北京市师范大学某中学2025届高三数学模拟试题三文含解析

北京市师范高校附属中学2025届高三数学模拟试题(三)文(含解

析)

一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知全集U={L2,3,4),集合A={L2},B={2,3},则二(AAB)=()

A.(1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}

【答案】D

【解析】

试题分析：依据A与B求出两集合的并集，由全集匚找出不属于并集的元素，即可求出所

求的集合.

解：2},B={2,3},

/.AUB={1,2,3},

•・•全集U={L2,3,4},

.,•Cu(AUB)={4}.

故选D

考点：交、并、补集的混合运算.

【此处有视频，请去附件查看】

2.已知复数z满意z(l+i)=|-l+Gi],则复数z的共扼复数为()

A.—14-zB.—I—/C.1+zD.1—/

【答案】C

【解析】

【分析】

依据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得.

【详解】由z(l+i)=|T+厨=J(-l)2+(何=2,得z《二：：；，=]一，

Y1+1U十/八1—I)

/.z=l+z.

故选：C.

【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共规复数以及复数运算等，题目虽小,

学问点很是丰富.

3.已知双曲线工-^=1的•个焦点F的坐标为（-5,0）,则该双曲线的渐近线方程为（

9m

4,3/

A.y=±—xB.y=±—xC.y=±-xD.

343

,3

y=±—x

5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用焦点的坐标，将双曲线的方程求出来，再求出其渐近线方程.

22

【详解】•・•双曲线工-£1=1的一个焦点为尸（一5,0）

9m

.•.由/+〃=/得9+用=25,解得"7=16

..•双曲线方程为：--^=1,

916

4

「•双曲线的渐近线方程为丁=土§工

故选A项.

【点睛】本题考杳求双曲线的方程和双曲线的渐近线方程.属于简洁题.

4.设【）为△ABC所在平面内一点BC=3CD，则（）

4-141

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB——AC

3333

1414

C.AD=-AB——ACD.AD=一一AB+-AC

3333

【答案】I）

【解析】

【分析】

利用平面对量的基向量表示AD，把4。向目标向量靠拢即可.

II

详解】如图，AD=AC+CD=AC+-BC=AC+-(BA+AC)=-AC一一AB,

3333

故选：D.

【点睛】本题主要考查平面对量基底向量的表示，侧重考查数学运和的核心素养.

5.函数f(x)=sin(3x+8)(其中9<y)的图象如图所示，为了得到y=f(x)的图

4

象，只需把y=sin3x的图象上全部点()

A.向右平移J个单位长度B.向右平移匚个单位长度

12

C.向左平移g个单位长度D.向左平移二个单位长度

612

【答案】A

【解析】

【分析】

由，T=F-4,可求得其周期T,继而可求得⑴，再利用函数y=Asin(①x+(p)的图象

变换及可求得答案.

【详解】解：由图知，!丁==一==1兀，

41234

2兀

/.T=—=7t(a)>0),

co

.".(D=2;

又§€0+(P=兀,

7127171„

/.(p=n--CO=TT--=—,又A=l,

333

y=f(x)=sin2x+—I,g(x)=sin2x

・•.为了得到f（x）=sin2x+f的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移各个单位

长度.

故选：C.

【点睛】本题考查函数y=Asin（（ox+（p）的图象变换，求得①是关键，考查识图与运完实

力，属于中档题.

I0

6.己知正项等比数列｛4｝满意：a=a<.+2ar„若存在两项a,、a„,使得a,an=16a1，则一+一的

7mn

最小值为（）

38n

存在

不

-民-C-

234D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用等比数列的通项公式及条件，求出〃7，〃的关系式，结合均值定理可得.

