初中数学58种模型-15、半角模型

半角模型

模型倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

已知如图：

Z2=-ZAOB,OA=OB.

2

连接FB,将AFOB绕点。旋转

至0A的位置，连接F'E、FE,

可得△OEF'^AOEF.

基本模型（1）一一正方形内含半角

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，NEAF=45°，求

证：EF=BE+DF.

基本模型(2)——等边三角形内含半角

已知：如图是等边三角形，点。是外一点.123=。。且/8。。=120*.

Z£DF=60°,DE、DF分别交AB、dC于点E、F.

求证:EF=BE+CF

分析：延长了V到G.使得CG=BE,

联结DG,S\^L^CDG^BDE

再证:DEF三皿G(SAS),所以EF=FG=BE+CF

£

G

基本模型(3)——等腰直角三角形内含半角

已知：如图上SC是等腰直角三角形，点。、E在BC上，且满足NZM£=45。.

求证：DE，=BD：+C£2

1

/

BDE

法一：旋转

如右图:将4烧驾点d旋睛图二XCF,易

还4/上上.近所以0£=尸£小*=8。，由

于£ECF=4CA+4CF

=4CW+44Ca=90°

WilU£C:+CF:=EF:,得证.

法二：翻折

如右图：将』4BD沿着.4DIB听褥到TDF,

联结EF,易证』L50至二以普，

“CE三“FE,所以BD=FD,CE=FE

WFE=ZDE4+Z£E4==+NC=90。

所以。尸+£F：=".用证

模型分析

(1)半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点;

⑵通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系；

⑶常见的半角模型是90°含45°,120°含60°.

半角模型及其常见结论

在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足z.EAF=45°

AE、AF分别与对角线交于点M、N（AAEF满足定角定』为‘唐三角模型’）

求证：(1)BE+DF=EF

(2)SAA8E+SAA0F=SAA&

(3)AH=AB

(4)CAECF=2AB

(5)BM^DN^MN2

(6)AAMN^AONF^ABEM^AAEF^ABNA^ADAM

(7)SAAMN=SnawMNEF

(8)AAOM^AADF,AAON^AABE

(9)AAEN为等腰直角三角形且匕AEN=45°;ZiAEN为等腰直角三角

形

且乙AEN=45・

(10)A、M、F、D四点共圆：A、B、E、N四点共圆；M、N、F、C、

E

五点共圆；

核心母题如图，在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点，NEAF=45°,求

证：EF=BE+DF.

【专题IE明题.

【分析1口图，作辅助线，首先证明△AFEW21AFG,进而得到EF=FG|'可题即可解决.

【解答IE明：VAB=AD,

•，把aABE绕点A逆时针旋转90°至AADG,可使AB与AD重自，如图:

・•・NBAE=NDAG,

VZBAD=9O°，ZEAF=45°,

ZBAE+ZDA?=45°，

・•・ZEAF=ZFAG,

VZADC=ZB=90°,

.--ZFDG=1800，点F、D、G共线,

在△AFE和中，

[J£=.4G

NEGNE4G，

<AF=AF

.,.△AFE^AAFG(SAS),

--.EF=FG,

即：EF=BE+DF

【点评考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作

辅助线，构造全等三角形.

变式-：如图,E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上的点，若4ECF的

周长是2,求/EAF的度数？

D

BC

【考点叁等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【分析艇长CD至H,使得DH=BE,连接AH,得出△ABEWAADH,可得FH=EF,即可证明AAF

E^AAFH,可得/EAF=/HAF,根据/HAE=/BAD=90。即可解题.

【解答期：延长CD至H,使得DH=BE,连接AH,

VCE+CF+ED=2,BC+CD=2,

.*.EF=BE+FD,

•••△ADH是△ABE逆时针选转90度。形成，

/.△ABE^AADH,

ZDAH=ZBAE,AE=AM,BE=DH,

.•.FH=DF+DH=DF+BE=EF,ZHAE=ZBAD=900，

•・・在△AFE和AAFH中，IEF=FH，

=Jr

.,.△AFE^AAFH,(SSS)

ZEAF=ZHAF,

VZMAE=90°,

/.ZEAF=45°.

【点评本题考查了全等三角形的判定，考察了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证

△AFEgAAO是解题的关键.

变式二:如图，在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,NEAF=45°,AG_LEF,

求证:AG=AB.

BC

【考点薪转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题墓明题.

【分析冼根据正方形的性质得AB=AD,ZBAD=90°,则可把^ADE绕点N顺时针旋转90°得

到△ABQ,如图，根据旋转的性质得AQ=AE,ZEAQ=90°，ZABQ=ZD=900,则可

判断出Q在CB的延长线上，由/EAF=45°得到/QAF=90。-NEAF=45°，然后根据

“SAS”判断AAFQgaAFE,得到FQ=FE,再根据全等三角形对应边上的高相等得

到结论.

