（讲评用卷）2024年河南某郑州外国语一模·数学

2024年河南某郑州外国语一模・数学

全卷总分:120分考试时间：100分钟

一、选择题

1.在一：，V6,1.23,0这四个数中，属于无理数的是（）

A.VB.V6

C.1.23D.0

1.B

【解析】甚是无限不循环小数，是无理数.

2.如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，从左面观察该几何体，看到的形状

图为（）

正面

2.B

3.据利川市政府公布的工作报告显示，2022年利川全年接待游客1816万人次，实现旅游综合

收入99.44亿元，连续三年上榜中国县城旅游发展潜力百强县市.下列用科学记数法表示“99.4

4亿”正确的是（）

A.99.44x108B.9.944x10s

C.9.944x109D.9.944KIO。亿

3.C

【解析】99.44亿=9944000000=9.944x109.

4.一根直尺和一个45。角的三角板按如图方式叠合在一起，若41=28。，则42的度数是（

）

A.62°B.56°C.45°D.28°

4.A

【解析】如图，••/8IICQ,44=90。，AZ2=Z3,zl+z3=90%•.21=28°,.-.z2=z3=90°-2

8°=62°.

5.化简智+2的结果为()

x-22-x

A.1

B.—

x-2

C.2

D.-2

5.C

【解析】原式=零一三=2X-2-2_2x-4_2(x-2)

X-2X-2X-2

6.如图，AB为o。的直径，C,。为o。上的点，BC=DC.若4c80=35。，则乙48。的度数

为（）

A.20°B.35°D.70°

6.A

【痴】如图，连接OC,OD,SCBD=35。,.•.乙。。。=24。8。=70°,vBC=DC,:/BOC

一乙COD—70。,..Z^(?D-1800-LBOC-Z.COD-400,^£ABD=^OD-20°.

C

D,

AB

0

7.下列关于方程，・5x+7=0的根结论正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两人相等的实数根

C.有一个实数根D.无实数根

7.D

【解析】由题意得，庐・4«=25・28=・3<0,.•.方程没有实数根.

8.如图，菱形AI3CD的对角线AC,BD相交于点0,过点4作AE1BC于点E,连接。£若

0B=6,菱形A8CQ的面积为54,则0E的长为（）

A.4B.4.5C.5D.5.5

8.B

【蹒】•••四边形A8O）是菱形，••.0A=0C,0B=0D=^I3D,I3D1AC,：.BD=20B=n,•:S

菱形"8=1。・8。=54,MC=9,-AE1BC,•••〃EC=90°,AOE=0=4.5.

9.抛物线）=〃/+法+c（q0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4,0）,抛物

线的对称轴是直线x=\.下列结论：（l）abc>0;②2白+8=0;③4。-2h+c=0;④方程a^+b

x+c=2有两个不相等的实数根；⑤若点A（〃?，〃）在该抛物线上，则afj^+bm+c^a+b+c.其

中正确结论的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

9.C

【解析】由函数图象可知，f/<0,c〉0,••.〃儿<0,故①错误；•.・抛物线的对称轴为直

线x=1,.”或=1,即2a+Z?=0,故②正确；,抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0),

且对称轴为直线x=l,.••抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2,0),将此点坐标代入函数

表达式得，4a-2b+c=0,故③正确；•.・方程o?+云+c=2的实数根，可看成函数y=ax2+bx+c

的图象和直线y=2交点的横坐标，显然函数以+。的图象与直线),=2有两个不同的交

点，方程or2+法+C=2有两个不相等的实数根，故④正确；•••抛物线的对称轴为直线工=1,

且开口向下，.•.当x=l时，函数有最大值。+匕+。，则对于抛物线上的任意一点A(加，〃)，其

函数值不大于。+力+c,即0〃2+加7+cWa+b+c.故⑤正确；综上所述，正确的结论有4个.

