。直角坐标（1』），

4

所以圆C的直角坐标方程为（x—If+（y—=3,.............2分

X=OCGsO

由《"八得，圆C的直角坐标方程为

y=psinp

p2—2pcos^—2psin^—1=0................................5分

t=2+/cosct

（ID将，一，代入。的直角坐标方程行-1）2+（丁-1）2=3,

y=2+zsina

得r+2（cosa+sina）/-l=0，则A>0,

设A,B对应参数分别为乙，%，则

.+.=-2（cosa+sina）,r,r2=-1,

|AB|=jtx-t21=J.+.）2-4/也=j8+4sin2a....................8分

因为ae[0,£）,所以sin2ae[0,l）所以8+4sin2aw[8,12）,

4

所以I481的取值范围为[2&,24）............................................10分

2.解：（I）由题意，得,一3|+卜一2|+左之3,对VxwR恒成立，

即（卜一3|十卜一2pmi注3-攵.....2分

又,一3|+\x-2\>\x-3-x+2\=1,

・•・（|x-3|+|A-2|）n.n=l>3-A:,解得...................5分

（II）k=1时，不等式可化为/。）=卜一3|+上一2|+1<3不.

当x<2时，5x>6,解得“号，.\!<x<2；

9

当2<xv3E寸，3x>2,解得x>二，2vx<3：

3

当x23时，x>-4,.・.x23.

综上，原不等式的解集为［自,+8.

15）

3.【解析】（1）根据弦切角定理，

知ABAC=ZBDA,ZACB=NDAB,

ABBC

•••△ABCs△084，则1H——=——，

DBBA

故研=BC-BD=50,AB=5C….5分

(2)根据切割线定理，知C42=C8-b,

DA?=DBDE,

rA2CRCF

两式相除，得二二二上2-*二(*).

DA2DBDE

由△A8CS/\Q84,

得£"572_V2CA2_\pCB51

=，又工=-7=不，由（）

DADB—1()F'B^2DH102

CF

得——=1.10分

DE

A——X

x=3cos〃x=cos0

4.【解析】（1）将《代入〈',得C'的参数方程为

y=2sin〃y=sin0

y'=—y

2

・•・曲线C的普通方程为炉+/=1......5分

(2)设P(x,y),AC%,%),又8(3,0),且A8中点为P

x=2x-3

所以有:Q

)'o=2y

又点A在曲线C'上，，代入C的普通方程片+尤=1得（2x-3/+（2y）2=1

・•・动点P的轨迹方程为“一|）2+V=；.

.....10分

5.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

证明：（I）因为为口。的切线，ADE为口。的割线，

所以八1=4力.4石，又八8=AC,所以人。2=八。.人区

分

（H）由（I）知丝=丝，又/D4C为公共角，

ADAC

所以△COAS^EAC,所以4C7）=/AEC.....①

又四边形。EGF为匚O的内接四边形，

所以NCFG=NCED.....②

由①②知NCFG=NACD,

所以FG〃AC.10

分

6.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

解析：(I)设点M的坐标为3,y),则诉=(6,%)，PQ=(at-b),

PM-(x,y-b),MQ=\a-x,-y),

由前_L而，得6a-/=0.

由丽=2丽，得[L-”)，即卜立

I-=

由64-//=0得V=x,故点M的轨迹C为)2=x(x>0).……5

分

(II)依题意2sin?/=3cos/,即2cos?/+3cos/-2=0,cos/=—.

2

又0V/V2兀，・・.r=2,—.……10

33

分

7.（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲

证明：（I）因为“，b,。为正实数，

由均值不等式可得二+1+423、』.；」,即二+1+4=3

abcVabcabcabc

所以1+1+]+abcN-^-+abc,

crbcabc

而+abc^2I■abc=275,所以《+1+二+abcN2\fi........5

abcVabcabc

分

1

,II、11-J13.391A

ABC\ABC3ABeA+B+C产

3

分

8.(本题满分12分)

在三棱柱ABC-A4G中，已知43=8C=2,N48C=90。，点A在底面ABC的

投影为8,且A,8=2j§.