［解答聚明：•・•四连形ABCD为正方形，

AAB=AD,ZBAD=90°，

.♦.把AADE绕点A|顺时针旋转90°得到△ABQ,如图,

/.AQ=AE,ZEAQ=900,ZABQ=ZD=90°,

而NABC=90°,

・••点Q在CB的延长线上，

VZEAF=45°,

AZQAF=900-ZEAF=450,

・••ZEAF=ZQAF,

在AATQ和AAFE中，

\AF=AF

\z-OAF=Z-iAr,

AAFQ^AAFE(SAS),

.'.FQ=FE,

VAB±FQ,AG±FE,

・••AB=AG.

【点评墓题考查了流转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于流转角；旋转前、后的图形全等.也考查了全等三角形的判定与性质

、正方形的性质.

综合:在正方形月池中，若欣N分别在边比；⑦上移动，且满足好当V+必；

求证:①.一场“二45,②.GCMN=2AB③.4仅4V分别平分4W和/〃网

D

N

BM

练习

1、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,NA=NC=90°,NB=135°,K、N分别是AB、BC

上的点，若ABKN的周长是AB的2倍,求NKDN的度数?

2、已知：正方形ABCD中，NMAN=45°,NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边

分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N.当/MAN绕点A旋转到BM二DN时

（如图1）,易证BM+DN=MN.

（1）当NMAN绕点A旋转至ijBMWDN时•（如图2）,线段BM、DN和MN之间有怎样

的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当NMAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段B\l、DN和MN之间又有怎样的

数量关系？请直接写出你的猜想.

1考点】读转的性而；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

［专题】计算题；压轴题.

［分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到AAEM空△AMM，从而证得ME=MN.

（2）DN-BM=JO.证明方法与（1）类似.

【解答】第：（1）BM+「N=MN成立.

证明：如图，把△ADN绕述A顺时针族转90°，

国到△ABE，则可证得E、b、M三点共妓（图形画正确）.

•••ZEAM=900-ZNAM=90°-45°=45°，

又•J/NA・=45°，

AE=AN

二在AAEK与△AHM中，Z£J.U=Z.V4A/

AM=AM

.,•△AEM4AAAM（SAS），

•••ME=MN，

VME=BE+BM=DN+BM-

DN+BM=MN；

(2)DN-BM=MN.

在线段DN上截取DQ=BM，

在AADQ与aABJ(中，

AD=AB

Z-ADQ-Z-ABM

DQ=BM

A1ADQ^AABI(SAS)，

•••ZDAQ=ZBAM.

ZQAN=ZMAN.

在△AHN和△AQR中，

AQ=AM

,乙QAN=乙工AN

AN=AN

AAMN^AAQi(SAS)，

•••MN=QN，

■,•DN-BM=MN.

工点讨2本题考堂了旋转的性质，斛决此类同肱的关谑是正确的利用旋转不变里.

3、如图，在四边形ABCD中,AB=AD,,NB+ND=18（T,E、F分别是边BC、CD上的点,

且2NEAF=NBAD,

（1）求证:EF=BE+FD

（2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变,结论是否仍然成立?

说明理由.

【分析】(1)延长CB至M,使BM=DF,连接AM，证△ADFNAABM,证△FAE4AMAE,即可得出答案；

(2)在CB上散取BM=DF,连接AM,证△ABMgA.ADF,推出AF二AM,ZDAF=ZBAM»求出/EAM=NE

AF,证AFAE空△MAE,推出EF=EM即可.

「.△ABM空△ADF(SAS),

AAF=AM,ZDAF=ZBAM,

VZBAD=2ZEAF,

，ZDAF+ZBAE=ZEAF,

•••ZEAB+ZBAH=ZEAM=ZEAF,

在AFAE和△MAE中，

rAE=AE

<NFAE=/MAE，

<AF=AM

/.△FAE^AHAE(SAS)，

.*.EF=EM=BE+BM=BE+DF,

即EF=BE+DF.

⑵解:EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF，

理由是：在CB上截取BM=DF,连接AM，

VZABC+ZD=180°,ZADC+ZADF=180°,

ZABC=ZADF,

在和4ADF中，

/AB=AD

</B=』ADF

、BM=DF

/.△ABM^AADF(SAS),

/.AF=AM,ZDAF=ZBAM,

VZBAD=2ZEAF=2(ZEAD+ZDAF)=2(ZEAD+ZBAM)=ZEAF+(ZEAD+ZBAM)

又•••/BAD二(ZBAN+ZEAD)+ZMAE

/.ZMAE=ZEAFftAFAE^]AMAE^,

，AE=AE

Z_FAE-/MAE，

^AF=ASf

AAFAE<£AMAE《SAS),

/.EF=EM=BE-BM=BE-DF,

即EF=BE-DF.

