北师大版中考数学专题复习：代数式(真题)4

代数式

一.选择题（共20小题）

1.用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（）

n=ln=2K=3n=4

A.59B.65C.70D.71

2.观察卜.列两行数：

I,3,5,7,9,11,13,15,17,…

I,4,7,10,13,16,19,22,25,…

探究发现：第1个相同的数是I，第2个相同的数是7,…，若第〃个相同的数是103,则〃等于（）

A.18B.19C.20D.21

3.根据图中数字的规律，若第〃个图中出现数字396,则〃=（）

4.观察下列按一定规律排列的〃个数：2,4,6,8,10,12,…，若最后三个数之和是3000,则n等于（）

A.499B.500C.501D.1002

5.按一定规律排列的单项式:a,-2a,4a,-8m16a,-32〃，…，第〃个单项式是(

A.(-2)"LB.(-2)naC.2n'laD.2na

6.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（)

C.170D.189

7.下列说法不正确的是（）

A.2。是2个数。的和B.%是2和数〃的积

C.2a是单项式D.2a是偶数

8.若m2+2/n=1，则4m2+8m-3的值是()

A.4B.3C.2D.1

9.下列图中所有小正方形都是全等的.图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一

张由6个小正方形组成的3X2方格纸片.

把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置

方法.图（4）是一张由36个小正方形组成的6义6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰

好盖住其中的4个小正方形，共有〃种不同放置方法，则〃的值是（

旺Effi

旺旺

⑵（3）(4)

A.160B.128C.80D.48

10.一列数1,5,11,19…按此规律排歹U，第7个数是（)

A.37B.41C.55D.71

11.已知2Z+、3与3是同类项，则〃的值是（）

'3

A.2B.3C.4D.5

12.观察等式；2+22-23-2；2+22+23-24-2；2+22+23+24-25-2；…已知按一定规律排列的一组数：2100

2K）1,2102,2199,2200,若2必=5,用含S的式子表示这组数据的和是（）

A.2s2-SB.2S2+SC.2s2-2SD.2s2-2S-2

13.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为下列代数式表示正方体上

小球总数，则表达错误的是（）

A.12(m-1)B.4〃?+8(6-2)C.12(m-2)+8D.12〃?-16

14.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数

为（)

••

•••••••

•••••

•••••••

•・•••

①②③④

A.148B.152C.174D.202

15.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一

块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第〃个图形用图⑪表示，那么第50个图形中的白色小

正方形地砖的块数是（）

A.150B.200C.355D.505

16.已知a+b=4,则代数式1+2+上的值为（）

22

A.3B.1C.0D.

17.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案口有个黑色三角形，第②个图案中有3个

黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的

个数为

▲▲▲…

▲▲▲▲▲▲

①②③

A.10B.15C.18D.21

18.下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②

个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形

中实心圆点的个数为（）

图①图②图③

A.18B.19C.20D.21

19.如图，将一枚跳棋放在七边形438EPG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次.移动规则

是：笫左次移动攵个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停笛在台处，笫二次移动2个顶点，跳棋停留

在。处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）

A.C、EB.E、/C.G、C、ED.E、C、F

20.某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地.现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司

对各基地生产的产品进行集中存储.己知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2,各基地之

间的距离之比b：c：d：e=2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的

运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等.若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（）

T

乙

A.甲B.乙C.丙D.T

二.填空题（共20小题）

21.若2/庐.3〃与庐广3户的差仍是一个单项式，则〃计〃=.

22.观察一列数：1,-1,土，-工，….按此规律，这一列数的第106个数是

2468

23.观察下列一行数：4,1,-8,1,16,1,-32,1,64,1,-128,1,…，则第19个数与第20个数

的和为.

24.如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形.第3幅图中有5个

菱形，依照此规律，第6幅图中有个菱形.

