9压杆稳定new解析

27八月2026§9-1压杆稳定的概念§9-2两端铰支细长杆的临界压力§9-3其他支座条件下细长杆的临界压力§9-4欧拉公式的适用范围经验公式§9-5压杆的稳定校核§9-6提高压杆稳定的措施

第九章压杆稳定27八月2026

§9-1压杆稳定的概念轴向受压(拉)强度计算27八月2026

§9-1压杆稳定的概念图示一300mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力,其横截面积为20mm×1mm。许用应力为196GPa,求钢板尺能承受的荷载.实际上,将钢尺竖立,当压力不到40N时,就被明显压弯27八月2026由例子可以得到结论:（1)钢尺承载能力并不取决于轴向压缩的压缩强度，而是与钢尺受压时变弯有关。

（2)压杆的弯曲刚度与杆横截面的弯曲刚度有关。

（3)压杆正常工作需要满足强度条件和稳定性条件。

§9-1压杆稳定的概念27八月2026一、稳定平衡与不稳定平衡的概念

§9-1压杆稳定的概念

当F小于某一临界值Fcr,撤去横向力后,杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态,压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡。

FF(a)Q(b)27八月2026FF(a)Q

当F增大到一定的临界值Fcr,撤去横向力后,杆的轴线将保持弯曲的平衡形态,而不再恢复其原来的直线平衡形态,

压杆在原来直线形态下的平衡是

不稳定平衡。

§9-1压杆稳定的概念27八月2026

§9-1压杆稳定的概念27八月2026

§9-1压杆稳定的概念27八月2026§9-2两端铰支细长压杆的临界压力简化:（1)剪切变形的影响可以忽略不计。

（2)不考虑杆的轴向变形。

本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件为例,导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式27八月2026

对于理想中心压杆来说,临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力。任意x截面的挠度(侧向位移)为w,该截面上的弯矩为§9-2两端铰支细长压杆的临界压力vcrFδx2llmmyByx27八月2026§9-2两端铰支细长压杆的临界压力压杆任一x截面沿y方向的位移为y=f(x)该截面的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程为mmyByx27八月2026其中I

为压杆横截面的最小形心主惯性矩。令则有二阶常系数线性微分方程mmyByx§9-2两端铰支细长压杆的临界压力27八月2026其通解为A,B,k三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。

§9-2两端铰支细长压杆的临界压力27八月2026边界条件:得B=0§9-2两端铰支细长压杆的临界压力27八月2026B=0,边界条件:§9-2两端铰支细长压杆的临界压力27八月2026要想压杆在微弯状态下平衡只有要想压杆在微弯状态下平衡只有§9-2两端铰支细长压杆的临界压力27八月2026其最小解为n=1的解§9-2两端铰支细长压杆的临界压力27八月2026即得这就是两端绞支等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式)§9-2两端铰支细长压杆的临界压力27八月2026B=0可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。当x=l/2时w=dA=d亦即对应于Fcr=p2EI/l2,挠曲线方程为§9-2两端铰支细长压杆的临界压力27八月2026§9-2两端铰支细长压杆的临界压力需要指出的是,尽管上面得到了A=d,但因为杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确定的值,故不能说未知量A已确定。事实上,在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时,挠曲线近似微分方程的通解中,凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。

27八月2026§9-2两端铰支细长压杆的临界压力27八月2026欧拉公式当杆端约束条件改变，欧拉公式?§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力27八月20261两端绞支2一端固定另端绞支C为拐点

lcrPl7.0§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力27八月20263两端固定C,D为拐点lcrPD2l§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力27八月20264一端固定另端自由crPll§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力27八月2026§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力

表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下,等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见,杆端约束越强,压杆的临界力也就越高。

表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式:式中，m称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关;ml称为压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为ml的两端铰支压杆的临界力。

27八月2026表9-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

两端铰支一端固定另端绞支两端固定一端固定另端自由支承情况临界力的欧拉公式长度系数

=1

=0.7

=0.5

=2§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力27八月2026

为长度系数

l为相当长度（2)横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I1若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则I应取最小的形心主惯性矩。27八月20262若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I为其相应的对中性轴的惯性矩。27八月2026例1：