4、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD:ZABC+ZAED=180°求证:AD平分

ZCDE.

D

【分析】连接AC，延长DE到F,使EF=BC,连接AF，易证AABC空aAEF,进而可以证明空ZkAFD,

可得/MC=/ADF即可解题.

【解答】解：连接AC，延长DE到F,使EF=BC,连接AF，

.,.CD=FD,

VZABC+ZAED=180°,ZAEF+ZAED=180°,

ZABC=ZAEF,

在AABC和AAEF中，

(AB=AE

{Z.A3C=Z-AEF，

[3C=EF

AABC^AAEF(SAS),

AC=AF，

在AACD和ARFD中，

(AC=AF

\cD=FD，

yAD=AD

AACD^AAFD(SSS)

ZADC=ZADF,

即AD平分/CDE.

5、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2,NABC=NAED=90°,求五边形ABCDE的面积.

A

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】应用题.

【分析】可延长DE至F，使EF=BC,可得△ABC2Z1AEF,逢AC,AD,AF,可将五边形ABCDE的面积转化

为两个4ADF的面积，进而求出结论.

【解答】解：延长DE至F,使EF=BC,连AC,AD,AF,

VAB=CD=AE=BC+DE,ZABC=ZAED=90°,

.••CD=EF+DE=DF,

在△ABC与4小尸中，

AB=AE

V^ABC=Z.AEF

BC=EF

/.△ABC^AAEF(SAS)，

AC=AF，

在AACD与AAPD中，

(AC=AF

•••[CD=DF

(AD=.4D

.,.△ACD^AAFD(SSS)，

五边形ABCDE的面枳是:S=2SAADF=2X1'DF,AE=2xlx2X2=4.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握.

6、如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD

上的点，且NBAD=2NEAF.

(1)求证：EF-BE+DF；

⑵在(1)问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD

延长线上时，如图2所示，

试探究EF、BE、DF之间的数量关系.

C

BB

图1图2

【考点】全等三角形的制定与性质.

1分析】(1)延长CB至M,使BM=DF,连接AM,证AADF空ZkABM,证aFAE空△MAE,即可得出答案；

(2)在CB上截取BM=DF,连接AM,证△ABMWZkADF,推出AF=AM,ZDAF=ZBAM,求出NEAM

=ZEAF,证AFAE经ZiMAE,推出EF=EM即可.

【解答】(1)证明：延长CB至M,使BM=DF,连接

AM,

•••NABC+ND=180°，ZABC+ZABM=180：\\X\

:.ZD=ZABM,

在△ABM和△ADF中

(AB=.4D

<N.WHALZD

{BM^DF

.-.△ABM^AADF(SAS),

/.AF=AM,ZCAF=ZBAM,

•••ZBAD=2ZEAF,

:.ZDAF+ZBAE=ZEAF,

:.ZEAB+ZBAM=ZEAM=ZEAF,

在△FAE和△MAE中，

A£=A£

乙FAE=乙MAE,

AF=M

AFAE^AMAE(SAS),

.•.EF=EM=BE+BM=BE+DF»

即EF=BE+DF.

(2)解：EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF,

理由是:在CB上薮取BM=DF,连接AM,

VZABC+ZD=180*,ZADC+ZADF=180°,

ZABC=ZADF,

在△ABM和AADF中，

(AB=.4D

<4B=Z.ADF

[BM=DF

.,-△ABM^AADF(SAS),

AAF=AM,ZDAF=ZBAM,

VZBAD=2ZEAF=2(ZEAD+ZDAF)=2(ZEAD+ZBAM)=ZEAF+(ZEAD+ZBAM)

XVZBAD=(NEAM+NEAD)+ZMAE

••・/MAE二NEAF在AFAE和AMAE中，

(AE=AE

\Z.FAE=4MAE，

[AF=.4M

/.△FAE^AMAE(SAS),

.,.EF=EM=BE-BM=BE-DF,

即EF=BE-DF.

7、如图，在△ABC中，/ACB=90°,AC=BC,P是aABC内一点，且

PA=3,PC=2,PB=1.求NBPC的度数

1专邕1计算题.