O<3£><380…

第1幅第2幅第3幅

25.将正偶数按照如下规律进行分组排列,依次为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20)…，

我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第机组第〃个数字，则m+n

26.一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点0起跳，落点为4,点Ai表示的数为1；第二次从

点4起跳，落点为的中点A2,第三次从A2点起跳，落点为的中点A3；如此跳跃卜.去…最后

落点为。人2019的中点人2020，则点>42020表示的数为.

第一次

■^2020-^3含A

27.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，

往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总

数是.

/左前区|过「右前区\\

过道

左后区道右后区

28.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色

棋子的个数为.

29.“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张,

每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后

累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为,并可推断

出5月30日应该是星期几.

30.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元.若购买加张成人票和

耳张儿童票，则共需花费元.

31.某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站(包括甲站、乙站)，一辆快递货车由甲站出发,

依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后

面各站的货包各1个.在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个.

32.海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录.如图是黎锦上的图案，每个图案都是

由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有个菱形，第

耳个图中有个菱形（用含〃的代数式表示）.

第1个图第2个图第3个图第4个图

33.观察下列一组数：-2,2,-理.，-它们是按一定规律排列的，那么这一组数的

392781243

第〃个数是.

34.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一

共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9

个图形中圆的个数是个.

88

第1个图形第2个图形第3个图形第1个图形

35.已知x+2y=3,贝ljl+2t+4y=.

36.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9

个小正方形…，按这样的方法耕成的第（〃+1）个正方形比第〃个正方形多个小正方形.

第1个正方箔第2个正方形第3个正方形

37.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，笫2

个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第〃个图案有个三角形（用

含〃的代数式表示）.

又小区6WA

第1个第2个第3个v第4个

38.观察下列各式的规律：

①1X3—2=3-4=-1；②2X4-32=8-9=-1；③3X5-42=15-16=-I.

请按以上规律写出第4个算式.

用含有字母的式子表示第〃个算式为

〜1

39.定义：分数三•（〃?，〃为正整数且互为质数）的连分数----------7------（其中“I，42,"3,…，为整

mal4i-

a29+…

数，且等式右边的每个分数的分子都为1）,记作］△

maia2a3

7ii1]][7]

例如：-L=——=-----=7-=\—,工的连分数为\—,

19112总2-4271r2H~19c

1+

5

2

记作工则=^=1+1+1.

192122123

40.观察下面的变化规律：

高=1

12=112-1.12=1.1...

3*3X5~3寸5X7?77X979

2222

根据上面的规律计算:-----+------+------+,,,+-------------

1X33X55X72019X2021

三.解答题（共20小题）

41.观察以下等式:

第1个等式：-lx（i+2）=2-A,

311

第2个等式：lx（i+2）=2-X

422

第3个等式：lx（i+2）=2--1,

533

第4个等式：2.X（1+2）=2-A.

644

第5个等式：lx（i+2）=2-A.

755

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第小个等式：（用含〃的等式表示），并证明.

42.小云想用7天的时间背诵若二首诗词，背诵计划如下:

①将诗词分成4组，第i组有芍首，i=\,2,3,4；

②对于第i组诗词，第，天背诵第一遍，第3+1）天背诵第二遍，第（汁3）天背诵第三遍，三遍后完成

背诵，其它天无需背诵，i=l，2,3,4；

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第？天

第1组XIx\XI

第2组X2X2X2

第3组

第4组X4X4A4

③每天最多背诵14首，最少背诵4首.

解答下列问题：

（1）填入X3补全上表；

（2）若xi=4,X2=3,0=4,则X4的所有可能取值为；

（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首.

43.如图是一个长为小宽为〃的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1,且底边在矩形对边上的平行四

边形.

（1）用含字母4,方的代数式表示矩形中空白部分的面积；

（2）当。=3,。=2时，求矩形中空白部分的面积.

44.阅读下面的材料:

按照•定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每•个数叫做这个数列的项.排在第•位的数称为第

一项，记为m，排在第二位的数称为笫二项，记为s，依此类推，排在笫〃位的数称为笫〃项，记为所

以，数列的一般形式可以写成：m，42,。3,…，.