(1)证明：平面A4,与月，平面A4GC；

(2)设P为/a上一点,当R4=J药时，求二面角4一的正弦值.噜

（1）证明：•；AB_L平面ABC,BCq平面A8C

:.A^B-LBC,

在AA8C中，Z4BC=90°,/.AB上BC,

・•・8C_L平面至片8,平面BHCC，

・•・平面MB/j_平面34G。：

(2)法一：传统方法由(1)知4GJL平面44,44,.•・P4_L平面AA片B,

过点用作棱AB的垂线，垂足为。，连接。P,则N/。,即为二面角\-AB-P

的平面角

连接八国，在A48片，由余弦定理可求得=J示，

;PA=y[29,：.PB.=\,Z.OP=4vi,：.sinZPOB.=—

13

法二：向量方法如图建立空间直角坐标系3—乎2,

4(2,0,0),4(0,2,0),A(0,0,2屈,

由4A=以=4(-2,0,26)，

由4G=4C=>G(-2,2,2g),

由B©=gPnP(—2,马,2扬(九>D，

A

由4P=A/29=>2=2,AP(-2J,2X/3),设3=(x,y,z)为平面尸AB的法

向量，则

7IBA=0fx=o

=>匚,取/i=(o,—6,-75),

/丽=0[-2x+y+2yJ3z=0

由(1)知万=比=(0,2,0)为平面MB产的法向量，

0Ml前>=一半=——・$in<7,五>=巫

2V39V313

解：(I)

(II)①易知直线A8斜率存在.

当44的斜率为0时，显然NA/M=N8KV=0,满足题意，

当AB的斜率不为0时，设LAB：x=my-SQnW0),A(x},y),A(x2,y2),

x=my-8

2

由Y),2=>(3m4-4))2-48〃zy+144=0.

一+—=1

1612

2222

・•・A=48nr-4xl2(3"+4)=24(m-4)>0=>病>4,

48/??144

"2=R・

则

>\.y2-_、(〃①一6)+)，2(，孙一6)

k...+kBF=工一十*I

芭

"打+2X2+2my}-6my2-6(〃明-6)(〃［力-6)

2猴%)‘2一6(.»+%)

(/nyl-6)(77Z}s-6)

14448/?/

又2my-6(+>%)=2m•——--6—^~-=0,Ak^+k^.=0,从而

x3nT+45nV+4

ZAFM=NBFN.

综合可知：对于任意的割线。8,恒有NAEM=N8EV.

72册2-4

s

②由①，S.BF^^QBF阳旧-)止

-253nr+4

_z^EL___j=肉

W-4)+l6=162VT16

JW—4

当且仅当3ylm2-4=*,即〃?=±2工(此时适合于△＞。的条件)

\Jm2-43

时取等号.

三角形A48/而枳的最大值是3Q.

换无法：令yjin2-4=/(/>0),则

应三=2_=上<三3为

3/+43/+16［一3一2屈

I

2x2-lax+1

解：(1)f\x)=—+2(x-a)-

xX

依题意得，在区间W，2]上不等式2/一2办+12()恒成立.

乂因为x>0,所以2aW(2x+L).所以2。42及，a<41

x

所以实数。的取值范围是(-8,V2].

小、2x*2-2ax+1人，/、32c,

(2)f(x)=----------•令/?(.r)=2x~—2ax+1

x

①显然，当aW0时，在(0,+oo)上〃(x)>0恒成立，这时f\x)>0,此时，函数/(x)

没有极值点；.............................6分

②当a>0时，

(i)当△W0,即0<aW血时，在(0,+oo)上力。)力0恒成立，这时f(x),0,

此时，函数/(x)没有极值点；

(ii)当△>(),即时,

易知，当苦Sj心)<0,这时人

当0<三<丝包二或”时,/?(x)>0,这时/'(幻>0；

22

所以，当血时，丫=竺近二是函数的极大值点；%="+"/一2是函数/(用的

22

极小值点.

综上，当aW血时，函数。/)没有极值点；

当时，是函数/*)的极大值点;

竺也二2是函数/(丫)的极小值点.........9分

2

f(xl)=\nxl+(x}-a)-^-=0

2两式相减

(3)由已知得2得：

2

/(x2)=lnx2+(x2-«)-^-=0

in—+(x)-x2)(x)+x2-2a)...①

由/(x)='+2(x-a),得f(/)=■!-+2(/-a).......②得①代入②，得

x毛

.12

f(毛)=—+2(%-a)=------+(玉+x2-2a)

r9/-?(t-\V

令/=」£(()1),且---lnr(0</<l),v^(r)=--^<0,

x2t+\t(t+\y

，夕⑺在(o,i)上递减，，•.奴奴i)=o

•.•王<天，/.r(N>)<。

11.(本小题满分12分)