【详解】设正项等比数列｛an｝狗公比为q,且q>0,由a?=a«+2as得：@园=&+一^,

q

化简得，qLq-2=0,解得q=2或q=T（舍去）,

因为a«a=16a『，所以（a""［（4/*T）=16a『，则q'njl6,解得m+n=6,

19

所以一+一=

inn

3

n_9min=—

当且仅当'=2”时取等号，此时，w-V,解得，2

mn9

m+〃=6n=—

2

198

因为mn取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则一+一〉一，

mn3

191]

验证可得，当m=2、n=4时，一+一取最小值为

mn4

故选：C.

【点睛】本题主要考查等比数列的运算及均值定理应用，均值定理运用时留意运用条件.

7.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享

受.在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆

弧均相同.若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

A93x/3R.6x/3r3x/3n6G

nnnn

【答案】B

【解析】

【分析】

利用扇形学问先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.

【详解】设圆的半径为r,如曾所示,

12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为

c1,1,.兀1,G,

S,杉=—兀厂----厂•sin—=—7tr~--------r.

,形62364

・•・所求的概率为P=-246k4,)

673­

sw=」------；------L=4,---------

7trl

故选:B.

【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的咳心素养.

8.已知函数f（x）=*-XT,g（X）=—eXT-lnx+a对随意的3］,x2e［l,3］恒有

x+1

f（X））2g（x2）成立，则a的范围是（）

A.a<-B.a>-C.0<a<-D.

222

—Wa«一

22

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用导数求出/（X）min、g（<）m,x，再解不等式而,〉g。）.即得解.

+2x

【详解】由题得/'（%）=；―-r>0,.-./U）^r［b3］上单调递增，

（x+iy

所以

由题得g'（x）=-（ei+L）〈O,

X

所以函数g（x）在［1,3］上单调递减，所以双.1）叩=双1）=。-1,

由题得了（X）min>g（X）max，，-gNd，

所以

2

故选：A

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数探讨不等式的恒成立问题，意

在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

y>0,

9.若实数X，）’满意约束条件，X-）」1N0,且目标函数Z=x-y的最大值为2,则实数加二

x+y-m<0,

【答案】2

【解析】

分析】

作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出m.

y>0

【详解】先作出实数x,y满意约束条件(24-)，-120的可行域如图,

x+y-/«<0

•・•目标函数z=x-y的最大值为2,

由图象知z=2x-y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2.

x-y=2

由〈\，解得A(2,0),同时A(2,0)也在直线x+yf=0上，

y=0

.*.2-m=0,则m=2,

【点睛】本题主要考查线性规划，利用最值求解参数，作出可疗域是求解的关键.

10.已知函数f(x)=0mx-tanx,x

e-2\x>0

恪案T

【解析】

【分析】

先求内层函数值，再求外层函数值.

sin2x-tanx,x<0

【详解】依据题意，函数/a）=<

x>0

则/一等25万'257V

=sin2

~4~

则小卜室p

J

故答案为:1

【点睛】本题主要考杳分段函数求值问题，分段函数的求值问题主要是利用“对号入座”策

略.

11.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓状况，对甲、乙、

丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员

96人.若在甲、乙、丙、丁四个社1乂抽取驾驶员的人数分别为12.21.25.43,则这四个

社区驾驶员的总人数N为

【答案】808

【解析】

【分析】

由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可依据抽取的人数计算得到驾驶员总人

数.

【详解】由题意可得抽样比为：—

968

,NJ2+2,5+43=808

8

本题正确结果：808

【点睛】本题考查分层抽样中抽样比、总体数量的计算，属于基础题.

2I

12.已知首项与公比相等的等比数列瓜｝中，若m,满意ama：=a：,则一+一的最

mn

小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】

将《丁：=而写成等比数列基本量为和夕的形式，由4=4可得〃?+2〃=8；从而利用

211（?1A、

—+—=->一+—（z，〃+2〃），依据基本不等式求得结果.

mn8\mnJ

【详解】设等比数列｛4｝公比为9,则首项4=^

由=描得：4卡•（乌产）~=（44'）~

则：q*2n=（广.-.m+2n=S

211（21｝(c\14〃m41(,4〃m

―+―(〃？+2〃)=一•2+——H—+2=—•4H-----+——

mn8\ntnJ8Iinn)8\tnn

、,*4〃八m八

•/m.neN—>0,—>0

mn

则加+巴22、也.丝=4（当且仅当包=',即2〃=加时取等号）

mnVmnmn

.•.2+，］=lx（4+4）=l

〃人in8

本题正确结果：1

【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够依据等比数列各项之间的

关系,通过等比数列基本量得到〃?，相满意的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利

用基本不等式求得结果.

