大学数学-实变函数教案讲义

大学数学.实变函数教案讲义

第一章集合

一、学习内容

1.集合的概念，集合的表示方法、集合的运算（并、交、差、

补）以及集合列的上极限与下极限和极限的运算。

2.集合对等的概念与伯恩斯坦定理。

3.集合基数的概念，并理解可数基数和连续基数。

二、学习要求

1.必须准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运

算既有和代数运算在形式上有许多类似的公式，但也有声多

本质不同的公式。学习时千万不要不加证明地把代数恒等式

搬到集合运算中来。

2,可数集是所有无限集中基数最小的无限集，这一点很关键。

所以从一无限集中去掉一个可数子集后，若剩下的仍为无限

集，则剩下的无限集的基数与原无限集的基数相等。类似的，

无限集并上一个可数集后，其基数也不变。

3.学习本书中的概念既要从肯定方面又要从否定方面加以

考虑，并能在此基础上总结出论证某些问题的基本思路与方

法。

4.一列集合的上极限、下极限及极限是用集合运算来解决分

析中许多问题的基础，应该很好的掌握。

5•证明集合A与B对等的基本方法有三种：（1）根据对笔的

定义，直接构造两集间的17对应；（2）利用对等的传递性，

及欲证A'C,此肘已知A〜B,于是只需证明B'C即可；（3）利

用伯恩斯坦定理，即欲证A~B,只要证A与B各与对方一子

集对等即可。

6.证明一集合A的基数为c时常常用到区间、R八"的基数

为c,也常常设法把A与p进位无穷小对等。

三、例题解析

例1证明AU（CI纥）=n（AU纥）

ct€/ael

证法一先证明左式U右式，设1£41）（口图），则XEA或工£。%,

awlaei

若x”,则对一切as/,有所以xwn（AU8a）;

ael

若4,则由n%，可得对任何Qw/,有J，所以AU乩。

ael

因此了6。（40名），因而左式u右式。

ael

再证右式u左式，设x£n（AU%）,则对任何aw/,都有AU纥,

ael

因此xeA或工£旦。若则x€4U（n8〃）；若则xeB”

ere/

对任何

as/成立，所以大£。4<=/411（。乩），即右式u左式。

ac/aw/

综上得结论成立。

证法二由德摩根公式得

C(Pl(AU乩))=Uc(AU8a)=U(CAUC8a)=C4n(UC4)=CAnC(rpa)

awlaelaw/ae/aw/

=c(?iu(n^))

ael

所以AU(n4)=n(AijA)

awlawl

设有集合A,B和C,试证明：

若(A\B)~(B\A),则A~B；

若AuB且A~(AUC),则B~(BUC)

证明(1)因(A\B)n(An8)=。，(8\A)n(An8)=°,APB-APB,所

以

A=(A\B)U(An8)~(8\A)U(AnB)=8

(2)因AuB,所以B=AU(B\A),另一方面，

^UC=[AU(C\B)]U(B\A),并且4n(B\A)=0,[AU(C\A)=0,

再由Au4U(C\B)uAUC及条件4~AUC,A-A\J(C\B),又因

8\A~B\A,所以B~(BUC)证毕。

作出实数全体与无理数全体间的1—1映射。

解：在R中取出可数子集4={#,则AUQ也是可数

集，其中。表示有理数全体，所以AUQ〜八，因而存在4到

AUQ上的1—1映射，例如,设。={小公…,%…},则可取

<p(e2k-l)=ek,叭*)=4,攵=1,2,3…

则°是A到AUQ上的1一1映射，令

“、(xxeR\(A\JQ)

f(x)=

人eA

则/是R\Q到R上的1—1映射。

四、练习题

1.证明：AU（BnC）=（AUB）n（AUC）

2.证明：An（B-c）=（AnB）-（4nc