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数

列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.如：数列1,3,5,7,…为等差数列，其中m

=1,。2=3,公差为d=2.

根据以上材料，解答下列问题：

（1）等差数列5,10,15,…的公差d为,第5项是.

（2）如果一个数列e。3,…，。是等差数列，且公差为％那么根据定义可得到：

。3-。2="，-。3="，…，*-a”-i=d,….

所以

□2=ai+d

。3=。2+4=（ai+d）+d=a\+2d,

ci4=a3+d=（ai+24）+d=a\+3（lt

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a〃=m+（）d.

（3）-4041是不是等差数列-5.-7,-9…的项？如果是，是第几项？

45.问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张aXb的方格纸（aXb

的方格纸指边长分别为。，。的矩形，被分成个边长为1的小正方形，其中b22,且①b

为正整数）.把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性

的结论.

探究一：

把图①放置在2X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于2X2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法.

探究二：

把图①放置在3K2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在3X2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，把图①

放置在3X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2X4=8种不同的放置方法.

探究三：

把图①放置在“X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在aX2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，

把图①放置在“X2的方格纸中，使它恰好盖住具中的二个小正方形，共有种不同的放置方法.

探究四：

把图①放置在。义3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在。X3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，

把图①放置在〃X3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法.

问题解决：

把图①放置在“X〃的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿

照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图.）

问题拓展:

如图，图⑦是一个由4个校长为1的小立方体构成的几何体，图⑻是一个长、宽、高分别为小b,c（〃

22,b22,c，2,且小儿c是正整数）的长方体，被分成了aX/?Xc个楂长为1的小立方体.在图⑧

的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体.

田田田田

0图3①ltPof|lll|图③

图⑦图⑧

46.观察以下等式:

2_1,1

第1个等式:——-i-r,

111

第2个等式:2_1,1

326

第3个等式:2=1+1

5315

2_1,1

第4个等式:---------十-------

7428

2_1,1

第5个等式:---------十-------

9545

按照以上规律，解决下列问题:

（1）写出第6个等式:

（2）写出你猜想的第〃个等式:（用含〃的等式表示），并证明.

47.阅读下列材料•：小明为了计算1+2+2?+…+22°】7+2238的值，采用以下方法:

设S=l+2+22+--+220,7+220180

则2S=2+22+•••+22018+22019@

②-①得2s-5=S=22019-1

：.S=l+2+22+—+220,7+22018=22019-1

请仿照小明的方法解决以下问题：

(1)1+2+22+-+29=

⑵3+32+--+310=

（3）求1+4+/+…+/的和（。＞0,〃是正整数，请写出计算过程）.

48.如图，将边长为，〃的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为〃的小正方形纸板

后，将剩下的三块拼成新的矩形.

（1）用含机或〃的代数式表示拼成矩形的周长:

（2）机=7,〃=4,求拼成矩形的面积.

m

49.“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法.

例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图1。、图〃有多少个点？

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6X1=6

个；图2中黑点个数是6X2=12个：图3中黑点个数是6X3=18个;；所以容易求出图10、图〃

中黑点的个数分别是.

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题:

（1）第5个点阵中有个圆圈；第〃个点阵中有个圆圈.

（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵.

OOoO

OOOOO

ooo

OOOOOOoOoOOO

OOOOooO

ooOOoOOOO

oOOOOOoo

OOooooOO

第1个第2个第3个oooo

第4个

5（）.如图.阶梯图的每个台阶卜都标着一个数,从下到卜的第1个至第4个台阶卜依次标着-5.-2.1.

9,日.任意相邻四个台阶上数的和都相等.

尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少?

（2）求第5个台阶上的数X是多少？

应用求从下到上前31个台阶上数的和.

发现试用含攵（攵为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数.

51.观察以下等式：

第1个等式：22=1,

1212

第2个等式：1+1+lx1=1,

2323

第3个等式：1+1+lx2=1,

3434

第4个等式：1+1+lx2=1,

4545

第5个等式：1+1+lx1=1,

5656

按照以上规律，解决下列问题:

（I）写出第6个等式：:

（2）写出你猜想的第〃个等式：（用含〃的等式表示），并证明.