图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，

哪一根的最小?aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力27八月2026例9-3-1：

图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，

哪一根的最小?aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因为又可知（1）杆承受的压力最小，最先失稳；（3）杆承受的压力最大，最稳定。§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力27八月2026FaABa\2c例2:已知:图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动

求:临界压力§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力27八月2026FaABa\2c解:故取例9-3-2:已知:图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动

求:临界压力§9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力27八月2026§9-4欧拉公式的应用范围•

经验公式Ⅰ.欧拉公式应用范围

在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时,应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程,可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp的情况。

按照抽象的概念,细长中心压杆在临界力Fcr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡,故其时横截面上的应力可按scr＝Fcr/A来计算,亦即27八月2026惯性半径ml/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比,称为压杆的长细比或柔度,记作l,即scr称为临界应力l越大,scr越小,压杆越容易失稳27八月2026称为压杆的柔度（长细比)。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。

§9-4欧拉公式的应用范围•

经验公式27八月2026只有在

cr

P的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力Fcr（临界应力

cr)。

或§9-4欧拉公式的应用范围•

经验公式27八月2026

当

>

1（大柔度压杆或细长压杆)时，才能应用欧拉公式。

当

1（小柔度压杆)时，不能应用欧拉公式。

用经验公式§9-4欧拉公式的应用范围•

经验公式对于Q235钢,按照E＝206GPa,sp＝200MPa,有A3钢(=0—123)16锰

钢(=0—102)27八月2026经验公式压杆的临界应力总图§9-4欧拉公式的应用范围•

经验公式27八月2026解:圆形截面杆:例9-4-1截面为圆形,直径为d两端固定的细长压杆和截面为正方形,边长为d两端绞支的细长压杆,材料及柔度都相同,求两杆的长度之比及临界力之比。

圆形截面杆:27八月2026所以正方形截面杆:由

1=2得27八月202627八月2026Fcr

——压杆的临界压力nst

——压杆的稳定安全系数压杆稳定条件:F——工作压力§9-5压杆的稳定校核或n——压杆的工作安全系数（临界压力与实际工作压力之比)27八月2026φ:稳定系数,主要与柔度λ有关

压杆的强度条件

(强度许用应力)

压杆的稳定性条件

(稳定许用应力)

27八月2026例3一连杆尺寸如图,材料为A3钢,承受的轴向压力为P=120KN,取稳定安全系数nst=2,校核连杆的稳定性。

在xy面内失稳连杆两端为铰支,长度l=940mm。

在xz面内失稳近似两端固定,长度l1=880mm。

zyxb=25h=60§9-5压杆的稳定校核27八月2026在xy面内失稳连杆两端为绞支,长度l=940。

zyxb=25h=60解:(1)求柔度

27八月2026在xz面内失稳近似两端固定,长度l1=880。

zyxb=25h=60杆在xz面内先失稳,应用

y计算临界力。

27八月2026zyxb=25h=60（2)求临界力，作稳定校核因为

y=61<123,用经验公式计算压杆是稳定的27八月2026zyxb=25h=60（3)如果要求连杆在两平面内

失稳时的临界力相等27八月2026§9-6提高压杆稳定性的措施提高压杆承载能力的主要途径:（1)选择合理的截面形状

压杆将在刚度最小的平面内弯曲.这时如果只增加截面某个方向的惯性矩,并不能提高压杆的承载能力。

最经济的办法是将截面设计成空的,且尽量加大截面的惯性矩.并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同.27八月2026正方形截面较矩形截面合理;（a)当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时面积相等空心圆截面较实心圆截面更合理§9-6提高压杆稳定性的措施27八月2026组合截面其两个槽钢的形心间距离h以能使Iy等于或稍大于Iz者为合理。（a)当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时§9-6提高压杆稳定性的措施27八月2026

应采用最大与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束.（b)当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时使压杆在各纵向平面内的柔度l相同或接近相同。§9-6提高压杆稳定性的措施27八月2026（2)改变压杆的约束条件

支承的刚性越大,压杆长度系数值越低,临界载荷越大。如,将两端铰支的细长杆,变成两端固定约束的情形,临界载荷将呈数倍增加。

（3)合理选择材料

在其他条件均相同的情况下,选用弹性模量大的材料,可以提高细长压杆的承载能力。

§9-6提高压杆稳定性的措施27八月2