13.在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若AC=XAM+"AN，则人+口=______•

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】

依据平面对量定埋，表示出AM，然后把AB转化到NC，利用NC=NA+AC，得到AC

用AM和AN表示的式子，得到人和〃的值.

【详解】在V48c中，M为8c中点，所以AM=,AC+'A8,

22

N为DC中点、,所以NC=1DC=LAB

22

所以AM=LAC+L48=,AC+NC=，AC+M4+AC=3AC-AN

22222

即3AC=AM+4N,

2

22

所以4C=—AM+—AN

33

而AC=2AM+“AN

22

所以4=§'〃=5

“14

故％+〃=§

【点睛】本题考查向量平面定理的的表示，向量的加法、减法，向量共线的表示，属于中档

题.

14.已知直线1过点（1.1）过点P（T.3）作直线m_LL垂足为M,则点M到点。（2,4）

距离的取值范围为_____.

【答案】[夜,30]

【解析】

【分析】

先依据垂直关系得到点M的轨迹为一个圆，然后用|我减去圆的半径得IJ的的最小值，加上

半径得“⑷的最大值.

因为直线ml/,则MPJ.MA，所以，MP.MA=0»

即（一1一乂3-），）（1一乂1-），）=0,化简为：/+（）,—2『二2,

所以，点M的轨迹为以C（0,2）为圆心、回为半径的圆，

22

V|^|=V2+2=2X/2>

/.|CQ\-41<I闸W|CQ+。5，即应41MW30.

故答案为：［夜，3夜］.

【点睛】一般和圆有关的题许多状况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少：在求圆

上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减

半径，分别得到最大值和最小值：涉及到圆的弦长或者切线长时，常常用到垂径定理。

三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)

15.等差数列区｝的前n项和为S“，a2+a18=17,S声55.数列｛bj满意a-logh.

(1)求数列｛b“｝的通项公式：

(2)若数列瓜+bJ的前n项和T”满意T户S筮+18,求n的值.

【答案】(1)b"=2"；(2)n=8

【解析】

【分析】

(1)利用等差数列的通项公式和求和公式构建方程组，求出首项和公差，从而可得数列｛bj

的通项公式：

(2)利用分组求和法求出数列｛烝+bJ的前n项和，再求解n的值.

【详解】(1)设等差数列｛a“｝的公差为d,则有〈八।“

10aI+45d=55

a=］

解得《二一则an二n.又a产】og,h,即bn=2%,所以bn=2n.

d=1

=n

(2)依题意得：Tn(ai+a?+…+an)+(bi+bz+…+bn)=(1+2+3+…+n)+(2+2*+2、…+2)

=n(n+1)2(l-2")=n(nil)^n+,_9

-I2

32(1+32),n(n+1)

又S?,+18=二-----^+18=546,则」——^+2向1+1=548,

3222

因为f(n)=n(：+l)+2向在n£N*上为单调递增函数，

所以n=8.

【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算及分组求和法，构建方程组是求解的关键，侧

Ifi考查数学运算的核心素养.

16.已知函数f（x）=Asin（3X+9）（A>0,3>0,|9|V四）的部分图象如图所示.

2

（I）求f（X）的解析式:

（II）若对于随意的x£[0,m],f（x）21恒成立，求m的最大值.