10.如图①，在AABC中，48=108。，动点尸从点4出发，沿折线ATBTC—A匀速运动一

周.若点P的运动速度为lcm/s,设点P的运动时间为/(s),4P的长度为u(cm),u与，

的函数图象如图②所示.当BP恰好是乙48。的一条三等分线时，，的值为()

图①图②

A.而+2或5B.遥+3或6

C.而+3或5D.通+2或6

10.B

【解析】如图，BP,89是乙48c的三等分线，根据函数图象可知，AB=BC=2,vzABC=10

8°,.-.z/1=zC=Z-ABP,=Z.CBP=LPBP,=36°,尸=72。，..AB=AP=2,同理CP'

=BC=2,•.2P8C=4A,zC=zC,：.APBC~ABAC,A—=二—=—,/.PC=V5-I

i4CBC2+PC2

或一遮一1（负值舍去）,.-.A^+/?C+PC=V5+3,AI3+I3C+CP,=6,.••当8P恰好是“8C的一

条三等分线时，，的值为通+3或6.

二、填空题

11.其轮船顺水航行3h,已知轮船在静水中的速度是akm/h,水流速度是Z>km/h,轮船共航行

__km.

11.3(a+b)

【解析】•••轮船在静水中的速度是akm/h,水流速度是从m/h,••.轮船顺水航行的速度是(〃+

b)km/h,.,.轮船顺水航行3h共航行了3(a+b)km.

12.已知x与)，互为相反数，并且2x・y=3,则必的值为—.

12.1

【解析】「x与y互为相反数，二/)，=0,••・：+'一^①+②得3x=3,解得x=l,.•»=

\2x-y=3(2)

-1,.・.必=1'I.

13.在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6,现将三张卡片放入一

只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记

下数字，则两次摸到不同数字的概率是—.

13.3

【解析】由题意画树状图如下，由图可知，共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同数字的

结果有4种，.•.两次摸到不同数字的概率为，

开始

14.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点为格点，已知RQA

8c的三个顶点均在格点上，且ZJMC=9O。，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为

半径作圆与边8。相切于点M已知MN为该圆的•部分，则图中由线段CN,GW及MN所围

成的阴影部分的面积为一.

4/1717n

14.-------

416

【解析】如图，连接AN,根据网格，可得48=71?+42=7T7,AC=Vl2+42=V17,

22222

BC=V3+5=V34,.-.BC=AC+ABtAB=AC,.••△/WC是等腰直角三角形，且乙84C=9

A

0°,•.•边8C与MN所在的圆相切相点N,AN为半径，.•・4V18C,•••4C4N=J48AC=45。，在

2

RtfCN中，AN=^AC=^-tASMCN="N-CN=,X手x与=1S扇形加=

457rx（亨）2177rccc17177r

--=玄，'3阴影=3AACN-、扇形AMN=了一

15.如图，在RSA8C中，zC=90°,乙4=30。，AC=2,点P,。分别为AB,。。上一个动

点，将△PQ8沿PQ折叠得至UziP。。，点A的对应点是点/),若点。始终在边4c上，当MPD

与AABC相似时，AP的长为—.

15.g或6-2b

【解析】••2C=90。，△4=30°,8C=2,.•.A8=2BC=4,乙5=60°,当AAPO与△43C杓似

时，•••点。始终在边AC上，根据折叠可知，PB=PD,igAP=x,则尸8=PO=4-x,.••当△/1

时，ZADP=^ACB=9O0,.'.AP=2DP,即x=2(4-x),解得x=*--AP=-;

33

当△APZ)s"CB时,Z/1PD=ZACB=900,•••DP=AP・tan30。=争产,即4-x=争，解得

x=6-2V3,：.AP=6-2V3,综上所述，AP的长为g或6-2后

三、解答题

16.⑴计算：(一1)2。24+|1一或|_弼；

(2)化简：(2x+1)(2x-l)-4x(x-1).

16.解：⑴(-l)2024+|l-V2|-V8

=1+(或-1)-2

=1+V2-1-2

=V2-2;

(2)(Zr+1)(2x-1)-4x(x-l)

=4x2-1-4X2+4X

=4x-1.