解：(I)</(x)=2sinxcosx+>/3(2cos2x-1)

=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+—)........................................2分

3

/.y=/(-3x)+1=2sin(-6.x+—)+1=-2sin(6x-—)+1

.­.y=/(-3r)+l的最小正周期为7=；=g............................3分

63

由2ATZ■一工W6x-工W2攵4十工得：—k7r--<x<-k7r+—fkwZ,

232336336

y=/(-3x)+l的单调递减区间是©攵;r-J，!攵；r+娑］、kwZ...........6分

336336

(H)v/(y-^)=^,.\2sin(A-y+y)=A/3,/.sin4=—...........7分

jrJrb+C

*/0<A<—,A=—.由正弦定理得：sinB+sinC=----sinA,

23a

)36b+c6,g八八

1472

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得：a2=(b+c)2-2bc-2bccosA,

即49=169—3加，...林=4011分

=—Z?csinA=—x40x12分

22

12.(本小题满分12分)

证明：(I)连结8。和AC交于。，连结。尸，....................................................1分

•・・/\8CD为正方形，「.。为中点，为。E中点，

/.OF//BEt.....................................................................................................................3分

•.•BEa平面AC/,O〃u平面ACr

8E〃平面AC/.............................................................................................................4分

(II)vAE1.平面CDLfCDu平面CDLf

:.AElCDt

•；ABCD为正方形,CD1AD,

vAEC\AD=A,4D,AEu平面。AE,

/.CD_L平面DAE,D

DEu平面DAE,:.CDA.DE............................................................................6分

.•・以。为原点，以DE为x粕建立如图所示的坐标系，

则E(2,0,0),尸(1,0,0),42.0,2),。(0,0,0)

,/AE±平面CDE,DE<z平面CDE,AE±DE

•••AE=DE=2,，AD=2五

・；ABCD为正方形，；.CD=2^,;.C(0,2j^,0)

由ABC。为正方形可得：力2=方+丈=(2,20,2),「.5(2,2立,2)

设平面BEF的法向量为I=区,y,4)

BE=(0,-272,-2),在=(1,0,0)

/T-BE=0f-2y/2\\-2z=0r

由《____=>{"八t，令y=],则

用FE=Qx,=0

.•不=(0,1,—4..............................................................................................................8分

设平面BCF的法向量为区=X，,2，z2)，

配=(-2,0,-2),CF=(1,-272,0)

/?,•BC=0-2X2-2Z2=0

llP二一0令)％=1，则玉=2\/2,Z2=-2\/2

x-2\/2y=0

n2-CF=022

.•.区=(2及,1,一2夜)......................................................10分

设二面角C-8尸-E的平面角的大小为。，则

n.——x——1+45\/51

cos0=cos(4一<n,,n>)=-cos<n,,n.>=--=r~=-=——=——==------

7V3xVi751

二面角C-Bb-E的平面角的余弦值为一第I..........................12分

13.（本小题满分12分）

2分

..，山二生2+的田二2"；2"二1

-2a2n+a2n-l%十七〃T

所以｛"｝是公比为y的等比数列...............................................5分

.1I.3

•.•4=1,aca2=-t.\«2=-=>/?,=«,+«2=-

71?

=^x（-r'=^....................................................6分

（n）由（I）可知a“+2=ga”，所以q,4,6,…是以q=1为苜项，以;为公比的

等比数列；%,a、，4，•••是以出二;为首项，以;为公比的等比数列........10分

乙乙

T2n=+/+…+%”i)+(%+4+…+4”)

n

=_i-(2-r\-ii-、(-)」j=33Q

1-11-1.2”.............

22

14.解：(I)由题意知，4〃=8,所以a=2.

E、I1LL1、Ib~Cl~~C~,23

因为e=_所以F=——：-=］一夕=_所以从=3.

2tT4

所以椭圆C的方程为—+^-=1........4分

43

II）由题意，当直线A5的斜率不存在,此时可设4（%,%）,仇小，-厮）.

又A,4两点在椭圆C上，

2

所以工+至=1,x0=—.

4307

所以点。到直线AB的距离d......6分

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m.

y=kx+m,

由,fy2消去)，得

---1---=1

43

2

(3+4公)A-++4〃『-12=0.......8分

由己知△〉().得：3+4公