【答案】(I)/(x)=2sin(2x+-)(II)-

63

【解析】

【分析】

（I）由图象可知，A=2.可求函数的周期，利用周期公式可求3的值，又函数f（幻的

图象经过点£，2,可得夕=2兀+2kMkwZ）,结合范围嗣〈工，可求0=9,即可得

J626

解函数解析式：（II）由》£口），同，可得：2x+^71e£，2〃?+J,依据正弦函数的单调

6666

性，分类探讨即可得解/〃的最大值.

【详解】（I）由图象可知，/=2.

,154£T

因为口一=

64

所以7=下.

所以乃=一工.解得3=2.

CD

又因为函数O的图象经过点《可,

所以2sin2x—+(p=2.

I6J

jr

解得*=上+2%乃(攵eZ).

6

乂因为Mlv],

所以0=1.

6

所以/(i)=2si〃(2x+?

(II)因为[0,m\,

所以2%+工£—,277?+—

666

当2,+不£时，即工£0，g时，f（x）单调递增，

6）

所以/*（x）2f（0）=1,符合题意：

当2x+gw时，即NW时，/'（>）单调递减,

62663

所以=符合题意；

（5兀3/?*—（]2/^一

当+,=-时，g|.xe—>—-时，f（%）单调递减，

616\33_

/\

所以〃力V/g=1，不符合题意；

、3）

7T

综上，若对于随意XG[0,M，有/•（》）21恒成立，则必有0V〃2«—，

3

所以"的最大值是工.

3

【点睛】本题主要考查了由尸力sin（3户小）的部分图象确定其解析式，三角函数周期公

式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.确

定尸力sin（3X+。）+从力>。，3>0）的步骤和方法：（1）求力，b,确定函数的最大值"

和最小值处则力="三%,力=空巴：（2）求3,确定函数的最小正周期T,则可得3

22

=—；（3）求。，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时儿3,b

（1）

已知）或代入图象与直线尸人的交点求解（此时要留意交点在上升区间上还是在下降区间

上）.②特别点法：确定0值时，往往以找寻“最值点”为突破口.详细如下：“最大值

点”（即图象的“峰点”）时0=]；"最小值点''（即图象的“谷点”）时3*+。=

3%

万.

17.已知椭圆D：0+g=l（a>b>O）的离心率为e=#，点（应，-1）在椭圆D上.

（1）求椭圆D的标准方程：

（2）过y轴上一点E（0,t）且斜率为k的直线1与椭圆交于A,B两点，设直线0A,0B

（0为坐标原点）的斜率分别为kC6,若对随意实数k,存在X£[2,4],使得km+k*入k,

求实数t的取值范围.

【答案】(1)—21|

+=；(2)ZG[-1,1]

42

【解析】

【分析】

（1）依据条件列方程组，解得〃，b（2）利用坐标表示人办+期"，设直线/的方程，并与

椭圆方程联立，由韦达定理代入化简可得其■=4,最终依据之£[2,4],解得，的取值范

围

【详解】（1）椭圆。的离心率e=鱼土=#，：«=回，又点（后,一1）在椭圆上,

।22

--~+~2=,得。=2，/）=J5"，..・椭圆。标准方程为（■+]■=1.

r+£=i

（2）由题意得，直线/的方程为'=依・+1，由，42，消元可得

y=kx+t

(2k2+\]x2+4ktx+2r-4=0,

一4kf2,2A

设A(冷y),4(%,%)，则与+%=^77,^2=—^~,

乙K十1乙K।1

3T卡=3。=2n3L2g.半W

X9仪2公+12k2-4

-4k

~t2-29

由%+%=2攵，得^-=Z,g|jr=2-y,又4w[2,4],「/40,1],.•.re|-i[].

广—2A

【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,

利用韦达定理或求根公式进行转化，通常抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）

变量的函数，然后借助于函数性质的探求来使问题得以解决.