17.为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期

开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩(成绩得分用x表示，

单位：分)，收集数据如下：

868290999896901008983

87888190931009610092100

整理数据：

80<x<8585<r<9090st<9595<^<100

34a8

分析数据:

平均数中位数众数

92bC

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)直接写出上述表格中a,b,C的值；

(2)该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数；

(3)请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意:义.

17.解：⑴5;91;100;

【解法提示】•••20-348=5,5=5;将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为81,82,83,

86,87,88,89,90,90,90,92,93,96,96,98,99,100,100,100,100,其中位亍中

间的两个数分别是90,92,二。=江产=91,•••在这组数据中，100出现的次数最多，"=100.

(2)估计成绩不低于90分的人数是2700x芫=1755(人)，

答：估计成绩不低干90分的人数是1755人：

(3)中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；

众数：在统计的问卷的成绩中，得10()分的人数最多(答案不唯一，合理即可).

18.如图，一次函数)，=or+b("0)的图象与反比例函数y=：(片0)的图象交于A(-1,

-3),8(3,n)两点.

(1)求这两个函数的表达式；

(2)点C(0,小)为)，轴上一个动点，请你利用尺规作图，过图中所标的C点作垂直于y轴

的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于。，E两点，当点七位于点。右方时，请直接

写出〃?的取值范围.

18.解：(1)：点4(-1,-3)在反比例函数y=：的图象上,

:・k=3.

.••反比例函数表达式为

•；B(3,小点在)，=：的图象上，

•••当尸3时，77=1,

：上(3,1),

,点A(-1,-3),8(3,1)在一次函数y=at+b的图象上，

.(-a+b=—3

'I3a+b=l*

解得｛屋3

・♦.一次函数表达式为y=x-2;

(2)如图，作出垂线如图所示；点E位于点。右方时，由图可知小〉1或・3〈根＜0.

19.如图①，日曷仪也称日孱，是观测日影计时的仪器.它是根据日影的位置，指定当时的时

辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器.小东为:探究日号的奥秘，在不同时刻对日

备进行了观察.如图②，日号的平面是以点。为圆心的圆，线段是日暑的底座，点。为

日髯与底座的接触点(即BC与00相切于点。).点4在OO上，0A为某一时刻唇针的影

长，A。的延长线与。。交于点E：与交于点8,连接AC,OC,CE,8O=CQ=3dm,0A

LAC.

(1)求证：Z.B=£ACO;

(2).求CE的长.

19.(1)证明：如图，连接0Q,

•••8C与。0相切于点。，

.••0Q1AC,

:BD=CD,OD=OD,

'•OB=OC,

:.乙OBC=^OCB,

'•OD1BC,OAA.AC,

4c=9()。，

在Rt^AOC与RtADOC中，

(OA=OD

(0C=OC'

.••RtAAOCwRtAQOC(HL),

'.Z-ACO=/-DCOy

：.Z-B=Z-ACO;

(2)•••由(1)知，/-B=Z-ACO=LOCB,4BAC=90。,

.••4CO+4OC8=90。,

.••△8=300,

AC=：BC=CD=BD=3,^AOC=60°,

-'-OA=y/lC=V5,

.-AE=2OA=2V3.

:CE=7AE2+4c2=(2V3)2+32=VH(dm).

A

o

BDC

图②

20.如图①，②分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB1BCT•点用底座8C=1.3m,底座

BC与支架所成的夹角〃C区一60。，点H在支架AF上，篮板底部支架EHWC,EFA.EHT

点、E,已知A〃=,m,HF=V2m,HE=\m.

(1)求篮板底部支架〃E与支架AF所成的夹角4F〃石的度数；

(2)求篮板底部点E到地面的距离.(结果精确到0.01m,参考数据：V2«1.41,V3«1.73)

图①图②

20.解：(1)在Rl"F"中，cos乙FHE=也=三=四,

HFV22

:.乙FHE=45。,

・•・篮板底部支架”七与支架AQ所成的夹角匕"7E的度数为45°;

(2)如图，延长EE交C8的延长线于点“，过点A作AG1PM于点G,过点〃作”N1AG于

点M

则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，

:・GM=AB,HN=EG,

在RbABC中，vtanzACT="，乙4c8=60。，

BL

.-.A7?=tan6O0*BC=75x1.3=—,

10

：.GM=AB=—,

io

在RSAN”中，•:sin乙FAN=",乙FAN=LFHE=45。,

.♦.”N=sin45o・4H=—x—=

222

：.EM=EG+GM=-+—《2.75m.