52.观察下列各个等式的规律：

2222

第一个等式：尤二色1=1,第二个等式：3-2-l=2y第三个等式：4-3-1^3.„

222

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：

（1）直接写出第四个等式；

（2）猜想第〃个等式（用〃的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的.

53.观察下列等式：

第一个等式:=2_11

1+3X2+2X222+122+1

=2^1

第二个等式:

1+3X22+2X（22）222+123+1

a2^

第三个等式:==1

31+3X23+2X（23）223+124+1

a=_________2j____________________

第四个等式:

"1+3X24+2X（24）224+126+1

按上述规律,回答下列问题：

（1）请写出第六个等式：〃6==：

（2）用含”的代数式表示第〃个等式：斯==；

（3）41+〃2+43+。4+“5+〃6=（得出最简结果）；

（4）计算：ai+«2+

54.【阅读理解】

我们知道，1+2+3+…+〃=如也，那么『+22+32+…+〃2结果等于多少呢？

2

在图1所示三角形数阵中，笫1行圆圈中的数为1,即1‘，笫2行两个圆圈中数的和为2+2,即2）,…;

第n行n个圆圈中数的和为n+n+,,e+n»即〃2,这样，该三角形数阵中共有n（n±l）.，个圆圈,所有圆圈

n不n2

中数的和为12+22+32+--+n2.

【规律探究】

将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的

数(如第〃-I行的第一个圆圈中的数分别为〃-1,2,〃),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为,

由此可得，这二个二角形数阵所有圆圈中数的总和为：2(A+22+32+…+〃2)=,因此,i+22+W+…

+〃2=.

【解决问题】

根据以上发现，计算：J+22+32+…+20172的结果为_______.

1+2+3+…+2017

55.如图，请你求出阴影部分的面积(用含有x的代数式表示).

56.已知》,y满足方程组卜-5%-2,求代数式(x-y)2-(x+2y)Cr-2y)的值.

2x+5y=-l

57.当a=3,h=-1时，求下列代数式的值.

(I)(a+b)(a-。)；

(2)J+2a/>+〃2

58.(1)观察下列图形与等式的关系，并填空

1—3=公

*oo

••01-3+5=

•ooo

ooo••

•oooo

o•••*oo

oO••O

oooe•o1+3+5+7+・”+(2n-l)

•••

oooo•••第n行••••

(2)观察下图，根据(1)中结论,计算图中黑球的个数，用含有〃的代数式填空:

••••第n行

第n-吃

••••第n+2行

1+3+5+…+(2n-1)+()+(2〃-1)+…+5+3+1=.

59.阅读下列材料，并解决相关的问题.

按照一定顺序排列着的一列数弥为数列，排在第一位的数称为第1项，记为⑺，依此类推，排在第〃位

的数称为第〃项，记为如.

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数

列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q#0).如：数列1,3,9,27,…为等比

数列，其中ai=l,公比为4=3.

则：(I)等比数列3,6,12,…的公比q为,第4项是.

acao

(2)如果一个数列m,S,43,44,…是等比数列，且公比为g,那么根据定义可得到：上=心4=

ala2

小一=%…-----=q・

a3an-l

所以：a2=a\・q，〃3=a2・q=(a]*q')*q=a\9q1,ci4=ayq=(m•/)•4=0・d,...

由此可得：(用和〃的代数式表示).

(3)若一等比数列的公比g=2,第2项是10,请求它的第1项与第4项.

60.毕达哥拉斯学派对“数“与“形”的巧妙结合作了如下研究:

名称及图形三角形数正方形数五边形数六边形数

几何点数

/\

层数/I

第一层几何点数111

第二层儿何点数2345

第三层几何点数3579

••••♦••♦•♦•♦**

第六层几何点数———

•••••••••••••*