【分析】过点C作CD_LCP，使CD=CP=2,连接CD，PD,AD,根据AC=BC,由同角的余角相等得到夹角相

等，利用SAS的三角形ACD与三角形CBP全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得至低

D=BP=1,NADC=NBPC,在直角三角形DCP中，利用勾股定理求出DP的长，由AD以及”的长，

利用勾股定理的逆定理得到三角形ADP为直角三角形，由N4+N5求出NADC度数，即为NBPC

度数.

【解答】解：过点C作CD_LCP,使CD=CP=2,连接CD,PD,AD,

VZl+Z2=ZACB-90A-ZDCP=Z3+zi2>

AZ1=Z3,

在△0仙和4082中，

[CD=CP

1Z3=Z1,

[AC=3C

.,.△CAD^ACBP(SAS),

.*.DA=PB=1,ZADC=ZBPC,

在等候Rt^DCP中，Z4=45°，

根据勾股定理得：DP2=CD2+CP2=22+22=8,

VDP2+DA2=8+1=9,AP2=32=9,

.-.DP2+DA2=AP2,

.•.△ADP为直角三角形，即N5=90°，

则NBPC=NADC=N4+N5=45°+90°=135°.

半角模型

"且e+/=i8（y）.

条件:

思路：

（1）、延长其中一个补角的线段

（延长切到其使切物，连四或延长/到月使用NW,连"）

结论:①MN;BM+DN②C«MN=2AB③,丝

分别平分"W和N7W

（2）对称（翻折）

思路:分别将阳和AaW以阳和AN为对称轴翻折,但一定

要证明

肌P、〃三点共线.（NB+N»180且AB=协

例题应用：例1、在正方形被笫中，若欣〃分别在边8GCD上

移动,且满足MN=BM+DN,求证:①.44245D

②.

C\GWN=2ABN

BMC

③.幽AV分别平分"W和N7WK

思路同上略.

例1拓展:在正方形幽初中，已知为般45,若欣〃分别在边区

加的延长线上移动，

①.试探究线段3BM、2V之间的数量关系.

②.求证:AB=AH.

提示如图:

例2.在四边形西切中，4九号180,血仞若反尸分别在边

ZEAF=-ZBAD.

BC、切上，且满足跖二郎+欣求证：2

D

A

B

提示:

练习巩固：如图，在四边形的9中，4三290,血妆若反F

NEAF=、NBAD.

分别在边比；切上的点，且2.求证:跖射+加:

BE提示:BEC

半角

例题：

如图，将△OEW绕点C,顺时针旋转90°,得AC4D,连结MD,

则彳。=8N=”，CD=CN,ZACD^ABCN,

•••ZMCD-ZACM+ZACD

=ZACM+ZBCN

=90°-45°=45°=ZMCN.

•••AWcqMfvc,

:MD=MN=x

又易得功皿=45。+45。=90°,

••在RlA/LWD中，有"J+/

练习：

1、如图，正方形袒8的边长为1,.48、AD上各存一点P、Q,若A1P0的周长为2,求ZPC0的度数.

2、E、产分别是正方形,仍8的边友?、CD上的点，且N£IF=45。，⑷/_LEF,〃为垂足，

求证：AIt=AB.

3、如图所示，在等腰直甬AJ比的斜边.48上取两点M、N,使ZACW=45。，记用W=/n,MV=x,BN=n,

求证：以x、册、〃为边长的三角形的形状是直角三角形.

AmMB

4、已知：如图1在RtA■出C中，Z£MC=90P,,点D、£分别为线段比,上两动点，若ZZM£=45。,探

究线段8。、DE、网?三条线段之间的数量关系.

小明的思路是：把A4比密点*顺时针旋转90°,得到必即，连结££),

使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴猜想切入DE、£C三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

(2)当动点£在线段叱上,动点。运动在线段C3延长线上时，如图2,其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生

改变？请说明彳尔的猜想并给予证明.

解析：

L如图，正方形的边长为1,48、上各存一点尸、0,若&4P0的周长为2,求NPtp的度数

解：把ACD(?绕点C版专时到AGW•'加置，CQ-CF.

VAQ+AP+QP=2,

又AQ+QD+AP+PB=2,

:QD+BP=QP.

又DQ=BF,

:PQ=PF.

.••ApCQ9Mb.

,•ZQCP=AFCP.

又•N0W=9O0,

二NPC0=45°.

2、E、尸分别是正方形.血。的边4。、8上的点，且NE"'=45。，/1〃_L£F〃为垂足，

求证：AH=AB.

解：延长C8至G,使6G=。夕，连结4G,

易证,

Z.BAG=NDAF,AG=AF.

再证△*£G9A/f£F,

全等三角形的这应高相等

(利用三角形全等可证得)，则有=.

3、如图所示,在等腰直角A48c的斜边48上取两点