210

答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75m.

21.其超市分两次购进4,8两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况

如表所示：

购进数量（件）购进所需费用（元）

种类AB

第一次3()402900

第二次40302700

（1）求A、。两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定A商品以每件45元出售，B商品以每件75元出售.为满足市场需求，需购进

A、6两种商品共1000件;，且A商品的数量不少于8种商品数量的4倍，请你求出获利最大的

进货方案，并确定最大利润.

21.解：（1）设A,8两种商品每件的进价分别是x元，y元，

根触意得，端复雕湍

解得g:北

••AB两种商品每件的进价分别是30元,50元；

（2）设A商品。件,8商品（1000-〃）件，利润为〃?元，

(a>0

根据题意得，1000-a>0,

(a>4(1000-Q)

解得8000把1000,

,77=(45-30)a+(75-50)(1000-a)=25000—10a,

,:k=-1(X0,

.,•加随。的增大而减小,

••4=800时，切的最大值为17000元，

二购进A商品800件，B商品200件，最大禾U润为17000元.

22.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练

场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为)，轴，建立

平面直角坐标系，图中的抛物线Ci:y+9+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，

126

某运动员从点。正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线。2：)，=-%2+bx+c运动.

8

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线。2的函

数表达式(不要求与出自变量工的取值范围)；

(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为

1米？

(3)当运动员运动到坡顶正上方，口.与坡顶距离超过3米时，求人的取值范围.

22.解：(1)将点(0,4)和(4,8)代入抛物线C2jy—H+bx+c,

3

(4=c

'|8=--X424-4b4-c,

I8

'3

解得1，，

c=4

二抛物线。2的函数表达式为y—~v+|r+4;

(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得,

—工〃?2++4—I,—L〃广+-/fi+])=],

82126

整理得，("7-12)(加+4)=0,

解得"“=12,m2=-4(舍去)，

故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；

⑶•••0:y=_92+2]=_*(x-7)2

当x=7时，运动员到达坡顶，

即一：X72+7〃+4>3+M，

812

解得b>^.

23.下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请认真阅读并完成相

应的任务.

如图①，①分别以点A,8为圆心，大于夕8的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交二点

C,点、D;

②连接AC,BC,A。，作射线80;

③以。为圆心，8。的长为半径画弧，交射线8。于点£;

④连接CE,分别交/W,人。于点居”，点且点尸即为AB的三等分点(即AF=,B).

«5

任务：

(1)填空：四边形A。8c的形状是—，你的依据是—;

(2)在证明点b为A8的三等分点时，同学们有不同的思路.

小明：我是先证明再通过证明△A”〜ZiBb得到结论的；

小亮：我是通过证明一次三角形相似得到结论的；

小颖：我是通过作辅助线.

请你选择一种自己喜欢的思路给出证明；

(3)如图②，若△。1。=60。，AC=4V5,将C”绕着点C逆时针旋转，当点〃的对应点厅

落在直线FD上时，请直接写出。厅的长.

23.解：(1)菱形；四条边相等的四边形是菱形；

【解法提示】由作法可知，.•.四边形A。8c是菱形.

(2)选小明的思路证明如下：

由作图可知，AC=BC=AD=BD=DE,

二四边形A。8c是菱形，

'.ACWBE,AQII8C,

:.乙ACH=^DEH,乙CAH=^EDH,

:・AAHC三ADHE(ASA).

AH=DH=-2AD=-2BC,

•••AOII8C,

:AAHFBCF,

.AF_AH_1

"BF~BC~21

:.BF=2AF,

^AB=AF+BF=AF+2AF=3AF,

：.AF=^AB;

选小亮的思路证明如下：

由