18.已知某企业有职工5000人，其中男职工3500人，女职工1500人.该企业为了丰富职工

的业余生活，确定新建职工活动中心，为此，该企业工会米纳分层抽样的方法，随机抽取了

300名职工每周的平均运动时可（单位：h）,汇总得到频率分布表（如表所示），并据此来

估计该企业职工每周的运动时间：

平均运动时间频数频率

[0,2)150.05

[2,4)m0.2

[4,6)450.15

[6,8)7550.25

[8,10)900.3

[10,12)Pn

合计3001

（1）求抽取的女职工的人数；

（2）①依据频率分布表，求出m、n、p的值，完成如图所示的频率分布直方图，并估计该

企业职工每周的平均运动时间不低于4h的概率;

男职工女职工总计

平均运动时间低于4h

平均运动时间不低于4h

总计

②若在样本数据中，有60名女职工每周的平均运动时间不低于4h,请完成以下2X2列联

表，并推断是否有95%以上的把握认为“该企业职工每周的平均运动时间不低于4h与性别

有关”.

n(ad-bc)2

K=>

附：'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中『a+b+c+d.

0.250.lb0.10|J.Ob0.02b

k„1.3232.0722.7063.8415.024

3

【答案】(1)90：(2)①一，见解析②有95%以上的把握认为“该企业职工每周的平均运

4

动时间不低于仍与性别有关”.

【解析】

【分析】

（1）干脆由分层抽样中每层所占比例相等求得抽取的女职工的人数；（2）①由图表数据及

频率和为1求得〃，然后依次求〃与勿的值，并完成频率分布直方图：②填写2X2列联表,

再由公式求得A2,则结论可求.

【详解】(1)抽取的女职工的人数为300x受2=90：

5000

(2)&n=\-0.05-0.2-0.15-0.25-0.3=0.05,

〃=15,/«=300-15-45-75-90-15=60；

直方图如图：

估计该企业职工每周的平均运动时间不低于4〃的概率为:

P=0.15+0.25+0.3+0.05=0.75=-:

4

②2x2列联表如图:

男职工女职工总计

平均运动时间低于4/2453075

平均运动时间不低于4〃16560225

总计21090300

n(ad-bc)-300(45x6()-3()xl651

«4.762«3.841-

(a+6)(c,+(/)(a+c')(b+4)75x225x210x90

・••有95%以上的把握认为“该企业职工每周的平均运动时间不低于4力与性别有关”.

【点睛】本题考查独立性检验，考查由频率分布直方图求概率的估计值，考查计算实力，是

中档题.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，Z/\BC=ZACD=90°,ZBAC=ZCAD=60°,PA_L平面ABCD,

PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.

（1）求证:平面CMN〃平面FAB；

（2）求三棱锥ABM的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）三棱锥产一的体积丫=且

【解析】

试题分析；（1）由中位线定理可得A/N〃E43＞（）MN〃平面？43.再证得

^ACN=ZBAC=60CN〃ABCN〃平面。＞0平面CMN〃平面＜2）

由（1）知，平面C/WV〃平面2钻。＞0点M到平面的距离等于点C到平面RW

的距离3＞0V=匕一八”="CTRU=VP-AUC=4•

试题解析：⑴证明：分别为PD,A。的中点，

则MN〃24.又・・・MNa平面Q4B,R4u平面

MN〃平面PAB.

在心AAC7)中，4CAD=60、CN=AN,：./ACN=".

又•:ABAC=60>:、CN〃AB.

•.•CN(z平面BAB,A3u平面RW，，CN〃平面RW.

又‘：CNcMN=N,・•・平面CMN〃平面BIB.

(2)由(1)知，平面CMV〃平面FAB,

二点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.

由已知，AB=bZA8C=90，N8AC=60，:•BC=®

・•・三棱锥2一ABM的体积V=VM_PAR=Vc_PAf)=VP_ABC=-Lxlxlx^x2=

32

a—1

20.已知函数f(x)=ax+---+l-2a-lnx,a£R.

X

(I)若a=7,求函数f(x)的单调区间；

(H)若f(x)20在x£[l,+8)上恒